振動教學講解課件-

§兩個簡諧函數(shù)之和所表達的振動

其合振動用設t=0時刻)tcos(Aj+w=xx21+xy0PMx=合矢量的投影值OP隨時間的變化正反映兩簡諧函數(shù)之和隨時間的變化。這說明，同頻率的兩個簡諧函數(shù)之和仍為簡諧函數(shù)，其頻率與分矢量的頻率相同。設兩個旋轉(zhuǎn)矢量tcos(A)tcos(A211j+w+j+w=)2§兩個簡諧函數(shù)之和所表達的振動其合振動用設t=0時刻)t1（2）又從圖中OMP可知21sinsin21jjAA+21coscos21jjAA+=yxjtg=（3）這樣，從旋轉(zhuǎn)失量圖上可直接求得合振幅A和初相角。0xyMP設初始時刻，和與X軸夾角分別為，和，由余弦定理可求出振幅A的值，即A1A2A=y+yxx+1122（2）又從圖中OMP可知21sinsin21jjAA+21c2從（3）式可知，合振幅A與兩個分振動的相角有關。振動教學講解課件-3如圖所示如圖所示4xtxt5XtXt6xtxt7

當代表兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量以不同的角速度（假設>）旋轉(zhuǎn)時，它們之間的夾角將不斷改變，因此平行四邊形的形狀也在不斷改變。合矢量的長度以及它旋轉(zhuǎn)的角速度都在不斷變化。這時，合矢量在X軸的投影不再是時間的簡諧函數(shù)了，也就是說，合矢量的旋轉(zhuǎn)不再代表簡諧振動了。為簡單起見，假定兩分振動的振幅和初相角都相等，分別為和。二、不同頻率的兩個簡諧函數(shù)支和當代表兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量以8X0則兩簡諧函數(shù)之和為一般情況下，由（6）式觀察不到合振動有明顯的周期性，因此，振動情況比較復雜。X0則兩簡諧函數(shù)之和為一般情況下，由（6）式9※當

2

1時

2-

1

2+

1其中隨ｔ緩變隨ｔ快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動這樣的兩個簡諧函數(shù)之和稱為拍。這時合矢量在X軸上投影的變化就和簡諧函數(shù)的變化有點相似，即投影的變化可看成是振幅在緩慢變化的“簡諧振動”?！?1時2-1210。,。,，021振幅最大合振動的這時均為零于是兩個分振動的初相軸于兩矢量方向一致地重合時刻設xAAt=設振幅矢量頻率相近的兩個簡諧函數(shù)的合成——拍現(xiàn)象情況是：兩個分振動的頻率都較大，但它們的差值很小，，這時合振動就會出現(xiàn)明顯的周期性。

即拍現(xiàn)象。,。,，021振幅最大合振動的這時均為零于是兩個分振動的初110可知，將領先，使兩者錯開小。指向相反，合成振幅最率先半圈而與后的這一時刻，經(jīng)歷），則由（增加到從經(jīng)過時間錯開得越來越大，隨著時間的推移，其間的夾角開始振動以后，由于，1212111211212)(0,AAtπttδAAwwpwwpdww-==-00可知，將領先，使兩者錯開小。指向相反，合成振幅最率先半120又最強。振幅又達最大，合振動再度重合，合多轉(zhuǎn)一圈，并與比，到增加從接著，又經(jīng)過時間11222),(Atppdwwp-=0又最強。振幅又達最大，合振動再度重合，合多轉(zhuǎn)一圈，并與比，13振動教學講解課件-143.拍拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)

=|2-1|xtx2tx1t合振動忽強忽弱的現(xiàn)象3.拍拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)xtx2tx1t合15一、同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成設兩個簡諧振動分別在X軸和Y軸進行，振動方程分別為

