偏微分課程課件5-雙曲型方程的差分方法(II)

（二）一階線性常系數(shù)方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實的，并存在非奇異矩陣S使得對稱雙曲型方程組：A對稱嚴(yán)格雙曲型方程組：A的特征值是實的并且互不相同是A的特征值1（二）一階線性常系數(shù)方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實2討論對象:一階常系數(shù)線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取A的兩個線性無關(guān)的特征向量作為S的列向量為嚴(yán)格雙曲型微分方程組.非耦合系統(tǒng)22討論對象:一階常系數(shù)線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取3例如耦合系統(tǒng)非耦合系統(tǒng)即取33例如耦合系統(tǒng)非耦合系統(tǒng)即取3

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4是A的特征值為格式穩(wěn)定必要條件滿足VonNeumann條件即時5是A的特征值為格式穩(wěn)定必要條件滿足VonNeumann條件66證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式穩(wěn)定充分條件P33定理3.5為對角陣為穩(wěn)定充要條件7證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式8證明：2.Lax-Wendroff格式8證明：2.Lax-Wendroff格式9用中心差商代替偏導(dǎo)數(shù)舍去截斷誤差,有LW差分格式.99用中心差商代替偏導(dǎo)數(shù)舍去截斷誤差,有LW差分格式.9

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。10

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。103.迎風(fēng)格式不能直接推廣，需化為特征形式

113.迎風(fēng)格式不能直接推廣，需化為特征形式

11VonNeumann條件滿足12VonNeumann條件滿足12為對角陣正規(guī)陣為對角陣正規(guī)陣（三）變系數(shù)方程及方程組1.變系數(shù)方程凍結(jié)系數(shù)法：簡單實用非嚴(yán)格穩(wěn)定性討論用能量不等式方法：嚴(yán)格有技巧14（三）變系數(shù)方程及方程組1.變系數(shù)方程凍結(jié)系數(shù)法：簡單實用非15151616a(x,t)>0見上圖a(x,t)<0見下圖17a(x,t)>0a(x,t)<0171818整理得:穩(wěn)定性條件為:解凍系數(shù),穩(wěn)定性條件為:19整理得:穩(wěn)定性條件為:解凍系數(shù),穩(wěn)定性條件為:19下面對L-F格式用能量分析法討論穩(wěn)定性；附加：能量分析法討論穩(wěn)定性(嚴(yán)格)20下面對L-F格式用能量分析法討論穩(wěn)定性；附加：能量分析法討論212122222323穩(wěn)定性條件為:24穩(wěn)定性條件為:24Taylor展開：25Taylor展開：25代入Taylor展開式,于是有26代入Taylor展開式,于是有26得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式27得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式2282.變系數(shù)方程組(自學(xué))282.變系數(shù)方程組（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問題c為常數(shù)D’Alembert公式29（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件30波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件302.波動方程的顯格式

精度不匹配312.波動方程的顯格式

精度不匹配31為匹配精度，采用虛擬節(jié)點32為匹配精度，采用虛擬節(jié)點32等價的一階方程組穩(wěn)定性33(推導(dǎo)詳見后頁)等價的一階方程組穩(wěn)定性33(推導(dǎo)詳見后頁)3434是否為穩(wěn)定充分條件？為穩(wěn)定必要條件見P6335是否為穩(wěn)定充分條件？為穩(wěn)定必要條件見P633536定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）3737偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)3.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的依賴區(qū)域，DE為微分方程解在P點的依賴區(qū)域。DA，BE處初值的變化無法影響差分格式的解，因此差分格式的解不會收斂到微分方程的解。403.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的微分方程依賴區(qū)域為特征線依賴區(qū)間在t=0所截區(qū)間41微分方程依賴區(qū)域為特征線依賴區(qū)間在t=0所截區(qū)間41依賴區(qū)間按前面兩種邊界離散方式，第n層差分格式的解依賴初始函數(shù)f(x),g(x)在點集上的初值依賴區(qū)域為過點的兩條直線與x軸相交而得其中差分方程依賴區(qū)域:42依賴區(qū)間按前面兩種邊界離散方式，上的初值依賴區(qū)域為過點的兩條時不穩(wěn)定(Page63)43時不穩(wěn)定(Page63)434.波動方程的等價方程組的差分格式一階雙曲型方程的各種格式均可使用，如4.波動方程的等價方程組的差分格式一階雙曲型方程的各種格式均45454646課堂練習(xí)P817.試構(gòu)造求解方程組的迎風(fēng)格式.(Page71)47課堂練習(xí)P8147（二）一階線性常系數(shù)方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實的，并存在非奇異矩陣S使得對稱雙曲型方程組：A對稱嚴(yán)格雙曲型方程組：A的特征值是實的并且互不相同是A的特征值48（二）一階線性常系數(shù)方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實49討論對象:一階常系數(shù)線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取A的兩個線性無關(guān)的特征向量作為S的列向量為嚴(yán)格雙曲型微分方程組.非耦合系統(tǒng)492討論對象:一階常系數(shù)線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取50例如耦合系統(tǒng)非耦合系統(tǒng)即取503例如耦合系統(tǒng)非耦合系統(tǒng)即取3

