matlab求解非線性方程課件

第六講非線性規(guī)劃問題的求解方法一、非線性規(guī)劃問題的幾種求解方法

1.罰函數(shù)法（外點法）

基本思想：利用目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)：要求構(gòu)造的函數(shù)具有這樣的性質(zhì)：當(dāng)點x位于可行域以外時，取值很大，而離可行域越遠(yuǎn)則越大；當(dāng)點在可行域內(nèi)時，函數(shù)因此可以將前面的有約束規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為下列無約束規(guī)劃模型：其中稱為罰項，稱為罰因子，稱為罰函數(shù)。算法步驟如何將此算法模塊化:求解非線性規(guī)劃模型例子罰項函數(shù)：無約束規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)：globallamada%主程序main2.m,罰函數(shù)方法x0=[11];lamada=2;c=10;e=1e-5;k=1;whilelamada*fun2p(x0)>=e x0=fminsearch('fun2min',x0);lamada=c*lamada;k=k+1;enddisp(‘最優(yōu)解’),disp(x0)disp('k='),disp(k)

程序1：主程序main2.m程序2：計算的函數(shù)fun2p.mfunctionr=fun2p(x)%罰項函數(shù)r=((x(1)-1)^3-x(2)*x(2))^2;

運行輸出：最優(yōu)解1.165-0.779

k=332.內(nèi)點法（障礙函數(shù)法）僅適合于不等式約束的最優(yōu)化問題其中都是連續(xù)函數(shù)，將模型的定義域記為3.問題轉(zhuǎn)化為一個無約束規(guī)劃由于很小，則函數(shù)取值接近于f(x)，所以原問題可以歸結(jié)為如下規(guī)劃問題的近似解：練習(xí)題：

請用內(nèi)點法算法求解下列問題：

小結(jié)講解了兩個求解有約束非線性最小化規(guī)劃特點：易于實現(xiàn)，方法簡單；沒有用到目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化技巧（近似為一個無約束規(guī)劃）4、其它求解算法

（1）間接法

（2）直接法

直接搜索法以梯度法為基礎(chǔ)的間接法無約束規(guī)劃的Matlab求解函數(shù)數(shù)學(xué)建模案例分析（截斷切割，飛機(jī)排隊）（2）直接法

直接法是一種數(shù)值方法這種方法的基本思想是迭代，通過迭代產(chǎn)生一個點序列{X(k)}，使之逐步接近最優(yōu)點。只用到目標(biāo)函數(shù)。如黃金分割法、Fibonacci、隨機(jī)搜索法。（3）迭代法一般步驟注意：數(shù)值求解最優(yōu)化問題的計算效率取決于確定搜索方向P

(k)和步長的效率。以梯度法為基礎(chǔ)的最優(yōu)化方法求f(x)在En中的極小點思想：方向?qū)?shù)是反映函數(shù)值沿某一方向的變化率問題方向?qū)?shù)沿梯度方向取得最大值基礎(chǔ)：方向?qū)?shù)、梯度通過一系列一維搜索來實現(xiàn)。本方法的核心問題是選擇搜索方向。搜索方向的不同則形成不同的最優(yōu)化方法。算法說明可通過一維無約束搜索方法求解例子：用最速下降法解下列問題分析：1、編寫一個梯度函數(shù)程序fun1gra.m2、求(可以調(diào)用函數(shù)fminsearch)函數(shù)fungetlamada.m3、最速下降法主程序main1.m初始條件第一步：計算梯度程序fun1gra.mfunctionr=fun1gra(x)%最速下降法求解示例%函數(shù)f(x)=2*x1^2+x2^2的梯度的計算%r(1)=4*x(1);r(2)=2*x(2);第三步：主程序main1.m%最速下降方法實現(xiàn)一個非線性最優(yōu)化問題%minf(x)=2*x1^2+x2^2globalx0x0=[11];yefi=0.0001;k=1;d=-fun1gra(x0);lamada=1;主程序main1.m（續(xù)）whilesqrt(sum(d.^2))>=yefilamada=fminsearch(‘fungetlamada’,lamada);%求最優(yōu)步長lamadax0=x0-lamada*fun1gra(x0);%計算x0d=fun1gra(x0);%計算梯度

k=k+1;%迭代次數(shù)enddisp('x='),disp(x0),disp('k='),disp(k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+x0(2)^2)三、Matlab求解有約束非線性規(guī)劃1.用fmincon函數(shù)求解形如下面的有約束非線性規(guī)劃模型一般形式：用Matlab求解有約束非線性最小化問題求解非線性規(guī)劃問題的Matlab函數(shù)為：fmincon

