時(shí)間序列 課件

§5.3長期趨勢分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型線性趨勢非線性趨勢趨勢線的選擇§5.3長期趨勢分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測定方法）線性趨勢時(shí)間序列的構(gòu)成要素循環(huán)波動季節(jié)變動長期趨勢剩余法移動平均法線性模型法不規(guī)則波動非線性趨勢趨勢剔出法按月(季)平均法Gompertz曲線指數(shù)曲線二次曲線修正指數(shù)曲線Logistic曲線時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測定方法）線性趨勢時(shí)間一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素長期趨勢(Seculartrend)呈現(xiàn)出某種持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)變動(SeasonalFluctuation)也稱季節(jié)性(seasonality)時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動循環(huán)波動(CyclicalMovement)也稱周期性(cyclity)

圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動不規(guī)則波動(IrregularVariations)也稱隨機(jī)性(random)

除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素2.模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素分為四種，即長期趨勢(T)、季節(jié)性或季節(jié)變動(S)、周期性或循環(huán)波動(C)、隨機(jī)性或不規(guī)則波動(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型長期趨勢

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向或狀態(tài)由影響時(shí)間序列的基本因素作用形成時(shí)間序列的主要構(gòu)成要素有線性趨勢和非線性趨勢長期趨勢

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向二、線性趨勢現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律測定方法有移動平均法線性模型法二、線性趨勢現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化1.移動平均法

(MovingAverageMethod)測定長期趨勢的一種較簡單的常用方法通過擴(kuò)大原時(shí)間序列的時(shí)間間隔，并按一定的間隔長度逐期移動，計(jì)算出一系列移動平均數(shù)由移動平均數(shù)形成的新的時(shí)間序列對原時(shí)間序列的波動起到修勻作用，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象發(fā)展的變動趨勢移動步長為K(1<K<n)的移動平均序列為1.移動平均法

(MovingAverageMetho移動平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我國汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份產(chǎn)量(萬輛)年份產(chǎn)量(萬輛)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表5-6。分別計(jì)算三年和五年移動平均趨勢值，并作圖與原序列比較

移動平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我年份時(shí)間標(biāo)號產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動平均五項(xiàng)移動平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份時(shí)間標(biāo)號產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動平均五項(xiàng)移動平均198111移動平均法

(趨勢圖)05010015020019811985198919931997產(chǎn)量五項(xiàng)移動平均趨勢值汽車產(chǎn)量（萬輛）

圖5-1汽車產(chǎn)量移動平均趨勢圖（年份）移動平均法

(趨勢圖)0501001502001981198移動平均法

(應(yīng)注意的問題)移動平均后的趨勢值應(yīng)放在各移動項(xiàng)的中間位置對于偶數(shù)項(xiàng)移動平均需要進(jìn)行“中心化”移動間隔的長度應(yīng)長短適中如果現(xiàn)象的發(fā)展具有一定的周期性，應(yīng)以周期長度作為移動間隔的長度若時(shí)間序列是季度資料，應(yīng)采用4項(xiàng)移動平均若為月份資料，應(yīng)采用12項(xiàng)移動平均移動平均法

(應(yīng)注意的問題)移動平均后的趨勢值應(yīng)放在各移動項(xiàng)2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢變化時(shí)，可用線性模型表示線性模型的形式為—時(shí)間序列的趨勢值t—時(shí)間標(biāo)號a—趨勢線在Y軸上的截距b—趨勢線的斜率，表示時(shí)間t

變動一個(gè)單位時(shí)觀察值的平均變動數(shù)量2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢方程中的兩個(gè)未知常數(shù)

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根據(jù)回歸分析中的最小二乘法原理使各實(shí)際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢直線，也可用于配合趨勢曲線根據(jù)趨勢線計(jì)算出各個(gè)時(shí)期的趨勢值線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢方程中的兩個(gè)未線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標(biāo)準(zhǔn)方程為取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有t=0，上式可化簡為解得：解得：線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量直線趨勢計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號t產(chǎn)量(萬輛)Yit×Ytt2趨勢值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合計(jì)1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法確定汽車產(chǎn)量的直線趨勢方程，計(jì)算出1981～1998年各年汽車產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a

和

b結(jié)果如下汽車產(chǎn)量的直線趨勢方程為$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(萬輛)2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測值為線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a和b結(jié)線性模型法

(趨勢圖)05010015020019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢值

圖5-2汽車產(chǎn)量直線趨勢（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）線性模型法

(趨勢圖)0501001502001981198三、非線性趨勢三、非線性趨勢現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)一般形式為（一）二次曲線

