立體幾何中的平行與垂直(教學(xué)案)

【熱身訓(xùn)練】1．設(shè)

l，m表示直線，m是平面

α內(nèi)的任意一條直線，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的__________條件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中選填一個(gè))．解析：因?yàn)?/p>

m是平面

α內(nèi)的任意一條直線，若

l⊥m，則

l⊥α，所以充分性成立；反過來，若

l⊥α，則

l⊥m，所以必要性成立，故“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的充要條件．2．(2017·

鹽城二模)α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是__________(填上所有正確命題的序號)．①若

α∥β，m?

α，則

m∥β；②若

m∥α，n?

α，則

m∥n；m n m③若

α⊥β，α∩β＝n，⊥n，則

m⊥β

n⊥α，⊥β，⊥α，則

m n m解析：①④3

ABCD中，

AB⊥BD

BD將△ABD

ABD⊥面

BCD，連結(jié)

AC，則在四面體

ABCD的四個(gè)面中，互相垂直的平面有__________對．4．在正方體

ABCD

ABCD

中，點(diǎn)

M，N分別在

AB，BC

上(M，N不與

B，C

重 合)，且AM＝BN，那么①AA

⊥MN；②AC∥MN；③MN∥平面

ABCD；④MN與

AC 異面．以上

4

個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是__________．解析：過M作

MP∥AB交

BB

于

P，連接NP，則平面MNP∥平面

AC，所以MN∥平 面

ABCD，又

AA⊥平面

ABCD，所以

AA⊥MN.當(dāng)

M與

B

重合，N與

C

重合時(shí)， 則

AC

與

MN相交，所以①③正確． 【熱點(diǎn)追蹤】在立體幾何中，點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，特別是線面、面面的平行和垂直關(guān)系，是高中立體幾何的理論基礎(chǔ)，是高考命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)之一，一般考查形式為小題(位置關(guān)系基本定理判定)或解答題()大．柱、錐、臺、球及其簡單組合體和平面及其基本性質(zhì)雖然沒有單獨(dú)考查，但作為立體幾何最基本的要素是融入在解答題中考查的.（一）利用平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理解決位置關(guān)系例

1.

(2017·南通一模)

P

ABCD

ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)

O，點(diǎn)

E為

PC的中點(diǎn)，OP＝OC，PA⊥PD.求證：(1)直線

PA∥平面

BDE；(2)平面

BDE⊥平面

PCD.(2)因?yàn)?/p>

OE∥PA，PA⊥PD，所以

OE⊥PD.因?yàn)?/p>

OP＝OC，E為

PC的中點(diǎn)，所以

OE⊥PC.又因?yàn)?/p>

PD?

平面

PCD，PC?

平面

PCD，PC∩PD＝P，所以

OE⊥平面

PCD.又因?yàn)?/p>

OE?

平面

BDE，所以平面

BDE⊥平面

PCD.變式

1 (2017·南通三模)如圖，在四棱錐P

ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面

ABCD，AP＝AD，M，N分別為棱

PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面

PAB；(2)AM⊥平面

PCD.解析：

(1)因?yàn)?/p>

M，N分別為棱

PD，PC的中點(diǎn)，所以

MN∥DC，又因?yàn)榈酌?/p>

ABCD是矩形，所以

AB∥DC，所以

MN∥AB.又

AB?

平面

PAB，MN 平面

PAB，所以

MN∥平面

PAB.變式

2 如圖，點(diǎn)

P為矩形

ABCD所在平面外一點(diǎn)，且

PA⊥平面

ABCD.(1)求證：BC⊥平面

PAB；(2)過

CD作一平面交平面

PAB于

EF，求證：CD∥EF.解析：(1)因?yàn)?/p>

PA⊥平面

ABCD，BC?

平面

ABCD，所以

PA⊥BC.在矩形

ABCD中，BC⊥AB.因?yàn)?/p>

PA∩AB＝A，所以

BC⊥平面

PAB.(2)因?yàn)?/p>

CD∥AB，CD 平面

PAB，AB?

平面

PAB，所以

CD∥平面

PAB.又因?yàn)?/p>

CD?

