相似三角形6大證明技巧

相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法模塊一相似三角形證明方法相似三角形的判定方法總結(jié):1.2.3.4.1.2.3.4.5.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.（SSS）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.（SAS）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.（AA）斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似（HL）相似三角形的模型方法總結(jié):“反A”型與“反乂”型.示意圖結(jié)論工.C B反A型：如圖，已知^ABC,/ADE=Z。，則4ADEs△ACB(AA),AAE-AC=AD-AB.若連CD、BE,進(jìn)而能證明AACDs△ABE(SAS):D C反X型：如圖，已知角/BAO=/CD。，則△AOBs△DOC(AA),AOA-OC=OD-OB.若連AD,BC,進(jìn)而能證明△AODs△BOC.“類射影”與射影模型示意圖結(jié)論AC B類射影：如圖，已知^ABC,/ABD=/。，則^ABDs△ACB(AA),AAB2=AD-AC.C：射影定理如圖，已知/ACB=90°,CH±AB于H,則UAC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HBAH B2017年?04秋?9年級數(shù)學(xué)?相似專題班?第2講?學(xué)生版

“旋轉(zhuǎn)相似”與“一線三等角”示意圖結(jié)論AC旋轉(zhuǎn)相似：ABAD如圖，已知^ABC^AADE，則 — ，ACAEZBAC=ZDAE,；.ZBAD=ZCAE,???△BADsACAE(SAS)e EA B C一線三等角：如圖，已知/A=ZC=ZDBE，則△DABsABCE(AA)鞏固練習(xí)反人型與反X型已知98。中，/AEF=/ACB,求證：(1)AE-AB=AF-AC(2)/BEO=/CFO,/EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB類射影如圖，已知AB2如圖，已知AB2=AC-AD，求證:BDABBC-AC射影定理已知^ABC,ZACB=90°,CH±AB于H,求證：AC2=AH.AB,BC2=BH.BA,HC2=HA-HB2017年04秋?9年級數(shù)學(xué)相似專題班?第2講?學(xué)生版模塊二比例式的證明方法模塊二比例式的證明方法通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，比例線段的證明，離不開“平行線模型"6型，X型，線束型），也離不開上述的6種“相似模型”.但是，王老師認(rèn)為，“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎樣用好工具，取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復(fù)雜的問題變簡單。在本模塊中，我們將學(xué)比例式的證明中，會經(jīng)常用到的思維技巧.技巧一：三點(diǎn)定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計(jì)算 【例1】如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上的一點(diǎn)，DE交BC于尸，求證：DCCF?AE-AD需證△需證△DCFs^EBF【例2】如圖，△ABC中，ZBAC=90。，M為BC的中點(diǎn)，DM1BC交CA的延長線于D,交AB于E.求證：AM2=MD-ME需證△MEAs^MDA【例3】如圖，在RdABC中，AD是斜邊BC上的高，ZABC的平分線BE交AC于E,交AD交AD于F.求證:BFABBE-BC需證△ABEs^CBF2017年?04秋?9年級數(shù)學(xué)?相似專題班?第2講?學(xué)生版

技巧二：等線段代換悄悄地替換比例式中的某條線段…【例4】如圖，在△/BC,AD平分/BAC,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F，求證：FD2=FB-FC連AF,則AF=DF需證af2=FB?FC，需證△FACs^fbA【例5】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長線上，CE交AD于F,ZECA=ZD?求證：AC-BE=CE-AD????BC=AD需證AC?BE=CE?BC，需證△EAC^^ecb【例6】如圖，“CB為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90°,ZDAE=45°,求證：(1)AB2=BE-CD (2)BC2=2BE?CD2017年04秋?9年級數(shù)學(xué)相似專題班?第2講?學(xué)生版