(SecondDegreeCurve)a、b、c

為未知常數(shù)根據(jù)最小二乘法求得現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)（一）二次曲線

(SecondD二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有根據(jù)最小二乘法得到求解a、b、c

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】

已知我國1978～1992年針織內(nèi)衣零售量數(shù)據(jù)如表5-9。試配合二次曲線，計(jì)算出1978～1992年零售量的趨勢值，并預(yù)測1993年的零售量，作圖與原序列比較表5-91978～1992年針織內(nèi)衣零售量年份零售量(億件)年份零售量(億件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】已知我國1978～199二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次曲線計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號t零售量(億件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趨勢值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合計(jì)0173.845.22802712.69352173.8二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a

、

b、c

的結(jié)果如下針織內(nèi)衣零售量的二次曲線方程為$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(億件)1993年零售量的預(yù)測值為二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a、b、c的結(jié)果二次曲線

(趨勢圖)048121619781980198219841986198819901992零售量趨勢值零售量（億件）圖5-3針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢（年份）二次曲線

(趨勢圖)04812161978198019821用于描述以幾何級數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象一般形式為（二）指數(shù)曲線

(Exponentialcurve)a、b為未知常數(shù)若b>1，增長率隨著時(shí)間t的增加而增加若b<1，增長率隨著時(shí)間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢值逐漸降低到以0為極限用于描述以幾何級數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象（二）指數(shù)曲線

(Expo指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)，上式可化簡為采取“線性化”手段將其化為對數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標(biāo)準(zhǔn)方程為指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的資料，確定1981～1998年我國汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程，求出各年汽車產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程為2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測值為指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的指數(shù)曲線

(趨勢圖)05010015020025019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢值圖5-4汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）指數(shù)曲線

(趨勢圖)05010015020025019811指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應(yīng)用可以反應(yīng)出現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽車產(chǎn)量趨勢值的平均發(fā)展速度不同序列的指數(shù)曲線可以進(jìn)行比較比較分析相對增長程度指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應(yīng)用在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K一般形式為（三）修正指數(shù)曲線

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1修正指數(shù)曲線用于描述的現(xiàn)象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限(即當(dāng)K>0，a<0，0<b<1)在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K（三）修正指數(shù)曲線

(M修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢值K無法事先確定時(shí)采用將時(shí)間序列觀察值等分為三個(gè)部分，每部分有m個(gè)時(shí)期令趨勢值的三個(gè)局部總和分別等于原序列觀察值的三個(gè)局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢值K無法事先修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)局部總和分別為S1，S2，S3根據(jù)三和法求得修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)將上式右端括號內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得將上式右端括號內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~1995年我國小麥單位面積產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如表5-12。試確定小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較表5-121978～1995年小麥單位面積產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~199修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程為$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測值為$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程修正指數(shù)曲線

(趨勢圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢值K

圖5-5小麥單位面積產(chǎn)量修正指數(shù)曲線趨勢（年份）產(chǎn)單位面積量（公斤/公頃）K=3659.149修正指數(shù)曲線

(趨勢圖)010002000300040001以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名一般形式為K、a、b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龔鉑茨曲線

(Gompertzcurve)所描述的現(xiàn)象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y0以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名K、a、將其改寫為對數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反對數(shù)求得a和K令：則有：將其改寫為對數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】

根據(jù)表5-12的數(shù)據(jù)，試確定小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】根據(jù)表5-1Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程為2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測值為Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的GomGompertz曲線

(趨勢圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢值KK=3566.04

圖5-6小麥單位面積產(chǎn)量Gompertz曲線趨勢（年份）（公斤/公頃）Gompertz曲線

(趨勢圖)0100020003000（六）羅吉斯蒂曲線

(LogisticCurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a>0，0<b≠11838年比利時(shí)數(shù)學(xué)家Verhulst所確定的名稱該曲線所描述的現(xiàn)象的特征與Gompertz曲線類似3.其曲線方程為（六）羅吉斯蒂曲線

(LogisticCurve)K、aLogistic曲線

(求解k、a、b的三和法)取觀察值Yt的倒數(shù)Yt-1當(dāng)Yt-1

很小時(shí)，可乘以10的適當(dāng)次方

a、b、K的求解方程為Logistic曲線

(求解k、a、b的三和法)取觀察四、趨勢線的選擇觀察散點(diǎn)圖根據(jù)觀察數(shù)據(jù)本身，按以下標(biāo)準(zhǔn)選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數(shù)的一次差大體相同，配合指數(shù)曲線一次差的環(huán)比值大體相同，配合修正指數(shù)曲線對數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差四、趨勢線的選擇觀察散點(diǎn)圖圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)返回圖形描述

