2023年高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時47《拋物線》達(dá)標(biāo)練習(xí)（教師版）

2023年高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時47《拋物線》達(dá)標(biāo)練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是()A.(0，a)B.(a,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))【答案解析】答案為：C解析：將y=4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2=eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a))).故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝()A.eq\f(\r(30),3)B.6C.12D.7eq\r(3)【答案解析】答案為：C解析：拋物線C：y2＝3x的焦點為F(eq\f(3,4),0)，所以AB所在的直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x-eq\f(3,4))，將y＝eq\f(\r(3),3)(x-eq\f(3,4))代入y2＝3x，消去y整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(21,2)，由拋物線的定義可得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3過拋物線y2＝8x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點C，若|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))(λ>0)，則λ的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D.3【答案解析】答案為：D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，則x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4eq\r(2)，點A(4,4eq\r(2))，則直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq\r(2))，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得B(1，－2eq\r(2))，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C：x2=2py(p＞0)，若直線y=2x被拋物線所截弦長為4eq\r(5)，則拋物線C方程為()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y【答案解析】答案為：C；解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，))即兩交點坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，則eq\r(4p2＋8p2)=4eq\r(5)，得p=1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2=2y.LISTNUMOutlineDefault\l3過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線與雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的一條漸近線平行，并交拋物線于A，B兩點，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，則拋物線的方程為()A.y2＝2xB.y2＝3xC.y2＝4xD.y2＝x【答案解析】答案為：A解析：由雙曲線方程x2－eq\f(y2,3)＝1知其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，∴過拋物線焦點F且與漸近線平行的直線AB的斜率為±eq\r(3)，不妨取kAB＝eq\r(3)，則其傾斜角為60°，即∠AFx＝60°.過A作AN⊥x軸，垂足為N.由|AF|＝2，得|FN|＝1.過A作AM⊥準(zhǔn)線l，垂足為M，則|AM|＝p＋1.由拋物線的定義知，|AM|＝|AF|，∴p＋1＝2，∴p＝1，∴拋物線的方程為y2＝2x，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3若拋物線y2＝2px(p＞0)上的點P(x0，eq\r(2))到其焦點F的距離是P到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.2【答案解析】答案為：D解析：根據(jù)焦半徑公式|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，所以x0＋eq\f(p,2)＝3x0，解得x0＝eq\f(p,4)，代入拋物線方程(eq\r(2))2＝2p×eq\f(p,4)，解得p＝2.LISTNUMOutlineDefault\l3已知圓C：(x－5)2＋(y－eq\f(1,2))2=8，拋物線E：x2=2py(p>0)上兩點A(－2，y1)與B(4，y2)，若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切，則E的準(zhǔn)線方程為()A.x=－eq\f(1,2)B.y=－1C.y=－eq\f(1,2)D.x=－1【答案解析】答案為：C.解析：由題意知，A(－2，eq\f(2,p))，B(4，eq\f(8,p))，∴kAB=eq\f(\f(8,p)－\f(2,p),4－－2)=eq\f(1,p)，設(shè)拋物線E上的切點為(x0，y0)，由y=eq\f(x2,2p)，得y′=eq\f(x,p)，∴eq\f(x0,p)=eq\f(1,p)，∴x0=1，∴切點為(1，eq\f(1,2p))，∴切線方程為y－eq\f(1,2p)=eq\f(1,p)(x－1)，即2x－2py－1=0，∵切線2x－2py－1=0與圓C相切，∴圓心C(5，eq\f(1,2))到切線的距離為2eq\r(2)，即eq\f(|9－p|,\r(4＋4p2))=2eq\r(2)，∴31p2＋18p－49=0，∴(p－1)(31p＋49)=0，∵p>0，∴p=1.∴拋物線x2=2y的準(zhǔn)線方程為y=－eq\f(1,2)，故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1)B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1)D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)【答案解析】答案為：A；解析：過A，B點分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N，則|AM|=|AF|－1，|BN|=|BF|－1.