八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽講座 第九講 三角形的邊與角

第九講三角形的邊與角們在線段。角度的計(jì)算、圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用．解與三角形的邊與角有關(guān)的問題時(shí)，往往要用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法熟悉以下基本圖形、并證明基本結(jié)論：(1)∠l＋∠2=∠3+∠4；1若BD、CO分別為∠ABC、∠ACB的平分線，則∠A；21BO、CODBC、∠ECBBOC=90°－21BE、CEABC、∠ACD∠A．2

∠A；不同，可能在三角內(nèi)部、邊上或外部．代數(shù)法解幾何計(jì)算問題的基本思路是通過設(shè)元例題求解【例1】在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且則的度數(shù)北京市競賽)思路點(diǎn)撥設(shè)∠C＝x°，根據(jù)題設(shè)條件及三角形內(nèi)角和定理把∠A、∠B用x的代數(shù)式表示，建立關(guān)于x的不等式組．【例】以1995的質(zhì)因數(shù)為邊長的三角形共( )A．4個(gè)B．7個(gè) C．13個(gè) D．60河南省競賽)思路點(diǎn)撥三邊應(yīng)滿足的關(guān)系制約．】BEABDACDBECFG，若∠BDC=140°，∠BGC=110(“希望杯”邀請賽試題)(2)在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不與、C重合，求∠BOC的度數(shù)． 東方航空杯”——上海市競賽)思路點(diǎn)撥(1O不與BC∠C用心愛心 專心 1PAGE3用心愛心PAGE3用心愛心專心【例4】周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個(gè)?(2003年河南省競賽題)思路點(diǎn)撥不妨設(shè)三角形三邊為a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三邊關(guān)系定理及題設(shè)條件可確定c的取值范圍，以此作為解題的突破口．注如圖，在凹四邊ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．請讀者證明．解所研究的問題的圖形形狀不惟一或幾何固形位置關(guān)系不確定或與分類概念相關(guān)的命題時(shí)．往往用到分類討論法．5】1003(大原市競賽題)(2150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于l3nn(第17屆江蘇省競賽題)思路點(diǎn)撥(1)設(shè)三角形各邊需用火柴桿數(shù)目分別為x、y、3x，綜合運(yùn)用題設(shè)條件及三角形邊的關(guān)系等知識(shí)，建立含等式、不等式的混合組，這是解本例的突破口．(2n150㎝，故欲n題意可構(gòu)造一個(gè)數(shù)列．學(xué)力訓(xùn)練若三角形的三個(gè)外角的比是2：3：4，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)(2003年河南省競賽)一條線段的長為a，若要使這三條線段組成一個(gè)三角形，則a的值范圍．如圖，在△ABC中，兩條角平分線CD、BE相交于點(diǎn)F，∠A＝60°，則度．如圖，DC平分平分∠AEB，若，∠DBE＝β，則．(αβ表)． 東省競賽)若a、、c為三角形的三邊，則下列關(guān)系式中正確的( A．a(chǎn)2b2c22bc0 B．a(chǎn)2b2c22bc0C．a(chǎn)2b2c22bc0 a2b2c22bc0(江蘇省競賽題)△ABC的內(nèi)角ABC滿足3A>5B，3C≤2B，則這個(gè)三角形( )A．銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 D．不能確如圖內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)DEF，分別以CEF這六個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形如果每個(gè)三角形的頂點(diǎn)都不在另一個(gè)三角形的內(nèi)部，那么，這些三角形的所有內(nèi)角之和為( )A．360° B．900° C．1260° 如圖，在Rt△ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，連結(jié)AE，則∠AEB( )A．50° B．45° C．40° D．35° 9．A+∠B+∠C+∠D＝180°．如圖，已知射線ox與射線oy分別為oy、∠BAy的平分線交于C．問：B、A在ox、oy上運(yùn)動(dòng)過程中，∠C的度數(shù)是否改變?若不改變，求出其值；若改變，說明理由．已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三形共個(gè)．三角形的三個(gè)內(nèi)角分別αβγ，α≥β≥γ=2γ，β的取值范．已知△ABC的周長是12，三邊為a、、c，若b是最大邊，則b的取值范圍．如圖和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長線上、EF分別平分和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，則的大小．1已知ABC中∠B=6°C∠A且∠C＝∠A2+∠B2則ABC的形狀( )A．銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 D．不能確(“希望杯”邀請賽試)不等邊三角形中，如果有一條邊長等于另外兩條邊長的平均值，那么最大邊上的高最小邊上的高的比值k的取值范圍( )3 1 1A．4k1 B．3k1 C．1<k<2 2k1已知三角形的三邊的長abc都是整數(shù)且若則這樣的三角形( )PAGE6用心愛心PAGE6用心愛心專心A．14個(gè) B．28個(gè) C．21個(gè) D．49個(gè)18．如果三角形的一個(gè)外角大于這個(gè)三角形的某兩個(gè)內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)三角形一定( )A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．直角或鈍角三角形19．如圖，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度數(shù)．不等邊△ABC 的兩條高長度分別為4和若第三條高長也是整數(shù)，試求它的長．將長度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4b，c)為三邊的長，且滿足a≤b≤c就n＝4，5，6(a，b，c)；(12n(n為自然數(shù)且n≥4c)的個(gè)數(shù)一定是n＝12時(shí)的所有((a，b，c)的個(gè)數(shù)；試將n=12時(shí)所有滿足題意的(a，b，c閱讀以下材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成133465l0歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S發(fā)現(xiàn)：分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成133．條直線；當(dāng)有651O歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)nSn，發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)的個(gè)數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成直線條數(shù)21=S=221233=S=33246=S=442510=S=552????n??n(n-1)2n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)以有nB有(n－1)n(n－1)ABBA2，n(n-1)即Sn= ．2n(n-1)結(jié)論：Sn= ．2試探究以下問題：平面上有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)