(例題分析)返回線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長率數(shù)據(jù)，用最小二乘法確定直線趨勢方程，計(jì)算出各期的趨勢值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的人口自然增長率，并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進(jìn)行比較線性趨勢方程：預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年人口自然增長率的預(yù)測值：‰

線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長率數(shù)據(jù)，用最小線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計(jì)算出各期的趨勢值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的能源生產(chǎn)總量，并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進(jìn)行比較二次曲線方程：預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年能源生產(chǎn)總量的預(yù)測值：二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計(jì)算出二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的人均GDP，并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進(jìn)行比較指數(shù)曲線趨勢方程：預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年人均GDP的預(yù)測值：指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進(jìn)行比較修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測值預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程$Y修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進(jìn)行比較Gompertz曲線

(例題分析)【例】我國1983~2Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的Gompertz曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測值預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差Gompertz曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的GompeGompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)§5.3長期趨勢分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型線性趨勢非線性趨勢趨勢線的選擇§5.3長期趨勢分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測定方法）線性趨勢時(shí)間序列的構(gòu)成要素循環(huán)波動季節(jié)變動長期趨勢剩余法移動平均法線性模型法不規(guī)則波動非線性趨勢趨勢剔出法按月(季)平均法Gompertz曲線指數(shù)曲線二次曲線修正指數(shù)曲線Logistic曲線時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測定方法）線性趨勢時(shí)間一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素長期趨勢(Seculartrend)呈現(xiàn)出某種持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)變動(SeasonalFluctuation)也稱季節(jié)性(seasonality)時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動循環(huán)波動(CyclicalMovement)也稱周期性(cyclity)

圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動不規(guī)則波動(IrregularVariations)也稱隨機(jī)性(random)

除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素2.模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素分為四種，即長期趨勢(T)、季節(jié)性或季節(jié)變動(S)、周期性或循環(huán)波動(C)、隨機(jī)性或不規(guī)則波動(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型長期趨勢

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向或狀態(tài)由影響時(shí)間序列的基本因素作用形成時(shí)間序列的主要構(gòu)成要素有線性趨勢和非線性趨勢長期趨勢

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向二、線性趨勢現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律測定方法有移動平均法線性模型法二、線性趨勢現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化1.移動平均法

(MovingAverageMethod)測定長期趨勢的一種較簡單的常用方法通過擴(kuò)大原時(shí)間序列的時(shí)間間隔，并按一定的間隔長度逐期移動，計(jì)算出一系列移動平均數(shù)由移動平均數(shù)形成的新的時(shí)間序列對原時(shí)間序列的波動起到修勻作用，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象發(fā)展的變動趨勢移動步長為K(1<K<n)的移動平均序列為1.移動平均法

(MovingAverageMetho移動平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我國汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份產(chǎn)量(萬輛)年份產(chǎn)量(萬輛)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表5-6。分別計(jì)算三年和五年移動平均趨勢值，并作圖與原序列比較

移動平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我年份時(shí)間標(biāo)號產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動平均五項(xiàng)移動平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份時(shí)間標(biāo)號產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動平均五項(xiàng)移動平均198111移動平均法

(趨勢圖)05010015020019811985198919931997產(chǎn)量五項(xiàng)移動平均趨勢值汽車產(chǎn)量（萬輛）

圖5-1汽車產(chǎn)量移動平均趨勢圖（年份）移動平均法

(趨勢圖)0501001502001981198移動平均法

(應(yīng)注意的問題)移動平均后的趨勢值應(yīng)放在各移動項(xiàng)的中間位置對于偶數(shù)項(xiàng)移動平均需要進(jìn)行“中心化”移動間隔的長度應(yīng)長短適中如果現(xiàn)象的發(fā)展具有一定的周期性，應(yīng)以周期長度作為移動間隔的長度若時(shí)間序列是季度資料，應(yīng)采用4項(xiàng)移動平均若為月份資料，應(yīng)采用12項(xiàng)移動平均移動平均法

(應(yīng)注意的問題)移動平均后的趨勢值應(yīng)放在各移動項(xiàng)2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢變化時(shí)，可用線性模型表示線性模型的形式為—時(shí)間序列的趨勢值t—時(shí)間標(biāo)號a—趨勢線在Y軸上的截距b—趨勢線的斜率，表示時(shí)間t

變動一個(gè)單位時(shí)觀察值的平均變動數(shù)量2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢方程中的兩個(gè)未知常數(shù)

