含有一個量詞的命題的否定

1.4.3含有一個量詞的命題的否定【學習目標】1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.會對含有一個量詞的命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.問題導學預習新知夯實基礎知識點一全稱命題的否定思考嘗試寫出下面含有一個量詞的全稱命題的否定，并歸納寫全稱命題否定的方法.所有矩形都是平行四邊形；每一個素數(shù)都是奇數(shù)；VxER,x2—2x+1N0.答案(1)將量詞“所有”換為：“存在一個”然后將結論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為：“存在一個矩形不是平行四邊形”；用同樣的方法可得(2)(3)的否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；3x0^R，x2—2x0+1<0.梳理寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結論否定.對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題p:VxEM,p(x)，它的否定^p:刁x0EM，*p(x0).全稱命題的否定是特稱命題.知識點二特稱命題的否定思考嘗試寫出下面含有一個量詞的特稱命題的否定，并歸納寫特稱命題否定的方法.有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；某些平行四邊形是菱形；3x0ER，x2+1<0.答案(1)先將存在量詞“有些”改寫為全稱量詞“所有”，然后將結論“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”否定，即“實數(shù)的絕對值不是正數(shù)，于是得原命題的否定為：“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”；同理可得(2)(3)的否定：所有平行四邊形都不是菱形；VxER，x2+1N0.梳理寫特稱命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫為全稱量詞，(2)將結論否定.對于含一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結論：特稱命題p:3x^M，p(x0)，它的否定^p:Vx^M，^p(x).特稱命題的否定是全稱命題.思考辨析判斷正誤命題^p的否定為p.(")Bx0^M,p(x0)與VxEM，^p(x)的真假性相反.(”)從特稱命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)^同時否定.(X)題型探究啟通思維探究重點類型一全稱命題的否定例1寫出下列全稱命題的否定：任何一個平行四邊形的對邊都平行；數(shù)列：1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)；Va,bER，方程ax=b都有唯一解；可以被5整除的整數(shù)，末位是0.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定解(1)其否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行.其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù).其否定：Ba，bER，使方程ax=b的解不唯一或不存在.其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.反思與感悟全稱命題的否定是特稱命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定.跟蹤訓練1寫出下列全稱命題的否定：p:每一個四邊形的四個頂點共圓；p:所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；p:任何實數(shù)x都是方程5x—12=0的根；p：對任意實數(shù)x,x2+1N0.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定解(1)解P:存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓.(2)^p:有些自然數(shù)的平方不是正數(shù).⑶^p:存在實數(shù)％不是方程5%-12=0的根.⑷^p:存在實數(shù)％，使得x2+1<0.類型二特稱命題的否定例2寫出下列特稱命題的否定，并判斷其真假.p：3x0ER,2x0+1N0；q：3x0￡R,x0-x0+4<0；r：有些分數(shù)不是有理數(shù).考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)解p:Vx￡R,2x+1v0，解p為假命題.^q:VxER，x2-x+4^0.,.,x2-x+4=(x-j2N0，「?^q是真命題.^r:—切分數(shù)都是有理數(shù)，^r是真命題.反思與感悟特稱命題的否定是全稱命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞.即p:Bx0^M，p(x0)成立習^p:Vx^M，^p(x)成立.跟蹤訓練2寫出下列特稱命題的否定，并判斷其否定的真假.有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；某些平行四邊形是菱形；刁％，J0eZ，使得'2x0+y0=3，考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”.它為假命題.(2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”.由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題.⑶命題的否定是“Vx，yEZ，2x+y/3”.