天線原理 第五章 互阻抗課件

第五章阻抗與互阻抗

本章的主要目的是要求天線的輸入阻抗，它是天線的重要參數(shù)之一。因?yàn)橹捞炀€的輸入阻抗之后，就可以選擇合適的饋電傳輸線與之匹配。

要嚴(yán)格計算天線的輸入阻抗是困難的，工程上常采用一些近似方法。主要有三種方法，即■坡印亭矢量法；

坡印亭矢量法是先求得天線的輻射功率Pr，然后由Rr=2Pr/I2m求得其輻射電阻。這個方法前面已經(jīng)作了介紹。這里主要討論感應(yīng)電動勢法?！龅戎祩鬏斁€法;■感應(yīng)電動勢法。5.1等值傳輸線法

坡印亭矢量法是由遠(yuǎn)區(qū)輻射場求得表示功率密度的坡印亭矢量，然后在以天線中點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)區(qū)距離為半徑的一個球面上積分求得輻射功率，最后求得輻射電阻。該方法的缺點(diǎn)是：(1)只能計算天線的輸入電阻，不能計算輸入電抗。(2)由于假定天線上電流為正弦分布，使得天線輸入端為波節(jié)點(diǎn)時(如全波振子)，不能求出輸入電阻。

等值傳輸線法可以計算天線輸入阻抗(包括虛、實(shí)部)。該方法所得公式簡便，便于工程應(yīng)用。

對稱振子是由一段開路的雙線傳輸線張開而成，把它等效為傳輸線是很自然的，于是可用傳輸線理論來計算它的輸入阻抗。(5.3b)(5.4)(5.5)Z0為傳輸線無耗時的特性阻抗(5.7)若已知Z0、R1和C1，由式(5.1)就可確定一段長為l的有耗開路傳輸線的輸入阻抗。顯然這還不能用于對稱振子天線，因?yàn)殡p線傳輸線與對稱天線存在如下顯著的差別：返回(1)傳輸線是非輻射系統(tǒng)，線上損耗為導(dǎo)體的歐姆損耗。而對稱振子天線是輻射系統(tǒng)，電流從輸入端到末端，其間的每一點(diǎn)都將產(chǎn)生能量的輻射，可用單位長度上的能量損耗來表示傳輸線的分布電阻R1。(2)雙線傳輸線的兩線距離恒定，分布參數(shù)是均勻的。而對稱振子天線的兩臂上對稱點(diǎn)之間的距離是變化的，見前面圖(b)，分布參數(shù)是非均勻的。

但是，對稱振子天線的輸入阻抗仍然可用式(5.1)表示，但必須修改參數(shù)Zc、α

和β。1、修改特性阻抗Zc

在D>>ρ的情況下，無耗雙線傳輸線的特性阻抗為(5.7)鏈接式中D為兩線間距，ρ為導(dǎo)線截面直徑，見下圖。而對稱振子兩臂上的兩個對稱點(diǎn)之間的距離為D=2z，其特性阻抗在0<z<l內(nèi)是變化的?？捎萌缦路椒ㄇ髮ΨQ振子的平均特性阻抗(5.8)由此式可見，對稱振子的臂長l愈小,或?qū)Ь€截面直徑ρ愈大,則Z'0就小。把式(5.5)中的Z0用Z'0替代,得(5.9)鏈接2、修改衰減常數(shù)α

在不計G1的情況下，傳輸線的衰減常數(shù)α是由傳輸線上單位長度的導(dǎo)體熱損耗電阻R1產(chǎn)生的。對于對稱振子天線來說，不計導(dǎo)體熱損耗，R1由單位長度的輻射電阻R'1取代，并假設(shè)R'1沿天線是均勻的。這際上就是確定

設(shè)天線上電流分布為I(z)，線元dz的輻射功率為(5.10)輻射總功率為(5.11)由有(5.12)■對稱振子有一定直徑，其饋電端和末端分布電容增大，末端電流實(shí)際不為零，振子愈粗，末端效應(yīng)愈顯著，這也將影響相位常數(shù)。