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根據(jù)回歸分析中的最小二乘法原理使各實(shí)際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢直線，也可用于配合趨勢曲線根據(jù)趨勢線計(jì)算出各個(gè)時(shí)期的趨勢值線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢方程中的兩個(gè)未線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標(biāo)準(zhǔn)方程為取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有t=0，上式可化簡為解得：解得：線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量直線趨勢計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號t產(chǎn)量(萬輛)Yit×Ytt2趨勢值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合計(jì)1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法確定汽車產(chǎn)量的直線趨勢方程，計(jì)算出1981～1998年各年汽車產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a

和

b結(jié)果如下汽車產(chǎn)量的直線趨勢方程為$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(萬輛)2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測值為線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a和b結(jié)線性模型法

(趨勢圖)05010015020019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢值

圖5-2汽車產(chǎn)量直線趨勢（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）線性模型法

(趨勢圖)0501001502001981198三、非線性趨勢三、非線性趨勢現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)一般形式為（一）二次曲線

(SecondDegreeCurve)a、b、c

為未知常數(shù)根據(jù)最小二乘法求得現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)（一）二次曲線

(SecondD二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有根據(jù)最小二乘法得到求解a、b、c

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】

已知我國1978～1992年針織內(nèi)衣零售量數(shù)據(jù)如表5-9。試配合二次曲線，計(jì)算出1978～1992年零售量的趨勢值，并預(yù)測1993年的零售量，作圖與原序列比較表5-91978～1992年針織內(nèi)衣零售量年份零售量(億件)年份零售量(億件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】已知我國1978～199二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次曲線計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號t零售量(億件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趨勢值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合計(jì)0173.845.22802712.69352173.8二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a

、

b、c

的結(jié)果如下針織內(nèi)衣零售量的二次曲線方程為$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(億件)1993年零售量的預(yù)測值為二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a、b、c的結(jié)果二次曲線

(趨勢圖)048121619781980198219841986198819901992零售量趨勢值零售量（億件）圖5-3針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢（年份）二次曲線

(趨勢圖)04812161978198019821用于描述以幾何級數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象一般形式為（二）指數(shù)曲線

(Exponentialcurve)a、b為未知常數(shù)若b>1，增長率隨著時(shí)間t的增加而增加若b<1，增長率隨著時(shí)間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢值逐漸降低到以0為極限用于描述以幾何級數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象（二）指數(shù)曲線

(Expo指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)，上式可化簡為采取“線性化”手段將其化為對數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標(biāo)準(zhǔn)方程為指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的資料，確定1981～1998年我國汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程，求出各年汽車產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程為2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測值為指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的指數(shù)曲線

(趨勢圖)05010015020025019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢值圖5-4汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）指數(shù)曲線

(趨勢圖)05010015020025019811指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應(yīng)用可以反應(yīng)出現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽車產(chǎn)量趨勢值的平均發(fā)展速度不同序列的指數(shù)曲線可以進(jìn)行比較比較分析相對增長程度指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應(yīng)用在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K一般形式為（三）修正指數(shù)曲線

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1修正指數(shù)曲線用于描述的現(xiàn)象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限(即當(dāng)K>0，a<0，0<b<1)在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K（三）修正指數(shù)曲線

(M修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢值K無法事先確定時(shí)采用將時(shí)間序列觀察值等分為三個(gè)部分，每部分有m個(gè)時(shí)期令趨勢值的三個(gè)局部總和分別等于原序列觀察值的三個(gè)局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢值K無法事先修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)局部總和分別為S1，S2，S3根據(jù)三和法求得修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)將上式右端括號內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得將上式右端括號內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~1995年我國小麥單位面積產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如表5-12。試確定小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較表5-121978～1995年小麥單位面積產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~199修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程為$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測值為$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程修正指數(shù)曲線

(趨勢圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢值K

圖5-5小麥單位面積產(chǎn)量修正指數(shù)曲線趨勢（年份）產(chǎn)單位面積量（公斤/公頃）K=3659.149修正指數(shù)曲線

(趨勢圖)010002000300040001以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名一般形式為K、a、b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龔鉑茨曲線

(Gompertzcurve)所描述的現(xiàn)象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y0以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名K、a、將其改寫為對數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反對數(shù)求得a和K令：則有：將其改寫為對數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】

根據(jù)表5-12的數(shù)據(jù)，試確定小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢值，并預(yù)測2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】根據(jù)表5-1Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程為2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測值為Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的GomGompertz曲線

(趨勢圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢值KK=3566.0