，得到軌道的直角坐標方程。的參數(shù)方程。消去參量所表征的質(zhì)點運動變，所以上列兩方程就是參變量也改改變時，，質(zhì)點的位置是在任何時刻ttyxtyxt),(),,(§相互垂直的簡諧振動的合成。兩振動的振幅和初周相分別為和為兩個振動的圓頻率式中21，，jjw一、同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成，得到軌道的直角坐標方16振動教學講解課件-17為邊的矩形范圍。和以橢圓軌道不會超出以在有限范圍內(nèi)變動，所和圓方程。因為質(zhì)點的位置一般來說，這是一個橢2122AAyx為邊的矩形范圍。和以橢圓軌道不會超出以在有限范圍內(nèi)變動，所和18因此，質(zhì)點的軌道是一條直線。這直線通過坐標原點在第一和第三象限內(nèi)，斜率為這兩個振動的振幅之比。在任一時刻t，質(zhì)點離開平衡位置的位移滿足因此，質(zhì)點的軌道是一條直線。這直線通過坐標19xysyx00xyxysyx00xy20axy0y0xaaxy0y0xa21振動教學講解課件-22YX00XYYX00XY236.一般情況下,位相差

等于其它任一中間值

這時得到的軌跡為形狀和旋轉(zhuǎn)方向各不相同的橢圓。下圖所表

示的是位相為某些值時合成運動的軌跡。0xy0x6.一般情況下,位相差等于其它任24以上討論的是兩個是相互垂直.同周期簡諧振動的合成，如果從振動分解的角度來考慮，那么就可以說，任何一個直線簡諧振動，橢圓運動，勻速圓周運動都可以分解為兩個相互垂直的簡諧振動。1.兩個振動的周期有很小的差異，即很小，這時，周相差就不是定值，合成振動的軌跡將不斷地按照上圖所示的順序由直線變成橢圓，又由橢圓逐漸變成直線，并重復進行，軌跡不是穩(wěn)定的。二.不同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成討論兩種情況：

以上討論的是兩個是相互垂直.同周期簡諧振動的合成，如果從振動252.兩個振動的周期差異很大如果兩個振動的周期相差很大，但周期有簡單的整數(shù)比值時，也可以得到穩(wěn)定的封閉的合成運動軌跡，下圖所示的是周期比為時振動質(zhì)點的軌跡。這種周期成簡單整數(shù)比時所得到的圖形稱為——李薩茹圖形。

yxA1A2o-A2-A1兩振動的頻率成整數(shù)比應用：例如科研中，在DBD中，用李薩茹圖形計算注入到反應器中的電功率-x軸輸入電壓，Y軸輸入電流，面積代表功率。2.兩個振動的周期差異很大yxA1A2o-A2-A1兩26(A)2.62s(B)0.42s(C)0.382s(D)2.40s一簡諧振動曲線如圖所示。則振動周期是（3分）1.0241t(s)x解：則：(A)2.62s(B)0.42s(C)0.272.如圖，所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，如果兩者是可疊加的，則合成的余弦振動的初相位為（）A.B.C.D.解：（因為振動的合成曲線在0點t>0時振動方向過原點向X正方向，所以取此值。）2.如圖，所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，28下圖是兩個同頻率同方向簡諧振動的振動曲線,則合振動方程為0.10.201234t(s)3.x(m)解：下圖是兩個同頻率同方向簡諧振動的振動曲線,則合振動方程為0.294.已知兩個諧振動曲線如圖所示，若這兩個諧振動是可疊加的，則合成的余弦振動的初相為（）0t解：x1x24.已知兩個諧振動曲線如圖所示，若這兩個諧305.諧振子振動曲線如圖所示。求：（1）寫出振動函數(shù)；（2）t=0.8s時諧振子的振動速度；（3）振子第一次經(jīng)過峰值位置的時刻。解：x0.2t(s)0(1)(2)(3)注意：相位同時取正或同時取負，不能一個取正一個取負。5.諧振子振動曲線如圖所示。求：（1）寫出振動函數(shù)；解：x315.兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm,與第一個簡諧振動的相位差為，若第一個簡諧振動的振幅為，則第二個簡諧振動的振幅為

cm，第一、二兩個簡諧振動的相位差為。解：已知合振動振幅則第二個簡諧振動的振幅根據(jù)余弦定理：5.兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm32測試題：一質(zhì)量為0.1kg的物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.01m，加速度的最大值為0.04m/s2，求：（1）過平衡位置時的動能和總振動能；（2）動能和勢能相等時的位置。解：（1）總振動能在平衡位置（2）測試題：一質(zhì)量為0.1kg的物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=033（解法二）（1）加速度最大時動能等于過平衡位置時動能這個能量也是總振動能（2）（解法二）（1）加速度最大時動能等于過平衡位置時動能這34§兩個簡諧函數(shù)之和所表達的振動

