2007年復變函數(shù)與積分變換試題及解答(B卷)

第第12頁/共6頁2007～2008學年第一學期《復變函數(shù)與積分變換》課程考試試卷(B卷)院系) 1 專業(yè)班學號 名 考試日期: 年月 日 考試時間:0:00~0:00題號題號一二三四五六七總分得分得分評卷人一、選擇題(每題2分，共20分得分評卷人1、復數(shù)

34i2的模為( )12i 5A. ； B.5

5； C. 5．52、復數(shù)13i的主輻角為( )A. arctan3； B. arctan3； C. arctan3．3、|zi||zi|所表示的平面區(qū)域為( )A.上半平面； B.下半平面； C.單位圓的內部．4、Ln(1)的值為( )A. (2k1)i； B. 2ki； C.無意義．5、方程z22i0的根為( )z1z

1i,z21i,z

1i；1i；1z1

21i,z2

1i．6、函數(shù)f(z)2xyix2 ( )A.處處可導；B.y0上可導；C.處處不可導．7、設f(z)2xyi(y2x2)，則f(z) ( )A. 2x2yi； B. 2y2xi； C. 2x2yi．8、級數(shù)

n

(1)n ( )iniA.絕對收斂； B.條件收斂； C.發(fā)散．9、z0是函數(shù)f(z)sinz 的( )z2A.可去奇點； B.二階極點； C.一階極點．10、區(qū)域D{z:0Imz}在映射wez下的像為( )A.單位圓的內部； B.下半平面； C.上半平面．得分評卷人二、填空題(每題2分，共10分得分評卷人11、函數(shù)f(z) 在zi點展開成泰勒(Taylor)級數(shù)的1(z1)(z2)收斂半徑．2、積分

|z|4

sinz dz ．(z)23、映射f(z)z24z在z1i處的旋轉角.14函數(shù)f(t)cos2t 的Fourier變換為F) .15、函數(shù)F(s) 的Laplace逆變換為f(t) .s(s1)得分評卷人三、計算題(每題5分，共20分得分評卷人1、 sin2z dzz2(z|z|22、 z3cos1dzz|z|23、 cosxdx x244、2 1 d54sin0得分評卷人四、(12分)已知調和函數(shù)u(x,y)x2y22xy，求函數(shù)v(x,y)，使函數(shù)f(z)uiv解析且滿足f(i)1i得分評卷人得分評卷人五(12分)將函數(shù)f(z) 1 在z0點得分評卷人(z1)(z2)展開為洛朗(Laurent)級數(shù)．得分評卷人六、(14分)求把區(qū)域Dz:|z|1,Imz得分評卷人映射到單位圓內部的共形映射．得分評卷人七、(12分)利用Laplace得分評卷人xt)yt)1, x(0)0,x(t)y(t)t, y(0)1.2007～2008學年第一學期《復變函數(shù)與積分變換》課程考試試卷(B卷)解答院系) 專業(yè)班級 學號 姓名 考試日期: 年月 日 考試時間:0:00~0:00題號題號一二三四五六七總分得分得分評卷人一、選擇題(每題2分，共20分得分評卷人1、復數(shù)

34i2的模為(C)12i55A. ； B.5 ； C. 5．55213i(C)A. arctan3； B. arctan3； C. arctan3．3、|zi||zi|(A)A.上半平面； B.下半平面； C.單位圓的內部．4、Ln1)(A)A. (2k1)i； B. 2ki； C.無意義．5z22i0(A)z1z

1i,z21i,z

1i；1i；1z1

21i,z2

1i．6、函數(shù)f(z)2xyix2 (B)A.處處可導；B.y0上可導；C.處處不可導．7、設f(z)2xyi(y2x2)，則f(z) (B)A. 2x2yi； B. 2y2xi； C. 2x2yi．8、級數(shù)

n

(1)nin

(B)A.絕對收斂； B.條件收斂； C.發(fā)散．9、z0是函數(shù)f(z)sinz 的(C)z2A.可去奇點； B.二階極點； C.一階極點．10、區(qū)域Dz:0Imz}在映射wez下的像為(C)A.單位圓的內部； B.下半平面； C.上半平面．得分評卷人二、填空題(每題2分，共10分得分評卷人11、函數(shù)f(z) 在zi點展開成泰勒(Taylor)級數(shù)的1(z1)(z2)收斂半徑為 2 ．2、積分

|z|4

sinz(z)2

dzi ．3、映射f(z)z24z在z1i處的旋轉角4 .4、f(t)cos2tFourierF(22)).15、函數(shù)F(s)1s(s

Laplacef(t)

et1 .得分評卷人三、計算題(每題5分，共20分得分評卷人1

|z|

sin2z dz2(z1)解：f(z

sin2zz2(z

，在|z|2內，函數(shù)f(z)有兩個奇點．z0為可去奇點，Res[f(z),0]0，z1Resf(zlimzf(z)z1sin2zz2 sin21z2z1原式i(Resf(z),0Resf(zisin21．2、 z3|z|2

1dzz1解：令f(z)z3cos ，在|z|2內，z0為f(z)的本性奇點，1z z3cos z3(1 ) ，z 2!z2 4!z4 6!z6 z原式iResf(z),0]

2ii．123、

cosxdx24解：f(z

eizz2

，它在上半平面只有一個簡單極點z2i，Res[f(z),2i]

eiz2zeiz2z

e2，4i原式ReiResf(z),2ie22

．2e24、0

1 d54sin解：z，則sin

z22iz

，ddz，iz原式 1 dz 1 dz． 4(z2iz

2z2

5iz2|z|1

5

|z|1f(z)

2iz 1 ，2z25iz2可知它在|z|1內只有一個簡單極點z i ，0 2原式iResf(z),z0

i4zi4z5i

．3得分評卷人四、(12分)已知調和函數(shù)u(x,y)x2y22xy，求函數(shù)v(x,y)，使函數(shù)f(z)uiv解析且滿足f(i)1i得分評卷人解：(1)由u

2x2y

v，有x yv(2x2y)dy2xyy2(x)，由u 2y2xv 2y(x)，有(x)2x，y x (x)(2x)dxx2c，即得v(x,y)2xyy2x2c，f(z)x2y22xyi(2xyy2x2c)；(2)由f(i)1i c0，故f(z)x2y22xyi(2xyy2x2)(1i)z2．得分評卷人五(12分)將函數(shù)f(z) 1 在z0點得分評卷人(z1)(z展開為洛朗(Laurent)級數(shù)．解：f(z) 1 1 1 1 1 ，(z1)(z2) z1 z2 1z 2z在復平面上以原點為中心分為三個解析環(huán)：0|z|1，1|z|2，2|z|．(1)0|z|1內，1 1f(z) 1z

21z2 2

zn

1 zn

11

1 zn．n0

2 n0

n0

2n1(2)1|z|2內，1 1f(z)

1 zz1z 212 1

1

zn

1

zn ．zn0

zn 2

2nn0

n0

zn

n

2n1(3)在2|z|內，1 1f(z)

1 2z1z z1z 1 1 1 2n 1 (2n1) ．zn0

zn

znn0

n

zn1得分評卷人六、(14分)求把區(qū)域Dz:|z|1,Imz得分評卷人映射到單位圓內部的共形映射．解： (z) 1z 1 z1 1

z z(z)1(z)111(z)211z z 3z 1z 122z)3z z24 3z)4(w)1(w)11z)12wz)1i1z2z)121ziz)1i1z21z