當x=0，y=3時，2x+y=3，因此命題的否定是假命題.類型三含量詞的命題的應用例3已知命題“對于任意xER,x2+ax+1N0”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍.考點含有一個量詞的命題題點由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍解因為全稱命題“對于任意xER,x2+ax+1N0”的否定形式為：“存在x0ER,x2+ax0+1V0”.由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知，這個否定形式的命題是真命題.由于函數(shù)f(x)=x2+ax+1是開口向上的拋物線，借助二次函數(shù)的圖象易知：J=a2-4>0，解得aV-2或a>2.所以實數(shù)a的取值范圍是(-8，-2)U(2，+8).引申探究把本例中“假命題”改為“真命題”，求實數(shù)a的取值范圍.解由題意知J=a2-4<0，解得aE[-2,2].故a的取值范圍為[-2,2].反思與感悟含有一個量詞的命題與參數(shù)范圍的求解策略對于全稱命題“VxEM，a>fx)(或avfx))”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)fx)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(avf(x)min).對于特稱命題“M0EM，a>fx0)(或avfx0))”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)fx)的最小值(或最大值)，即a>fx)min(或avfx)max).若全稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形一特稱命題為真命題解決，同理，若特稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形式一全稱命題為真命題解決.跟蹤訓練3已知函數(shù)fx)=x2—2x+5.是否存在實數(shù)m,使不等式m+f(x)>0對于任意xER恒成立，并說明理由；若存在一個實數(shù)x0,使不等式m—fx0)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍.考點含有一個量詞的命題題點由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍解(1)不等式m+f(x)>0可化為m>-f(x),即m>-x命題“VxER,|xl+x2N0”的否定是()命題“VxER,|xl+x2N0”的否定是()A.VxER,lxl+x2<0B.VxER,|xl+x2W0C.3x0ER,lx0l+x2<0D.3x0ER,lx0l+x0^0考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案C3m0,n0EZ,使得m2=n2+2017的否定是()Vm,nEZ，使得m2=n2+20173m0,n0EZ,使得m0/n0+2017Vm,nEZ，Wm2/n2+2017以上都不對考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定答案C命題“VxER,x>sinx”的否定是.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案3x0ER,x0Wsinx0由命題“存在x0ER,使e’W’一mW?！笔羌倜}，得m的取值范圍是(一8,。)，則實數(shù)a的值是.考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題的否定一、選擇題下列命題中，真命題的個數(shù)是()①存在實數(shù)x0，使得x0+2=0；②有些角的正弦值大于1；③有些函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).要使m>-(x-1)2-4對于任意xER恒成立，只需m>-4即可.故存在實數(shù)m，使不等式m+f(x)>0對于任意xER恒成立，此時，只需m>-4.(2)不等式m-f(x0)>0可化為m>f(x0)若存在一個實數(shù)x0使不等式m>f(x0)成立只需m>fx)min.又f(x)=(x-1)2+4，Afx)min=4，:.m>4...?所求實數(shù)m的取值范圍是(4，+8).達標檢測檢測評價達標過美答案1解析其否定為：VxER，使eH-m>0,且為真命題.mVeRii.只需mV(e|x-1|)min=1.故a=1.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.3x0^R,10+2%+2=0；p:所有的正方形都是菱形；p:至少有一個實數(shù)x0,使x0+1=0.考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題的否定解(1)解p:VxER，x2+2x+2/0，真命題.由為VxER,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.(2)^p:至少存在一個正方形不是菱形，假命題.因為所有的正方形都是菱形.⑶^p：VxER，x3+1/0，假命題.因為當x=-1時，x3+1=0.規(guī)律與方法1.對含有全稱量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結論加以否定，如：將“N”否定為“<”..對含有存在量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結論加以否定.含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題.注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，要注意判斷.課時對點練注重雙基強化落實