可知eq\f(S△BCF,S△ACF)=eq\f(\f(1,2)·|CB|·|CF|·sin∠BCF,\f(1,2)·|CA|·|CF|·sin∠BCF)=eq\f(|CB|,|CA|)=eq\f(|BN|,|AM|)=eq\f(|BF|－1,|AF|－1)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知點M，N是拋物線y＝4x2上不同的兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且滿足∠MFN＝135°，弦MN的中點P到直線l：y＝－eq\f(1,16)的距離為d，若|MN|2＝λ·d2，則λ的最小值為()A.eq\f(\r(2),2)B.1－eq\f(\r(2),2)C.1＋eq\f(\r(2),2)D.2＋eq\r(2)【答案解析】答案為：D解析：拋物線y＝4x2的焦點F(0,eq\f(1,16))，準(zhǔn)線為y＝－eq\f(1,16)，設(shè)|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，可得|MN|2＝|MF|2＋|NF|2－2|MF|·|NF|·cos∠MFN＝a2＋b2＋eq\r(2)ab，由拋物線的定義可得M到準(zhǔn)線的距離為|MF|，N到準(zhǔn)線的距離為|NF|，由梯形的中位線定理可得d＝eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(1,2)(a＋b)，由|MN|2＝λ·d2，可得eq\f(1,4)λ＝eq\f(a2＋b2＋\r(2)ab,a＋b2)＝1－eq\f(2－\r(2)ab,a＋b2)≥1－eq\f(2－\r(2)ab,2\r(ab)2)＝1－eq\f(2－\r(2),4)＝eq\f(2＋\r(2),4)，可得λ≥2＋eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取得最小值2＋eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M，若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)【答案解析】答案為：D解析：由題意可知，拋物線開口向上且焦點坐標(biāo)為(0,eq\f(p,2))，雙曲線焦點坐標(biāo)為(2,0)，所以兩個焦點連線的直線方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2).設(shè)M(x0，y0)，則有y′＝eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)?x0＝eq\f(\r(3),3)p.因為y0＝eq\f(1,2p)xeq\o\al(2,0)，所以y0＝eq\f(p,6).又M點在直線y＝－eq\f(p,4)(x－2)上，即有eq\f(p,6)＝－eq\f(p,4)(eq\f(\r(3),3)p-2)?p＝eq\f(4\r(3),3)，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°，過AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則eq\f(|MN|,|AB|)的最大值為()A.eq\f(\r(3),3)B.1C.eq\f(2\r(3),3)D.2【答案解析】答案為：A；解析：過A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖，由題意知|MN|=eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)=eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2=|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos120°=|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,|AB|)))2=eq\f(1,4)·eq\f(|AF|2＋|BF|2＋2|AF||BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(|AF||BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|)))=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\f(|AF|,|BF|)＋\f(|BF|,|AF|)＋1)))≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2＋1)))=eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時取等號，∴eq\f(|MN|,|AB|)的最大值為eq\f(\r(3),3).LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y2=2px(p＞0)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，其準(zhǔn)線與x軸交于點B，直線AB與拋物線的另一個交點為M，若eq\o(MB,\s\up7(→))=λeq\o(AB,\s\up7(→))，則實數(shù)λ為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.2D.3【答案解析】答案為：C；解析：把點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))代入拋物線的方程得2=2p×eq\f(1,2)，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x，則B(－1,0)，設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,M),4)，yM))，則eq\o(AB,\s\up7(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\r(2)))，eq\o(MB,\s\up7(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(y\o\al(2,M),4)，－yM))，由eq\o(MB,\s\up7(→))=λeq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－\f(y\o\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ=2或λ=1(舍去)，故選C.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C的方程為y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與⊙M相切，那么p的值為__________.【答案解析】答案為：12或4.解析：將⊙M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4,0)，半徑r＝2，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴|4－eq\f(p,2)|＝2，解得p＝12或4.LISTNUMOutlineDefault\l3已知點A(1，y1)，B(9，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，y2>y1>0，點F是拋物線的焦點，若|BF|＝5|AF|，則yeq\o\al(2,1)＋y2的值為________.【答案解析】答案為：10.解析：由拋物線的定義可知，9＋eq\f(p,2)＝5(1＋eq\f(p,2))，解得p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x，又∵A，B兩點在拋物線上，∴y1＝2，y2＝6，∴yeq\o\al(2,1)＋y2＝22＋6＝10.LISTNUMOutlineDefault\l3直線3x－4y＋4＝0與拋物線x2＝4y和圓x2＋(y－1)2＝1從左至右的交點依次為A，B，C，D，則eq\f(|CD|,|AB|)的值為________.【答案解析】答案為：16解析：如圖所示，拋物線x2＝4y的焦點為F(0,1)，直線3x－4y＋4＝0過點(0,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,3x－4y＋4＝0，))得4y2－17y＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，