平面

CDEF

，平面

CDEF

∩平面

PAB＝EF

，所以

CD∥EF

.（二）借助邊、角量的計(jì)算解決位置關(guān)系例

2.

如圖，在三棱柱ABC

ABC

中，AA⊥BC，∠AAC＝60°，AA＝AC＝BC＝1， AB＝

2.(1)求證：平面

ABC⊥平面

ACCA； (2)如果

D為

AB的中點(diǎn)，求證：BC∥平面

ACD. (2)如圖，連結(jié)

AC

交

AC

于點(diǎn)

O，連結(jié)

OD. 因?yàn)樗倪呅?/p>

ACCA

為平行四邊形，所以

O為

AC

的中點(diǎn)． 又因?yàn)?/p>

D為

AB的中點(diǎn)，所以

OD∥BC

.因?yàn)?/p>

OD 平面

ACD，BC

平面

ACD，所以

BC∥平面

ACD.

變式1 ABC

ABC

中，已知AB＝AC＝2AA，∠BAA＝∠CAA＝60°， 點(diǎn)

D，E分別為

AB，AC

的中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面

BBCC； (2)BB⊥平面

ABC. 解析：(1)如圖，取

AC的中點(diǎn)

M，連結(jié)

DM，EM.因?yàn)?/p>

D為

AB的中點(diǎn)，所以

DM∥BC.因?yàn)?/p>

DM 平面

BBCC，BC?

平面

BBCC，所以

DM∥平面

BBCC. 同理可證

EM∥平面

BBCC. 又

DM∩EM＝M，所以平面

DEM∥平面

BBCC. 因?yàn)?/p>

DE?

平面

DEM，所以

DE∥平面

BBCC. 如圖，在直三棱柱

ABC

AB如圖，在直三棱柱

ABC

ABC

中，點(diǎn)

D，E分別在邊

BC，BC

上，CD＝BE＝

AC，1 2∠ACD＝60°.求證：(1)BE∥平面

ACD；(2)平面

ADC⊥平面

BCCB

. 解析：(1)由三棱柱

ABCABC

是直三棱柱，得

BC∥BC

且

BC＝BC. 因?yàn)辄c(diǎn)

D，E分別在邊

BC，BC

上，CD＝BE，所以

BD＝CE

且

BD∥CE. 所以四邊形

BDCE是平行四邊形，所以

BE∥CD. 因?yàn)?/p>

CD 平面

ACD，BE 平面

ACD，所以

BE∥平面

ACD. （三）立體幾何中關(guān)于動點(diǎn)位置常見問題的處理(2)若點(diǎn)

F在線段

AC上，且滿足

AD∥平面

PEF，求

的值．例

3.

如圖，在三棱錐

P

ABC中，BC⊥平面

PAB.已知

PA＝(2)若點(diǎn)

F在線段

AC上，且滿足

AD∥平面

PEF，求

的值．BC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面

PBC；AFFCGC

PC 2FC

GC 2解析：(1)因?yàn)?/p>

BC⊥平面

PABGC

PC 2FC

GC 2所以

BC⊥AD.因?yàn)?/p>

PA＝AB，D為

PB的中點(diǎn)，所以

AD⊥PB.因?yàn)?/p>

PB∩BC＝B，所以

AD⊥平面

PBC.(2)連結(jié)

DC，交

PE于點(diǎn)

G，連結(jié)

F

G.因?yàn)?/p>

AD∥平面

PEF

，AD?

平面

ADC，平面

ADC∩平面

PEF

＝F

G，所以

AD∥F

G.因?yàn)?/p>

D為

PB的中點(diǎn)，E

為

BC的中點(diǎn)，連結(jié)

DE，則

DE為△BPC的中位線，△DEG∽△CPG.DG

DE 1所以 ＝ ＝

.AF

DG 1所以 ＝ ＝

.變式

1

ABC與直角梯形

ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M

為

AB的中點(diǎn)．(1)證明：CM⊥DE；(2)在邊

AC上找一點(diǎn)

N，使

CD∥平面

BEN.(2)當(dāng)AN 1＝

時(shí)，CD∥平面

BEN.解析：(1)因?yàn)?/p>

BC＝AC，(2)當(dāng)AN 1＝

時(shí)，CD∥平面

BEN.又平面

ABC⊥平面

ABDE

ABC∩平面

ABDE＝AB，CM?