0B.1C.2D.3考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案B解析奈+2巳2，故①是假命題；VxER,IsinxlWl,故②是假命題；f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以③是真命題.故選B.命題“對任意的xER,x3—x2+iW0”的否定是()A-存在x0ER,x3—X0+1W0存在x0ER,x3—X0+1N0存在x0ER,x3—x0+1>0對任意的xER,x3—x2+1>0考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案C解析由題意知，原命題為全稱命題，故其否定為特稱命題，所以否定為“存在x0ER,x3-x0+1>0”.故選C.已知命題p：存在aE(—8,0),a2—2a—3>0,那么命題p的否定是()存在aE(0,+8),a2—2a—3W0存在aE(—8,0),a2—2a—3W0對任意aE(0,+8),a2—2a—3W0對任意aE(—8,0),a2—2a—3W0考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定答案D解析易知^p:對任意aE(-8，0)，a2-2a-3W0，故選D.已知p：VxER,ax2+2x+3>0,如果^p是真命題，那么a的取值范圍是()A.a<3B.0<a<3C.aWg1-3

a.D考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案C解析易知^p:3%ER,呼+2%+3W0,顯然當a=0時，滿足題意；A.a<3B.0<a<3C.aWg1-3

a.D所以a的取值范圍是(-8，普.下列命題中，假命題是()A.VxER,2xt>0B.VxEN*,(x—1)2>0C.3x0ER,1gx0<1D.3x0ER,tanx0=2考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案B解析對于VxER，y=2x>0恒成立，而j=2x.i的圖象是將j=2x的圖象沿x軸向右平移1個單位長度，函數(shù)的值域不變，故2x.1>0恒成立，A為真命題；當x=1時，(x-1)2=0，故B為假命題；當0<x<10時，1gx<1，故3x0ER，1gx0<1，C為真命題；j=tanx的值域為R，故存在x0使得tanx0=2，D為真命題.故選B.命題"VnEN*,f(n)EN*且f(n)Wn”的否定形式是()VnEN*,f(n)守N*且f(n)>nVnEN*,f(n)守N*或f(n)>nmn°EN*,為。)眼*且f(n0)>n0mn°EN*,俱)時或f(n0)>n0考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案D解析“f(n)EN*且f(n)Wn”的否定為“/(〃)眼*或f(n)>n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D.已知a>0,函數(shù)fx)=ax2+bx+c,若x0滿足關于x的方程2ax+b=0,則下列選項中的命題為假命題的是()A.3x1ER,fx1)<fx0)B.3x1ER,fx1)^fx0)C.VxER,fx)Wfx0)D.VxER,fx)Nfx0)考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案C解析當。>0時，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象為開口向上的拋物線，若x0滿足關于x的方b程2ax+b=0，則x0=-^a為拋物線頂點的橫坐標，fx)min二fx0)，故對于VxER,fx)Nfx0)成立，從而選項A，B，D為真命題，選項C為假命題.二、填空題已知p：VxER,9x2—6x+1>0,q：3x0ER,sinx0+cosx0=，/2，則"q是命題.(填“真”“假”).考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假判斷答案真解析由于9x2-6x+1=(3x-1)2^0，所以p為假命題.因為sinx0+cosx0二如sinj0+V儀，所以q為真命題，因此pVq是真命題.命題“至少有一個正實數(shù)x0滿足方程x2+2(a—1)x0+2a+6=0”的否定是.考點存在量詞的否定題點含存在量詞的命題的否定答案VxE(0,+8),x2+2(a—1)x+2a+6N0設命題p：VxER,x2+ax+2<0,若^p為真，則實數(shù)a的取值范圍是.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案(一8,+8)解析^p:3x0GR，x02+ax0+2巳0為真命題，顯然aER.命題“對任意xER，都有|x—21+Ix—4|>3"的否定是.考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案3x0ER,lx0—2I+Ix0—4IV3三、解答題若命題“VxE[—1,+8),x2—2ax+2Na”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍.考點簡單邏輯聯(lián)結詞的綜合應用題點由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍解x2-2ax+2Na，即x2-2ax+2-aN0,令f(x)=x2-2ax+2-a,所以全稱命題轉(zhuǎn)化為“VxE[-1,+8),fx)N0恒成立”，r』=4a2-4(2-a)>0,…*所以力W0或av-1,，f(-1)N0，即-2WaW1或-3Wav-2，所以-3WaW1.故所求實數(shù)a的取值范圍為[-3,1].已知p：VaE(0,b](bER且b>0)，函數(shù)fx)=必sinQ+n)的周期不大于4n.寫出解p；當^p是假命題時，求實數(shù)b的最大值.考點全稱量詞的否定題點全稱量詞的命題的否定解(1)解p:3a0G(0,b](b￡R且b>0),函數(shù)fx)=-...強近任+3)的周期大于4n.(2)由于^p是假命題，所以p是真命題，2n所以VaE(0,b],亍W4n恒成立，a解得aW2，