一般情況下，可由β'取代β。由于影響相位常數(shù)改變的因素不止一個，要確定是較困難的。書上P33圖5-8給出了天線上電流傳播的相位常數(shù)與自由空間相位常數(shù)的比值ξ=β'/β隨l/λ變化的曲線，參變量為d/λ，d為導(dǎo)線直徑。在大多數(shù)情況下β'與β接近，所以工程上一般取β'＝β。4、對稱振子的輸入阻抗Zin

由式(5.1)的輸入阻抗公式及，并把虛、實(shí)部分開，得由式(5.16)計算的對稱振子輸入電阻和電抗隨l/λ變化的曲線如下圖所示，圖中參變量為振子的平均特性阻抗Z'0

。由此圖可總結(jié)出對稱振子天線輸入阻抗的如下特點(diǎn)：返回返回1(6)對稱振子諧振長度的縮短現(xiàn)象①以上計算是取β'=β,但由于電流波沿振子邊傳輸邊輻射有衰減,使得相位常數(shù)變大β'>β,波長縮短λ'<λ

。

對稱振子的諧振長度是其輸入阻抗的虛部為零時的長度。由前面圖可見，Xin=0對應(yīng)的電長度略小于0.25和略小于0.5。這一現(xiàn)象稱之為縮短效應(yīng)。振子天線愈粗，縮短愈多。所以，實(shí)際使用的半波振子全長是小于半個波長的。產(chǎn)生縮短的原因大致有兩點(diǎn)：②振子天線的“末端效應(yīng)”。振子導(dǎo)體有一定直徑，使振子饋電端和兩個末端的分布電容增大,饋電端的效應(yīng)使得附加電容與天線輸入阻抗一起并聯(lián)在饋電傳輸線上，引起誤差；兩個末端的效應(yīng)使得末端電流不為零，這將使振子的等效長度增大，造成諧振長度縮短。鏈接

半波和全波振子的輸入阻抗都是純電阻，易于和饋線匹配。但是與全波振子相比，在半波振子長度附近其阻抗曲線要平緩的多，工作頻帶要寬的多。因此，在工程中大多采用半波振子。

顯然，振子愈粗，縮短效應(yīng)愈明顯。因此，設(shè)計半波振子天線時要考慮縮短效應(yīng)。5.2感應(yīng)電動勢法

坡印亭矢量法是在以天線中心為球心，遠(yuǎn)區(qū)距離r為半徑的一個球面上對坡印亭矢量(功率密度)積分求出輻射功率，然后求得天線的輻射電阻。坡印亭矢量法只涉及遠(yuǎn)場的實(shí)功率，不涉及近場的儲能虛功率，因此它只能求電阻，不能求電抗。

天線的輻射功率包括實(shí)功率和虛功率兩部分:■實(shí)功率是向空間輻射的有功功率，為坡印亭矢量法計算的部分，可由遠(yuǎn)場來計算；■虛功率是存儲于天線附近的無功功率，必須由近場來計算，這恰恰是計算天線輸入電抗的部分。2.2.1單根圓柱對稱振子的輻射阻抗

1.圓柱對稱振子的近區(qū)場

圓柱對稱振子如下圖所示,并建立坐標(biāo)系。對問題的分析采用圓柱坐標(biāo),設(shè)近區(qū)場點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ,φ,z),它與天線軸線上的中心點(diǎn)和上下端點(diǎn)的距離分別為(5.19)式中，l為振子臂長。在求解問題之前我們作如下兩點(diǎn)假設(shè)：返回①振子上電流為正弦分布，振子截面半徑a很小(a<<l)，電流在圓柱表面是均勻的，因此可看作電流集中在振子軸線上，其表示為：②饋電間隙δ很小(δ<<l)，其影響可忽略。

由振子上的電流分布可求得矢量磁位為(5.21)(5.20)可得(5.23)并利用關(guān)系(5.22)2.感應(yīng)電動勢法求輻射阻抗

假如我們把坡印亭矢量法中的大球面縮小，直到縮小到天線的圓柱表面，通過這一封閉柱面的總功率表示為(5.26)式中，s為圓柱表面，，為圓柱表面的外法線單位矢量，ds為積分面元。從形式上看，式(5.26)與坡印亭矢量法求輻射功率的表示相同，但其中的電磁場已經(jīng)不同。坡印亭矢量法中所用的電磁場是遠(yuǎn)區(qū)場，這里的積分面在天線表面，式中的電磁場必須是近場。

