線性代數(shù)總復(fù)習(xí)-很全!精編版課件

要求：會用其性質(zhì)與展開定理，計算低階及特殊的行列式。一、行列式兩個重要概念：余子式,代數(shù)余子式要求：會用其性質(zhì)與展開定理，計算低階及特殊的行列式。一、行列上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積性質(zhì)是計算行列式的中心環(huán)節(jié)，利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式，然后計算是計算行列式的重要方法。上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積性質(zhì)是計算行列式的中展開定理及其應(yīng)用利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低一階行列式的計算。展開定理及其應(yīng)用利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低一階特殊關(guān)系式特殊關(guān)系式例題解計算下列行列式例題解計算下列行列式線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件解方程此為范德蒙行列式例題解方程此為范德蒙行列式例題二、矩陣不能推出(1)(3)(2)或不能推出交換律不成立消去律不成立轉(zhuǎn)置矩陣的運算律一、矩陣運算中注意的幾點二、矩陣不能推出(1)(3)(2)或不能推出交換律不成立消去特殊矩陣：若若階梯陣A與行最簡階梯陣B若A為n階對稱矩陣A為n階反對稱矩陣特殊矩陣：若若階梯陣A與行最簡階梯陣B若A為n階對稱矩陣An階方陣A可逆的充要條件n階方陣A可逆可逆矩陣n階方陣A可逆的充要條件n階方陣A可逆可逆矩陣可逆矩陣的性質(zhì)

設(shè)A,B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則5、求方陣A的逆矩陣的方法可逆矩陣的性質(zhì)設(shè)A,B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則5特別：特別：矩陣的初等變換,初等方陣用初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對A

作初等行（列）變換得到的矩陣，矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的初等變換,初等方陣用初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對1、R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本關(guān)系式：3、關(guān)于秩的重要結(jié)論：矩陣的秩1、R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本關(guān)系重要結(jié)論定理重要結(jié)論定理秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2）初等變換法：,R（A）=T的階梯數(shù)3）若P可逆，則,常需先驗證P可逆秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2）初選擇題－1設(shè)A、B都是n階方陣，則e選擇題－1設(shè)A、B都是n階方陣，則e選擇題－2（4）選擇題－2（4）（2）（2）選擇題－4（3）選擇題－4（3）解例解例例：設(shè)方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E

可逆，關(guān)鍵：尋求方陣B，使（A-2E）B=E分析原式可寫為（重點）例：設(shè)方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E例：設(shè)矩陣X

滿足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，則得顯然A-E、B均可逆，并且解（重點）例：設(shè)矩陣X滿足：AXB=XB+C，求X，其中由已知例例R(A)=2初等變換例（重點）R(A)初等變換例（重點）例解例解三向量組的線性關(guān)系定義定義極大無關(guān)組、等價等價定義（重點）三向量組的線性關(guān)系定義定義極大無關(guān)組、等價等價定義（重點結(jié)論:2、。3、1、矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系注意：求極大無關(guān)組、討論線性表示主要用此方法；秩（A）=列向量組的秩=行向量組的秩結(jié)論:2、。3、1、矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系注意定理定理定理定理判別法1判別法2

等價的向量組的秩相等；部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)判別法1判別法2等價的向量組的秩相等；部分相關(guān)，整體判別法3

判別法3例題DF例題DF例題BC例題BC設(shè)

解例重點設(shè)解例重點(續(xù))其余向量由此極大無關(guān)組表示為：所以(續(xù))其余向量由此極大無關(guān)組表示為：所以向量4---例題4解1)因為行列式

所以當(dāng)b=3或b=1時，D=0，線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。向量4---例題4解1)因為行列式所以當(dāng)b=3或b=1證明證明證明證明證明分析：只要證明：B的列秩=m;證明證明分析：只要證明：B的列秩=m;證明線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件例設(shè)向量組問k為何值時表示法唯一，不唯一，不可表示。解設(shè)即用克萊姆法則例設(shè)向量組問k為何值時表示法唯一，不唯一，不可表示

k=-3

時表示法唯一，時同解方程組有無窮多解。時方程組有唯一解表示法不唯一，k=-3時表示法唯一，時同解方程組有無窮多解。時線性方程組解的存在性定理各種解法解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)

定理1

設(shè)有非齊次線性方程組線性方程組解的存在性定理各種解法解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法定理1

設(shè)有齊次線性方程組（2）方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理1設(shè)有齊次線性方程組（2）方程組---2---通方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理2

設(shè)有非齊次線性方程組（1）方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理2設(shè)有非齊次線性方

討論a滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、解系數(shù)行列式所以1):2):有無窮多解？有無窮多解時，求其通解。（重點）例討論a滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、解系數(shù)行例題3（續(xù)）由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,故無解.2):則通解為例題3（續(xù)）由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,故無解.當(dāng)時，稱與正交。定理中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)。若滿足稱為規(guī)范正交基。定義3五、內(nèi)積、施密特正交化。當(dāng)時，稱與正交。定理中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)。若滿足稱定義4是n階方陣,若

