動態(tài)第三節(jié)動態(tài)應用舉例

動態(tài)態(tài)規(guī)劃應用舉—分配問 等），可以投入下面討論m=1的資源分配問設(shè)有數(shù)量為x0的某種資源，可投入n種生產(chǎn)。設(shè)以數(shù)量為xi的資源投入第i種生產(chǎn)，所得的效益gi(xi，問如何分配這種資源，能使總效益最大靜態(tài)模數(shù)量為xi的資源投入i種生產(chǎn)所得的效益gixi所以，總效益g1(x1)g2(x2)gn(xn另外，xi的應滿足約x1x2xn靜態(tài)模型

2gi(xi2s.tx1

xi

0,i1,2,,n這個模型是一個靜態(tài)模型，是線性或非線性規(guī)①階段變選取n種生產(chǎn)過程作為階段變②狀態(tài)變把投入第種生產(chǎn)至第種生產(chǎn)的資源總量取為狀態(tài)變量；③決策變把投入第k種生產(chǎn)的物資數(shù)量xk作為決策即，決策變uku1u1

階段ununu2u2ukuk1第k階段

x第k種生產(chǎn)至第n種生產(chǎn)的資源總~第k+1種生x至第n種生的資源總④狀態(tài)轉(zhuǎn)移方 ——第k種生產(chǎn)至第n種生產(chǎn)的資源總 -——第k+1種生產(chǎn)至第n種生產(chǎn)的資源總狀態(tài)轉(zhuǎn)移方

~xukx決策集

D(xk)uk0ukxk⑤策略

u1x1,u2x2,,un子策略：ukxk,uk1xk1,,un段指標階段指標函數(shù)d(x,ukgkxkggj(xj第k階段的效第k階段到終點益指標函數(shù)Fknfkx表示以數(shù)量x的資源投入第k種生產(chǎn)⑦動態(tài)規(guī)劃方由最優(yōu)化原理，得動態(tài)規(guī)劃方nfk(x) gi(xkpk,nPk,nik

g(xk) (xxk0ukxk

kfn1(x) kn,n要完成的任務是：求u1,u2,,un 最大，即F1,n 達到最大f1(x0)例題 五臺設(shè)備分配給甲，乙個工廠，每個廠得到設(shè)備，年 情況如表3.1所示，問：分配給各廠設(shè)備各多少臺，才使各廠總 最大。表甲乙丙000045解：這是一個一維分配問題，其中x0=5，g1x1g2(x2g3(x3分別為甲乙丙工廠在得到x1x2x3臺設(shè)備后的值。由最優(yōu)化原理，得動態(tài)規(guī)劃方 (x)

g(xk) (xxkk0uk

xk

kf4x

k32由于x=0，1，2，3，4，5，狀態(tài)變量已經(jīng)離K=3f

(x)

g(x33由表3.1，

0u3

x3u30,f3(0)0u32,f3(2)6u34,f3(4)12

u31,f3(1)4u33,f3(3)u35,f3(5)12所以，u34或u3下面對計算過程做出解ukxk是決策變量，投入第k種生產(chǎn)的物資數(shù) ——第k種生產(chǎn)至第n種生產(chǎn)的資源總量是狀態(tài)變量0u3f3(0u3

x3

g(x33

表 表示以數(shù)量x的資源投入第3種生產(chǎn)時的最資源量x可以取而0uk xk

5當x 所以取值：0，1，…,

f3(0) maxg3(x3)g3(0)0u3當x f3(1)

0u3x3

g3

x3)maxg3(0),g3(1K=2時f2(x) 0u2x2

g(2

) (xx23 (0)

g(0)

u2(0) 0ux )

)

(1 0u2x2

x2

maxg2(0)f3(1),g2(1)f3(0max04,5u21 (2)

g(x2) (2x220u2

x2maxg2(0)f3(2),g2(1)f3(1g2(2)f3(0max06,54,100u22同理可求f2(3)14,u2(3)f2(4)16,u2(4)f2(5)21,u2(5)

u24現(xiàn)在解釋u21fkx表示以數(shù)量x的資源投入第k種生至第n種生產(chǎn)時的最大max04,50f2(1)