式(5.26)中的電磁場矢量分別為和,則(5.27)返回

當(dāng)振子半徑很小時，封閉柱面的上下底面的積分可忽略不計，只考慮圓柱側(cè)面的積分。此時把式(5.27)代入(5.26),并注意到近場各分量與坐標(biāo)φ無關(guān),得(5.28)由安培環(huán)路定律，則得(5.29)式中，[-Ez(a,z)dz]表示振子dz小段上驅(qū)動電流流動的感應(yīng)電動勢，故此法稱之為“感應(yīng)電動勢法”。鏈接a為振子截面半徑,β=2π/λ,η0=120π.經(jīng)一系列運(yùn)算后,上式的實(shí)部電阻和虛部電抗可用正、余弦積分表示如下(5.33)(5.34)

式(5.33)表示的輻射電阻與坡印亭矢量法所得結(jié)果完全相同，因?yàn)樵跓o耗空間中，通過包圍輻射源的任意封閉面的實(shí)功率是一樣的。

由式(5.33)和(5.34)可計算并并繪出輻射電阻和電抗隨l/λ變化的曲線如下圖所示。

當(dāng)電流采用近似的正弦分布時，所得輻射電阻與振子的截面半徑無關(guān)，但輻射電抗的值卻隨振子截面半徑的增大而減小。因此寬頻帶天線往往采用粗振子，粗振子天線有較小的電抗。

對常用的半波振子輻射阻抗為(5.35)5.3二元耦合對稱振子的互阻抗

相距較近的天線之間將發(fā)生很強(qiáng)的電磁耦合，它們周圍空間的電磁場要發(fā)生變化，每個天線上的電流、輻射功率和輸入功率也將改變。因此，與電流、功率相聯(lián)系的輻射阻抗和輸入阻抗也將發(fā)生變化。1.二元耦合振子天線的阻抗方程

任意排列的對稱振子二元陣如下圖所示。當(dāng)振子1單獨(dú)存在時，它在電源的激勵下產(chǎn)生電流I1，并建立滿足本身邊界條件的電磁場，設(shè)其表面的切向電場為Ez11。然后在振子1的附近放置振子2，此時振子2上的電流將在振子1的表面產(chǎn)生切向電場Ez12(稱為感應(yīng)電場)。此時振子1表面上的總切向電場為(5.37)

在振子2影響下，振子1的總輻射功率為返回(5.38)式中，(5.39)(5.40)■P11是振子1單獨(dú)存在時的輻射功率,稱為自輻射功率；■P12是由振子2的影響,在振子1上的感應(yīng)電動勢[-Ez12dz1]產(chǎn)生的功率，稱為感應(yīng)輻射功率。

同理，可得在振子1影響下振子2的總輻射功率為返回則(5.45)式中，為振子1的總輻射阻抗；(5.46a)為振子2的總輻射阻抗；(5.46b)為振子1單獨(dú)存在時的自阻抗；(5.46c)為振子2對振子1影響的感應(yīng)互阻抗；(5.46d)為振子2單獨(dú)存在時的自阻抗；(5.46e)為振子1對振子2影響的感應(yīng)互阻抗；(5.46f)返回根據(jù)互易原理(5.47)如果振子1和振子2的幾何尺寸相同，則

對式(5.45)的第一和第二式兩邊分別乘以I1m和I2m，并記，U1=I1mZr1，U2=I2mZr2

，則得等效阻抗方程：(5.48)由此關(guān)系可以得到二元耦合振子天線的等效電路，如下圖所示。

對于二元耦合振子，振子的自阻抗前面式(5.32)已經(jīng)求得，根據(jù)互易原理，我們只需計算互阻抗Z12即可。鏈接由和得(5.49)