是正交矩陣稱性質(zhì)2的列(行)向量組為正交單位向量組是正交矩陣性質(zhì)1

是正交矩陣則A可逆且設(shè)性質(zhì)3設(shè)A、B

都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。即A

的n

個列向量是單位正交向量組。性質(zhì)4設(shè)A

是正交矩陣，則也是正交矩陣。性質(zhì)5設(shè)A

是正交矩陣，則定義4是n階方陣,若

是正交矩陣稱性質(zhì)2的列(行)向量組為3、施密特正交化方法設(shè)在中為線性無關(guān)向量組令正交化過程：則是正交向量組，單位化3、施密特正交化方法設(shè)在中為線性無關(guān)向量組令正交化過程：則是六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：矩陣的特征值與特征向量的定義,求法,性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對角化的條件和方法定義1使方程設(shè)方陣成立數(shù)和n元非零列向量六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：矩陣的特征值與特1---特征值、特征向量---求法1、特征值的求法2、特征向量的求法1---特征值、特征向量---求法1、特征值的求法2、特征向2---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)全不為零。2---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)全不為零。3---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)23---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)2例2、3---特征值、相似矩陣?yán)?設(shè)A是一個方陣-100例2、3---特征值、相似矩陣?yán)?設(shè)A是一個方陣-例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.解

1）因為矩陣A、B相似，所以例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.解例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.2）因為矩陣A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一個特征值例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.2）因3---特征向量的性質(zhì)1）方陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。2）實對稱矩陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必相3）正交向量組必是線性無關(guān)組。互正交。3---特征向量的性質(zhì)1）方陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量4---n階方陣A可對角化的條件、方法1、一個充分必要條件：n階方陣A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量2、兩個充分條件：1）如果A有n個互不相同的特征值，則A必可對角化2）如果A是實對稱矩陣，則A必可用正交矩陣對角化。3、對角化方法：4、正交對角化（重點）（重點）4---n階方陣A可對角化的條件、方法1、一個充分必要條件：例1（1）求設(shè)相似于（1）由性質(zhì)（2）（2）解例1（1）求設(shè)相似于（1）由性質(zhì)（2）（2）解例5例5三階實對稱矩陣的特征值分別為秩例8相應(yīng)的特征向量分別為已知求的值及矩陣解秩有三個不同特征值,則可取的特征向量為則三階實對稱矩陣的特征值分別為秩例8相應(yīng)的特征向量分別為七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型---1---基本定義、基本內(nèi)容1、二次型——二次齊次多項式；標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣——對角陣二次型的矩陣表示2、二次型的矩陣——前提：實對稱矩陣；注意元素特點標(biāo)準(zhǔn)型——僅含有平方項的二次型則二次型的矩陣七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型---1---基本定義、基本內(nèi)容1、二次型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型---2---最重要內(nèi)容注1：對線性變換X=PY來說，當(dāng)P可逆矩陣時，稱之為可逆變換；當(dāng)P是正交矩陣時，稱之為正交變換

用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型；二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型---2---最重要內(nèi)容注1：對線性變換X二次型---3---例2求正交變換X=QY，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型解二次型的矩陣為二次型---3---例2求正交變換X=QY，將二次型3）對每個基礎(chǔ)解系進(jìn)行Schmidt正交化、再單位化：3）對每個基礎(chǔ)解系進(jìn)行Schmidt正交化、再單位化：線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件要求：會用其性質(zhì)與展開定理，計算低階及特殊的行列式。一、行列式兩個重要概念：余子式,代數(shù)余子式要求：會用其性質(zhì)與展開定理，計算低階及特殊的行列式。一、行列上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積性質(zhì)是計算行列式的中心環(huán)節(jié)，利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式，然后計算是計算行列式的重要方法。上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積性質(zhì)是計算行列式的中展開定理及其應(yīng)用利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低一階行列式的計算。展開定理及其應(yīng)用利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低一階特殊關(guān)系式特殊關(guān)系式例題解計算下列行列式例題解計算下列行列式線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件解方程此為范德蒙行列式例題解方程此為范德蒙行列式例題二、矩陣不能推出(1)(3)(2)或不能推出交換律不成立消去律不成立轉(zhuǎn)置矩陣的運算律一、矩陣運算中注意的幾點二、矩陣不能推出(1)(3)(2)或不能推出交換律不成立消去特殊矩陣：若若階梯陣A與行最簡階梯陣B若A為n階對稱矩陣A為n階反對稱矩陣特殊矩陣：若若階梯陣A與行最簡階梯陣B若A為n階對稱矩陣An階方陣A可逆的充要條件n階方陣A可逆可逆矩陣n階方陣A可逆的充要條件n階方陣A可逆可逆矩陣可逆矩陣的性質(zhì)

設(shè)A,B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則5、求方陣A的逆矩陣的方法可逆矩陣的性質(zhì)設(shè)A,B都是n階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則5特別：特別：矩陣的初等變換,初等方陣用初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對A