以數(shù)量x=1的資源投入第2種生產(chǎn)至第3種生產(chǎn)時的最大決策變uk投入第k的物資決策變uk投入第k的物資

投入第2種生產(chǎn)的物資

u2表示以數(shù)量x=1的資源投入第2至第3種生產(chǎn)時的最優(yōu)K=1時f1(x) 0u1x1

g1(x1)f2(xx1注意f1x)表示以x臺設(shè)備投入第1至第3 取x=5（應該把所有資源都用上），于是f1(5)

g1(x1)f2(5x10u1x15maxg1(0)f2(5),g1(1)f2(4g1(2)f2(3 g1(3)f2(2g1(4)f

(1)g1(5)f2(0max021,316,714,910,125,130u150u15最后f15求出，u1x1f2xx1f25)f23u252u23

求出所以u3

u3 u10,u22,u3 u12,u22,u3 二背包問有一個人帶一個背包上山可帶物品重的限度是a公斤。設(shè)有種物品可供他選擇裝入背包中，這種物品 為1，，…，。已知第種物品每件重量為i公斤，在上山過程中的價值是攜帶量的函數(shù)ci(i)。問此人應該如何選擇攜帶物品（各幾件），使總價值最大。靜態(tài)模設(shè)xii種物品的裝入件數(shù)，則背包問nmaxcj(xjj

wjxjj0，整j1,2,,n下面介紹背包問題的動態(tài)規(guī)劃解①階段變按可裝入物品的種類劃分n

②狀態(tài)變策變量決策變ukxk表示裝入第k種物品的件

u1

u2

uk

uk1

unw裝入第1種物品至第k

第k階段

xk第k+1階段狀態(tài)變

~wxk④狀態(tài)轉(zhuǎn)移方 ——裝入第1種物品至第k種物品的總重~——裝入第1種物品至第k+1種物品的總重狀態(tài)轉(zhuǎn)移方

~wxk

w決策集

D(uk)

uk0uk

xk

第i物品件重

u1x1,u2x2,,un子策略 u1x1,u2x2,,uk段指標階段指標函數(shù)dw,ukckxkk指標函數(shù)F1kcjxj第1階段到第第1階段到第k階段前部指標函

第k階段的價fkx表示當總重量不超過w公斤時，包中可以裝入第種物品至第⑦動態(tài)規(guī)劃方由最優(yōu)化原理，得動態(tài)規(guī)劃方f1(w)

x10,1,ww1

c1(x1fk(w)

ck(xk)fk1(wwkxkxk0,1,wwk要完成的任務是：

u1,u2,,un

2k使總價值達最大，即F1 達到最大fn(a例題maxf4x15x26x3x14x25x3xi

0整數(shù),i1,2

可帶物 第i種物品每件重量為 公nmaxcj(xjj

量的限aaa

wjxjjj0，整數(shù)j1,2為求f310)

f3(10)

4x15x263x14x25x3xi0整數(shù)i12 4x15x2(6x33x14x2105xi0整數(shù)i12

6x3

4x1

x2105x30x30整數(shù)

3x14x2105xi0,整數(shù),i1,2 maxx3f2(105x3x30,1x3

x3

x3max0f2(10),6f2(5),12f2(0可看出，要計算f3(10 ，需計算出f2(10,f2(5),f2(0

.下面分別計f2(10

裝入1

公斤

,f2(5,f2(0

公斤含義同

f2(10)

4x153x14x2xi0整數(shù)i1 4x1(5x23x1104xi0整數(shù)i1

5x

4x2104x20 3x1104 2x20,整數(shù), x10,數(shù) max5x2f1(104x2x20,1maxf1(10),5f1(6),10f1(2f2(10)max5x2f1(104x2x20x2

x2maxf1(10),5f1(6),10f1(2f1(10

f1(6

最大價

當總重量過w=6公斤

f1(2

f2(5)

4x153x14x2xi0整數(shù)i1max5x2f1(54x2x20maxf1(5),5f1(1f2(0)

4x153x14x2xi0整數(shù)i1max5x2f1(04x2x2f1(0可看出，要計，需計算

f2(10),f2(6),f2(0f1(10),f1(6),f1(5),f1(2),f1(1),f1(0下面分別計由 f1(w)

x1x10=4×(不超過w/3的最大整數(shù) 相應的最優(yōu)決策為x1ww——裝入第1種物品至第1種物品的總重量，

時，對應f1(w

當w10 時x1w33f1(10)4312

，此x1 w

時x1w3

，此f1(6)42

x1 w

時x1w3

，此f1(5)41同理，可算出其他

x1f1(2)40f1(1)40f1(0)40

x1x1x1于f2(10)maxf1(10),5f1(6),10f1(0f2(10) max5x2f2(10) max5x2f1(104x2x20,1maxf1(10),5f1(6),10f1(2最大值當w當w時x1w3，此