要計算任意排列的二元耦合對稱振子之間的互耦電場Ez21是較復(fù)雜的。然而，在實(shí)際應(yīng)用時對稱振子組成的陣列中，各振子均是平行排列的，且?guī)缀纬叽缦嗤?即l1=l2=l)。這種情況下的計算是較容易的。1.平行等長對稱振子二元陣的互阻抗

平行二元耦合對稱振子的互阻抗可由式(5.49)計算，此式中的互耦電場是振子2在振子1的表面產(chǎn)生的切向電場，它可由前面式(5.25)計算，即返回(5.50)在如圖z′坐標(biāo)系下，式中振子1上電流分布為(5.51)把式(5.50)和(5.51)代入(5.49)得鏈接或(5.52)(5.53)(5.54)式中，(5.55a)(5.55b)(5.55c)(5.55d)(5.55e)(5.55f)(5.55g)

由式(5.53)、(5.54)和(5.55)可計算平行排列的等長二元耦合對稱振子之間的互阻抗，并可得到半波對稱振子互阻抗表。

對兩種特殊排列形式，即共軸排列和并排平行排列，繪出了互阻抗Z12隨間距的變化曲線，如下圖所示。

兩個耦合振子之間的互耦強(qiáng)弱，主要反映在互阻抗值上。由上面兩圖可見：①互阻抗值隨間距的變化呈波動變化，而且間距愈大，互阻抗值逐漸變小，呈“震蕩衰減狀”，這說明兩振子之間的互耦隨間距增大而減小；②并排平行排列的兩個振子之間的互阻抗的變化幅度比共軸排列的要大些，說明前者的互耦要強(qiáng)些。③互阻抗的實(shí)部R12有正有負(fù)，它表示另一根振子在這根振子上附加的感應(yīng)電動勢源而產(chǎn)生的；而自輻射阻抗的實(shí)部為大于零的正數(shù)，它表示振子單獨(dú)存在時全部輻射的有功功率均由它吸收。【例2.1】如圖為兩種情況的半波振子二元陣，查表計算各振子的輻射阻抗Zr1和Zr2。解：已知半波振子的自阻抗為■圖(a)：返回

表中無d/λ=0.25對應(yīng)的Z12值，可查得前后兩個值取平均。得■圖(b)：查表得鏈接則5.4無源振子

前面討論的二元耦合振子，是每個單元都加激勵的情況，輸入端電壓分別為U1和U2。若兩個耦合振子中有一個不加激勵，這個不加激勵的振子就稱作無源振子，或寄生振子。無源振子廣泛應(yīng)用于短波和超短波波段中。例如，八木天線，就是由一個無源反射器，一個激勵振子和多個無源引向器振子組成的。

要計算由一個激勵振子和一個無源振子組成的二元陣的方向圖、輻射阻抗等參量，首先要確定無源振子上的電流分布及其與激勵振子上電流分布之間的關(guān)系。

如果能調(diào)節(jié)無源振子上的電流幅度和相位，就能得到二元陣所需要的方向圖。無源振子上的電流幅度和相位的調(diào)節(jié)，大致可用如下兩種方法：■改變無源振子的長度，及兩振子間距，以改變其自阻抗和互阻抗；■在無源振子上接入可變電抗，如一段短路傳輸線，調(diào)節(jié)短路點(diǎn)位置，可改變接入電抗的大小和相位。

含無源振子的二元陣如圖所示。有兩種情況，即無源振子接入電抗XL和無源振子短路。1.無源振子和激勵振子上的電流比

由二元耦合振子的阻抗方程式(5.48)，即振子2是無源的，U2=0。該阻抗方程中的阻抗Zij是歸為波腹電流Im的輻射阻抗。如果要改為歸為輸入電流Iin的輸入阻抗，則改阻抗方程可寫作(5.56)式中，(5.57)

若U1和XL已知，歸算于波腹電流的各阻抗也可算得，此式可解出振子1和2上的輸入電流Ikin。假設(shè)振子上的電流為正弦分布(5.58)則(5.59)這樣，就可采用前面的方法求得二元陣的輻射方向圖。為簡單起見,這里只求無源振子和激勵振子上的電流比。由式(5.56)的第二式可得(5.60)式中用了關(guān)系Z21in=Z12in。令，得(5.61)(5.62)