作初等行（列）變換得到的矩陣，矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的初等變換,初等方陣用初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對1、R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本關(guān)系式：3、關(guān)于秩的重要結(jié)論：矩陣的秩1、R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本關(guān)系重要結(jié)論定理重要結(jié)論定理秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2）初等變換法：,R（A）=T的階梯數(shù)3）若P可逆，則,常需先驗證P可逆秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大階數(shù)。2）初選擇題－1設(shè)A、B都是n階方陣，則e選擇題－1設(shè)A、B都是n階方陣，則e選擇題－2（4）選擇題－2（4）（2）（2）選擇題－4（3）選擇題－4（3）解例解例例：設(shè)方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E

可逆，關(guān)鍵：尋求方陣B，使（A-2E）B=E分析原式可寫為（重點）例：設(shè)方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E例：設(shè)矩陣X

滿足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，則得顯然A-E、B均可逆，并且解（重點）例：設(shè)矩陣X滿足：AXB=XB+C，求X，其中由已知例例R(A)=2初等變換例（重點）R(A)初等變換例（重點）例解例解三向量組的線性關(guān)系定義定義極大無關(guān)組、等價等價定義（重點）三向量組的線性關(guān)系定義定義極大無關(guān)組、等價等價定義（重點結(jié)論:2、。3、1、矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系注意：求極大無關(guān)組、討論線性表示主要用此方法；秩（A）=列向量組的秩=行向量組的秩結(jié)論:2、。3、1、矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系注意定理定理定理定理判別法1判別法2

等價的向量組的秩相等；部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)判別法1判別法2等價的向量組的秩相等；部分相關(guān)，整體判別法3

判別法3例題DF例題DF例題BC例題BC設(shè)

解例重點設(shè)解例重點(續(xù))其余向量由此極大無關(guān)組表示為：所以(續(xù))其余向量由此極大無關(guān)組表示為：所以向量4---例題4解1)因為行列式

所以當(dāng)b=3或b=1時，D=0，線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。向量4---例題4解1)因為行列式所以當(dāng)b=3或b=1證明證明證明證明證明分析：只要證明：B的列秩=m;證明證明分析：只要證明：B的列秩=m;證明線性代數(shù)總復(fù)習(xí)--很全!精編版課件例設(shè)向量組問k為何值時表示法唯一，不唯一，不可表示。解設(shè)即用克萊姆法則例設(shè)向量組問k為何值時表示法唯一，不唯一，不可表示

k=-3

時表示法唯一，時同解方程組有無窮多解。時方程組有唯一解表示法不唯一，k=-3時表示法唯一，時同解方程組有無窮多解。時線性方程組解的存在性定理各種解法解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)

定理1

設(shè)有非齊次線性方程組線性方程組解的存在性定理各種解法解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法定理1

設(shè)有齊次線性方程組（2）方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理1設(shè)有齊次線性方程組（2）方程組---2---通方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理2

設(shè)有非齊次線性方程組（1）方程組---2---通解、基礎(chǔ)解系定理2設(shè)有非齊次線性方

討論a滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、解系數(shù)行列式所以1):2):有無窮多解？有無窮多解時，求其通解。（重點）例討論a滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、解系數(shù)行例題3（續(xù)）由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,故無解.2):則通解為例題3（續(xù)）由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,故無解.當(dāng)時，稱與正交。定理中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)。若滿足稱為規(guī)范正交基。定義3五、內(nèi)積、施密特正交化。當(dāng)時，稱與正交。定理中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)。若滿足稱定義4是n階方陣,若

是正交矩陣稱性質(zhì)2的列(行)向量組為正交單位向量組是正交矩陣性質(zhì)1

是正交矩陣則A可逆且設(shè)性質(zhì)3設(shè)A、B

都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。即A

的n

個列向量是單位正交向量組。性質(zhì)4設(shè)A

是正交矩陣，則也是正交矩陣。性質(zhì)5設(shè)A

是正交矩陣，則定義4是n階方陣,若

是正交矩陣稱性質(zhì)2的列(行)向量組為3、施密特正交化方法設(shè)在中為線性無關(guān)向量組令正交化過程：則是正交向量組，單位化3、施密特正交化方法設(shè)在中為線性無關(guān)向量組令正交化過程：則是六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：矩陣的特征值與特征向量的定義,求法,性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對角化的條件和方法定義1使方程設(shè)方陣成立數(shù)和n元非零列向量六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：矩陣的特征值與特1---特征值、特征向量---求法1、特征值的求法2、特征向量的求法1---特征值、特征向量---求法1、特征值的求法2、特征向2---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)全不為零。2---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)全不為零。3---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)23---特征值、相似矩陣---的性質(zhì)性質(zhì)2例2、3---特征值、相似矩陣?yán)?設(shè)A是一個方陣-100例2、3---特征值、相似矩陣?yán)?設(shè)A是一個方陣-例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.解

1）因為矩陣A、B相似，所以例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.解例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.2）因為矩陣A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一個特征值例4---相似矩陣設(shè)矩陣A、B相似，求參數(shù)a,b,c.2）因3---特征向量的性質(zhì)1）方陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。2）實對稱矩陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必相3）正交向量組必是線性無關(guān)