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣51

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4是A的特征值為格式穩(wěn)定必要條件滿足VonNeumann條件即時52是A的特征值為格式穩(wěn)定必要條件滿足VonNeumann條件536證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式穩(wěn)定充分條件P33定理3.5為對角陣為穩(wěn)定充要條件54證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式55證明：2.Lax-Wendroff格式8證明：2.Lax-Wendroff格式56用中心差商代替偏導(dǎo)數(shù)舍去截斷誤差,有LW差分格式.569用中心差商代替偏導(dǎo)數(shù)舍去截斷誤差,有LW差分格式.9

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。57

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。103.迎風(fēng)格式不能直接推廣，需化為特征形式

583.迎風(fēng)格式不能直接推廣，需化為特征形式

11VonNeumann條件滿足59VonNeumann條件滿足12為對角陣正規(guī)陣為對角陣正規(guī)陣（三）變系數(shù)方程及方程組1.變系數(shù)方程凍結(jié)系數(shù)法：簡單實用非嚴(yán)格穩(wěn)定性討論用能量不等式方法：嚴(yán)格有技巧61（三）變系數(shù)方程及方程組1.變系數(shù)方程凍結(jié)系數(shù)法：簡單實用非62156316a(x,t)>0見上圖a(x,t)<0見下圖64a(x,t)>0a(x,t)<0176518整理得:穩(wěn)定性條件為:解凍系數(shù),穩(wěn)定性條件為:66整理得:穩(wěn)定性條件為:解凍系數(shù),穩(wěn)定性條件為:19下面對L-F格式用能量分析法討論穩(wěn)定性；附加：能量分析法討論穩(wěn)定性(嚴(yán)格)67下面對L-F格式用能量分析法討論穩(wěn)定性；附加：能量分析法討論682169227023穩(wěn)定性條件為:71穩(wěn)定性條件為:24Taylor展開：72Taylor展開：25代入Taylor展開式,于是有73代入Taylor展開式,于是有26得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式74得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式2752.變系數(shù)方程組(自學(xué))282.變系數(shù)方程組（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問題c為常數(shù)D’Alembert公式76（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件77波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件302.波動方程的顯格式

精度不匹配782.波動方程的顯格式

精度不匹配31為匹配精度，采用虛擬節(jié)點79為匹配精度，采用虛擬節(jié)點32等價的一階方程組穩(wěn)定性80(推導(dǎo)詳見后頁)等價的一階方程組穩(wěn)定性33(推導(dǎo)詳見后頁)8134是否為穩(wěn)定充分條件？為穩(wěn)定必要條件見P6382是否為穩(wěn)定充分條件？為穩(wěn)定必要條件見P633583定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）8437偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)3.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的依賴區(qū)域，DE為微分方程解在P點的依賴區(qū)域。DA，BE處初值的變化無法影響差分格式的解，因此差分格式的解不會收斂到微分方程的解。873.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的微分方程依賴區(qū)域為特征線依賴區(qū)間在t=0所截區(qū)間88微分方程依賴區(qū)域為特征線依賴區(qū)間在t=0所截區(qū)間41依賴區(qū)間按前面兩種邊界離散方式，第n層差分格式的解依賴初始函數(shù)f(x),g(x)在點集上的初值依賴區(qū)域為過點