由式(5.56)可得振子1的輸入阻抗為(5.63)如果振子1為半波振子，則輸入電流就是波腹電流。

若將無源振子的可調(diào)電抗短路XL=0，則(5.64)(5.65)2.含無源振子的二元陣方向圖

含無源振子的二元陣的阻抗方程為

要調(diào)整二元陣的方向圖,可以采用改變無源振子長度、兩振子間距和可調(diào)電抗的辦法來實(shí)現(xiàn)。

書上P126圖4-10給出了二元陣的H面方向圖隨無源振子的阻抗相角及間距d的變化。

兩個振子的電流幅度比m和相位差α，取決于無源振子的自阻抗、互阻抗,以及接入無源振子的可調(diào)電抗XL。改變m和α，都會引起二元陣方向圖的變化。若L1=L2:其中3.無源振子可作引向器和反射器

調(diào)節(jié)無源振子的長度及兩振子間距及可變電抗，可改變m和α。■若使0<α<π，則二元陣的方向圖最大值指向激勵振子方向，無源振子就為反射器；■若使π<α<2π，則二元陣方向圖最大值指向無源振子方向，無源振子就為引向器。

若不計可變電抗，這時的電流幅度比m和相位差α見式(5.68)和(5.69)，則①當(dāng)無源振子臂長2l2>λ/2時：X22>0，tan-1(X22/R22)>0，若間距d=(0.15~0.4)λ,有X12<0,R12>0，tan-1(X12/R12)<0，則0<α<π，即無源振子上的電流相位超前于激勵振子的電流相位，此時無源振子起反射器作用。②當(dāng)無源振子臂長2l2<λ/2時：X22<0，tan-1(X22/R22)<0，若間距d=(0.15~0.4)λ,使tan-1(X12/R12)-tan-1(X22/R22)>0，則π<α<2π，即無源振子上的電流相位滯后于激勵振子的電流相位，此時無源振子起引向器作用。

總之，在間距d=(0.15~0.4)λ內(nèi)，無源振子作為反射器時的長度，應(yīng)略大于串聯(lián)諧振長度，作為引向器時的長度，應(yīng)略小于串聯(lián)諧振長度。實(shí)際中應(yīng)綜合調(diào)整間距和振子長度,以便使無源振子具有良好的反射或引向作用。

從含無源振子的二元陣可以引伸出方向性較強(qiáng)的含多個無源振子組成的端射直線陣天線。例如八木天線。5.5對稱振子陣的阻抗

1.陣列中各振子的輻射阻抗

設(shè)天線陣有n個單元，二元陣的耦合振子阻抗方程式(5.48)可推廣到n元陣。即：(5.66)可寫成矩陣形式(5.67)即(5.68)返回

方陣中的各元素為Zij，i,j=1,2,…,n。當(dāng)j=i時,Zii表示第i個振子的自阻抗，當(dāng)j≠i時,Zij表示第j個振子對第i個振子的互阻抗。

由式(5.66)等號兩邊同除以Imi可得陣列中各振子的輻射阻抗(5.69)式中,稱為第j個振子對第i個振子的感應(yīng)輻射阻抗。當(dāng)Imj=Imi時，感應(yīng)輻射阻抗就等于互阻抗。

對于電流等幅同相且單元幾何尺寸相同的天線陣，式(5.69)可簡化為鏈接(5.70)

上面各式中的輻射阻抗、自阻抗和互阻抗均是歸算于波腹電流的。2.天線陣的總輻射阻抗

天線陣的總輻射功率PΣ,等于各單元輻射功率的總和，即(5.71)于是，歸算于第k個振子波腹電流的總輻射阻抗為(5.72)

若是由半波振子組成的陣列，且電流等幅同相，則有(5.73)即等幅同相的半波振子陣列的總輻射阻抗為各單元輻射阻抗之和。

3.天線陣的方向性系數(shù)