證明；(1)在RkABC中,■,'AB=AC,.X'.vBAE=zBAD-zDAE..zDAE=45\zBAE。BAD十4咒HijzADC=zBAD-zE=zEAD-4S",-,zBAE=zADC⑵H-ABE-ACD,得些=上ABCDSE-CD=AS-AC而AE二AC,BC1=AB2-AC2,SC2=2ABSC2CD【例7】如圖，△ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF//AB,延長BP交AC于E，交CF于F.求證：BP2=PE-PF.AFCDAFCD連PC,需證PC2=PE?PF，需證△PECs^pcf技巧三：等比代換E、交CD的延長線于【例8】如圖，平行四邊形ABCD中，過B作直線AC、E、交CD的延長線于F，求證:即證OBOAOEOA即證OBOAOEOAOFOC"OBOC2017年?04秋?9年級數(shù)學(xué)?相似專題班?第2講?學(xué)生版【例9】如圖，在△ABC中，已知ZA=90。時(shí)，AD1BC于D,E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D、E作直線交AB的延長線于F.求證：AB-AF=AC-DF.需要證AB需要證AB_DFAC-AF即證AB_ADDF_BDAC—BD'AF—AD技巧四：等積代換技巧四：等積代換MBC證：/AEF=ZMBC證：/AEF=ZC【例10】如圖，△ABC中，BD、CE是高，EH1BC于H、交BD于G、交CA的延長線于M.求證：HE2=HG-MH.HE2=BH?HC,HG?MH=BH?HC【例11］如圖，在△ABC中，AD1BC于D,DE1AB于E,DF1AC于F,連EF,求AD2=AE?AB,AD2=AF?ACAE?AB=AF?AC,ZEAF=ZCAB△EAF^△CAB2017年04秋?9年級數(shù)學(xué)相似專題班?第2講?學(xué)生版ZCBDZCBD=ZECD.AE±BD,E為垂足，求證:【例12］如圖，在△ABC中，/BAC=AE±BD,E為垂足，求證:CD2=AD2=DE?DB△CDEs△BDC【例13］在Rt4BC中，AD.LBC,P為AD中點(diǎn)，MN_LBC,求證MN2=AN-NC延長DA、MN延長DA、MN交于E,證MN=NEMN?NE=AN?NC2017年?04秋?9年級數(shù)學(xué)?相似專題班?第2講?學(xué)生版技巧五：證等量先證等比【例14】已知，平行四邊形ABCD中，E、F分別在直線AD、CD上，EF//AC,BE、BF分別交AC于M、N.，求證：AM=CN.FN【例15】已知如圖AB=AC，BD//AC，AB//CE，過A點(diǎn)的直線分別交BD、CE于D、E.求證：AM=NC，技巧五：證等量先證等比【例14】已知，平行四邊形ABCD中，E、F分別在直線AD、CD上，EF//AC,BE、BF分別交AC于M、N.，求證：AM=CN.FN【例15】已知如圖AB=AC，BD//AC，AB//CE，過A點(diǎn)的直線分別交BD、CE于D、E.求證：AM=NC，MN//.DE.AMMCAECNNEAEABDCDE'ACBEDEAB=AC,AMCNABACAECMAEACBECN_CMDE'DCDEACDC△CNMs'CADPM_EMPNAP_EM

~FF~~B^FB~AB~1bPMPNPF=FB, =——PFFB2017年04秋?9年級數(shù)學(xué)相似專題班?第2講?學(xué)生版

FNECFMFMECA——=——,= =——,AC=BCAFACPFFBBCFNFM——=——,△FNMstFABAFPF【例17］如圖，正方形BFDE內(nèi)接于△ABC,CE與DF交于點(diǎn)N,AF交ED于點(diǎn)M,CE與AF交于點(diǎn)P.求證：(1)MN//AC；(2)EM=DN..EM_EMD一~FFEM_EMD一~FFAE_ADEN_ADEMAB_AC，EC—AC，DEEN“ “一=一,△EMNs^EDCEC【例18](X)設(shè)E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，P在BF上，DP//CF,Q1.在CE上，DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求證：RS=3PQ2017年?04秋?9年級數(shù)學(xué)?相似專題班?第2講?學(xué)生版【例19】(X)如圖，梯形ABCD的底邊AB上任取一點(diǎn)"過M作MK//BD,MN//AC,分別交AD、BC于K、N,連KN,分別交對角線AC、BD于P、Q,求證：KP=QN..技巧六：幾何計(jì)算【例20】(2016年四月調(diào)考)如圖，在4ABC中，AC>AB,AD是角平分線，AE是中線，BF±AD于G,交A