平面

ABC，所以CM⊥平面

ABDE.又

DE?

平面

ABDE，所以

CM⊥DE.AC 3如圖，連結(jié)

AD交

BE于點(diǎn)

K，連結(jié)

KN.KD

BD 2

AD 3ACKD

BD 2

AD 3AC 3因?yàn)樵谔菪?/p>

ABDE中，BD∥AE，BD＝2AE，所以 ＝ ＝

，則 ＝

.AN 1又 ＝

，所以

KN∥CD.因?yàn)?/p>

KN?

平面

BEN，CD 平面

BEN，所以

CD∥平面

BEN.變式

2如圖，在四棱錐

P

ABCD中，底面

ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為

AD的中點(diǎn)．(1)若

PA＝PD，求證：平面

PQB⊥平面

PAD；(2)

點(diǎn)

M在線段

PC上，PM＝tPC，試確定實(shí)數(shù)

t的值，使得

PA∥平面

MQB.(2)當(dāng)且僅當(dāng)

t(2)當(dāng)且僅當(dāng)

t＝

時(shí)，PA∥平面

MQB.OC

CB 2

AC 33

CA

CP 33證明如下：連結(jié)

AC，設(shè)

AC∩BQ＝O，連結(jié)

OM.在△AOQ與△COB中，因?yàn)?/p>

AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB.所以△AOQ∽△COB.AO

AQ 1 AO 1所以 ＝ ＝

，所以 ＝

.1 CO

CM 2在△CAP與△COM中，當(dāng)

t＝

時(shí)，因?yàn)?＝ ＝

，∠ACP＝∠OCM，所以△CAP∽△COM.以上每步可逆．故當(dāng)

PA∥平面

MQB時(shí)可得

t＝

.以上每步可逆．故當(dāng)

PA∥平面

MQB時(shí)可得

t＝

.因?yàn)?/p>

OM 平面

MQB，PA 平面

MQB，所以

PA∥平面

MQB.13【乘熱打鐵】1．在空間中，用

a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列四個(gè)命題：(1)若

a∥b，b∥c，則

a∥c；(2)若

a⊥b，b⊥c，則

a⊥c；(3)若

a∥γ，b∥γ，則

a∥b；(4)若

a⊥γ，b⊥γ，則

a∥b.上述命題中，真命題的序號是__________(寫出所有命題的序號)．2．(2009·

江蘇卷)設(shè)

α和

β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：(1)若

α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于

β內(nèi)的兩條直線，則

α平行于

β；(2)若

α外一條直線

l

與

α內(nèi)的一條直線平行，則

l

和

α平行；(3)設(shè)

α和

β相交于直線

l，若

α內(nèi)有一條直線垂直于

l，則

α和

β垂直；(4)直線

l與

α垂直的充要條件是

l與

α內(nèi)的兩條直線垂直．上述命題中，真命題的序號是__________(寫出所有命題的序號)．3．如圖，AB為圓

O的直徑，點(diǎn)

C在圓周上(異于點(diǎn)

A，B)，直線

PA垂直于圓

O所在的平面，點(diǎn)

M是線段

PB的中點(diǎn)．有以下四個(gè)命題：(1)MO∥平面

PAC；(2)OC⊥平面

PAC；(3)平面

PAC⊥平面

PBC.其中正確的是__________(填序號)．解析：(1)因?yàn)?/p>

MO∥PA，MO 平面

PAC，PA?

平面

PAC，所以

MO∥平面

PAC；(2)因?yàn)?/p>

PA垂直于圓

O

所在的平面，所以

PA⊥BC.又

BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以

BC⊥平面

PAC.因?yàn)榭臻g內(nèi)過一點(diǎn)作已知平面的垂線有且只有一條，所以O(shè)C⊥平面

PAC不成立，(2)錯(cuò)誤；(3)由(2)知

BC⊥平面

PAC，且

BC?

平面

PBC，所以平面

PAC⊥平面

PBC.正確命題的序號是(1)(3)．4.如圖，在正三棱

ABC

ABC

中，已知

D，E分別為

BC，BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)

F在棱 CC

上，且

EF⊥