由陣列總輻射阻抗取其實(shí)部，可得陣列天線的總輻射電阻RΣ=Re(ZΣ),若求得陣列的方向圖函數(shù)fT(θ,φ)及最大指向(θm,φm),對稱振子陣列的方向性系數(shù)可由下式計算(5.74)【例2.2】對如圖所示的全波振子，要求(1)導(dǎo)出其方向圖函數(shù)；(2)計算總輻射阻抗；(3)計算方向性系數(shù)D。解：全波振子可以看作是一個共軸半波振子二元陣。且二元陣的垂直間距H=0.5λ，平行間距d=0。(1)方向圖函數(shù)

式中，單元方向圖函數(shù):二元陣因子：則返回直接由對稱振子方向圖函數(shù)公式：取2l=λ，βl=π,也可得到同樣結(jié)果。(2)總輻射阻抗ZΣ

單元1的輻射阻抗為：單元2的輻射阻抗為：因Z11=Z22,Z12=Z21,則Zr1=Zr2,因此只須求出Z11和Z12即可。半波振子自輻射阻抗：查表(H/λ=0.5,d/λ=0)得互阻抗：鏈接由式(5.73)得二元陣(即全波振子)的總輻射阻抗為(3)方向性系數(shù)D

總輻射電阻為：全波振子的最大輻射方向在其側(cè)向θm=π/2，則fT(θm)=2，由下式得注：把全波振子拆分為兩個半波振子組成的二元陣，就可以方便地利用書上的“半波振子的互阻抗表”及已知的半波振子輻射阻抗值，計算全波振子的Zr及D?！纠?.3】對如圖所示的等幅同相半波振子三元陣，要求(1)導(dǎo)出其方向圖函數(shù);(2)計算總輻射阻抗;(3)計算方向性系數(shù)D。解：(1)三元陣總場方向圖函數(shù)

式中，單元方向圖函數(shù)為三元陣因子為(2)總輻射阻抗ZΣ

返回單元1的輻射阻抗為：單元2的輻射阻抗為：單元2的輻射阻抗為：由于結(jié)構(gòu)的對稱性，則半波振子自輻射阻抗：互阻抗可查表求得：鏈接半波振子三元陣的總輻射阻抗為(3)方向性系數(shù)D

總輻射電阻為：三元陣的最大輻射方向在其側(cè)向θm=π/2，φm=0，則f(θm

,φm)=3，得5.6理想導(dǎo)電平面上對稱振子的輻射阻抗

前面我們討論了地面對天線方向圖的影響，這里討論地面對天線阻抗的影響。天線方向圖及阻抗的改變將直接影響到天線的方向性系數(shù)、增益等。地面對天線阻抗影響的分析這里采用鏡像法。

近地天線常見的有三種情況，即近地水平天線、近地垂直天線和垂直接地天線，如下圖所示。也可以是由它們組成的近地陣列天線。1、垂直接地天線

如上圖(c)所示。垂直接地天線考慮鏡像之后，其總場就是一個自由空間對稱振子的貢獻(xiàn)，但只有上半空間有輻射場。此時由坡印亭矢量法計算輻射電阻時，只需對上半空間積分，即(5.87)

可以證明：長為l的垂直接地天線的輻射電阻，是全長為2l的自由空間對稱振子輻射電阻的一半。即(5.88a)

如用感應(yīng)電動勢法求其輻射阻抗，也可以證明：長為l的垂直接地天線的輻射阻抗，是全長為2l的自由空間對稱振子輻射阻抗的一半。即(5.88b)自由空間半波振子的輻射阻抗為：則長為l=λ/4的垂直接地天線的輻射阻抗為：2、近地垂直和水平天線

若用等效傳輸線法求其輸入阻抗，其平均特性阻抗應(yīng)為(5.89)此時按感應(yīng)電動勢法直接計算的輸入阻抗也為自由空間全長為2l的對稱振子的輸入阻抗的一半。垂直接地天線后面還將詳細(xì)介紹。

設(shè)近地天線上的波腹電流為Im，自阻抗為Z11，鏡像電流波腹值為I'm，鏡像天線與原天線的互阻抗為Z'11，則近地天線的輻射阻抗為(5.90)(1)近地垂直天線

如圖(b)所示。其鏡像天線為正像，正像的波腹電流I'