1.約束中可以有等式約束 2.可以含線性、非線性約束均可輸入?yún)?shù)語法：x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,...)輸入?yún)?shù)的幾點說明模型中如果沒有A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，則以空矩陣[]作為參數(shù)傳入；nonlcon：如果包含非線性等式或不等式約束，則將這些函數(shù)

編寫為一個Matlab函數(shù)，nonlcon就是定義這些函數(shù)的程序文件名；不等式約束c(x)<=0等式約束ceq(x)=0.如果nonlcon=‘mycon’;則myfun.m定義如下function[c,ceq]=mycon(x)c=...

%計算非線性不等式約束在點x處的函數(shù)值ceq=...

%計算機(jī)非線性等式約束在點x處的函數(shù)值

對參數(shù)nonlcon的進(jìn)一步示例2個不等式約束，2個等式約束3個決策變量x1，x2，x3如果nonlcon以‘mycon1’作為參數(shù)值，則程序mycon1.m如下對照約束條件編寫myfun1.mfunction[c,ceq]=mycon1(x)c(1)=x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-100c(2)=60-x(1)*x(1)+10*x(3)*x(3)ceq(1)=x(1)+x(2)*x(2)+x(3)-80ceq(2)=x(1)^3+x(2)*x(2)+x(3)-80nonlcon的高級用法允許提供非線性約束條件中函數(shù)的梯度設(shè)置方法：options=optimset('GradConstr','on')

如果提供非線性約束條件中函數(shù)梯度，nonlcon的函數(shù)必須如下格式：參數(shù)nonlcon的函數(shù)一般格式如下function[c,ceq,GC,GCeq]=mycon(x)c=...

%計算非線性不等式約束在點x處的函數(shù)值

ceq=...

%計算機(jī)非線性等式約束在點x處的函數(shù)值

ifnargout>2

%nonlcon如果四個輸出參數(shù)

GC=...

%不等式約束的梯度

GCeq=...

%等式約束的梯度end輸出參數(shù)語法：[x,fval]=fmincon(...)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(...)運用步驟：將自己的模型轉(zhuǎn)化為上面的形式寫出對應(yīng)的參數(shù)調(diào)用函數(shù)fmincon應(yīng)用求解示例：請問：1、結(jié)合fmincon函數(shù)，需要提供哪些參數(shù)第一步：編寫一個M文件返回目標(biāo)函數(shù)f在點x處的值函數(shù)程序functionf=myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);函數(shù)myfun.m第二步：為了調(diào)用MATLAB函數(shù)，必須將模型中的約束轉(zhuǎn)化為如下形式(<=)。

這里：A=[-1-2-2;122];b=[072]’;這是2個線性約束，形如第三步：提供一個搜索起點，然后調(diào)用相應(yīng)函數(shù)，程序如下：%給一個初始搜索點 x0=[10;10;10];[x,fval]=fmincon('myfun',x0,A,b)主程序（整體）：A=[-1-2-2;122];b=[072]’;%給一個初始搜索點 x0=[10;10;10];[x,fval]=fmincon('myfun',x0,A,b)最后得到如下結(jié)果：

x=24.000012.000012.0000

fval=-3.4560e+032.非負(fù)條件下線性最小二乘lsqnonneg

適合如下模型：

注意：約束只有非負(fù)約束語法：x=lsqnonneg(c,d)x=lsqnonneg(c,d,x0)x=lsqnonneg(c,d,x0,options)

3.有約束線性最小二乘lsqlin

適合如下模型：注意：約束有線性等式、不等式約束語法：x=lsqlin(C,d,A,b)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,resnorm]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(...)4.非線性最小二乘lsqnonlin

適合模型：語法：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2,...)[x,resnorm]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqnonlin(...)例1：求解x，使得下式最小

resnorm

等于norm(C*x-d)^2residual等于C*x-d返回參數(shù)說明第一步：編寫M文件myfun.m計算向量FfunctionF=myfun(x)k