其合振動用設t=0時刻)tcos(Aj+w=xx21+xy0PMx=合矢量的投影值OP隨時間的變化正反映兩簡諧函數(shù)之和隨時間的變化。這說明，同頻率的兩個簡諧函數(shù)之和仍為簡諧函數(shù)，其頻率與分矢量的頻率相同。設兩個旋轉(zhuǎn)矢量tcos(A)tcos(A211j+w+j+w=)2§兩個簡諧函數(shù)之和所表達的振動其合振動用設t=0時刻)t35（2）又從圖中OMP可知21sinsin21jjAA+21coscos21jjAA+=yxjtg=（3）這樣，從旋轉(zhuǎn)失量圖上可直接求得合振幅A和初相角。0xyMP設初始時刻，和與X軸夾角分別為，和，由余弦定理可求出振幅A的值，即A1A2A=y+yxx+1122（2）又從圖中OMP可知21sinsin21jjAA+21c36從（3）式可知，合振幅A與兩個分振動的相角有關。振動教學講解課件-37如圖所示如圖所示38xtxt39XtXt40xtxt41

當代表兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量以不同的角速度（假設>）旋轉(zhuǎn)時，它們之間的夾角將不斷改變，因此平行四邊形的形狀也在不斷改變。合矢量的長度以及它旋轉(zhuǎn)的角速度都在不斷變化。這時，合矢量在X軸的投影不再是時間的簡諧函數(shù)了，也就是說，合矢量的旋轉(zhuǎn)不再代表簡諧振動了。為簡單起見，假定兩分振動的振幅和初相角都相等，分別為和。二、不同頻率的兩個簡諧函數(shù)支和當代表兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量以42X0則兩簡諧函數(shù)之和為一般情況下，由（6）式觀察不到合振動有明顯的周期性，因此，振動情況比較復雜。X0則兩簡諧函數(shù)之和為一般情況下，由（6）式43※當

2

1時

2-

1

2+

1其中隨ｔ緩變隨ｔ快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動這樣的兩個簡諧函數(shù)之和稱為拍。這時合矢量在X軸上投影的變化就和簡諧函數(shù)的變化有點相似，即投影的變化可看成是振幅在緩慢變化的“簡諧振動”?！?1時2-1244。,。,，021振幅最大合振動的這時均為零于是兩個分振動的初相軸于兩矢量方向一致地重合時刻設xAAt=設振幅矢量頻率相近的兩個簡諧函數(shù)的合成——拍現(xiàn)象情況是：兩個分振動的頻率都較大，但它們的差值很小，，這時合振動就會出現(xiàn)明顯的周期性。

即拍現(xiàn)象。,。,，021振幅最大合振動的這時均為零于是兩個分振動的初450可知，將領先，使兩者錯開小。指向相反，合成振幅最率先半圈而與后的這一時刻，經(jīng)歷），則由（增加到從經(jīng)過時間錯開得越來越大，隨著時間的推移，其間的夾角開始振動以后，由于，1212111211212)(0,AAtπttδAAwwpwwpdww-==-00可知，將領先，使兩者錯開小。指向相反，合成振幅最率先半460又最強。振幅又達最大，合振動再度重合，合多轉(zhuǎn)一圈，并與比，到增加從接著，又經(jīng)過時間11222),(Atppdwwp-=0又最強。振幅又達最大，合振動再度重合，合多轉(zhuǎn)一圈，并與比，47振動教學講解課件-483.拍拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)

=|2-1|xtx2tx1t合振動忽強忽弱的現(xiàn)象3.拍拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)xtx2tx1t合49一、同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成設兩個簡諧振動分別在X軸和Y軸進行，振動方程分別為

，得到軌道的直角坐標方程。的參數(shù)方程。消去參量所表征的質(zhì)點運動變，所以上列兩方程就是參變量也改改變時，，質(zhì)點的位置是在任何時刻ttyxtyxt),(),,(§相互垂直的簡諧振動的合成。兩振動的振幅和初周相分別為和為兩個振動的圓頻率式中21，，jjw一、同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成，得到軌道的直角坐標方50振動教學講解課件-51為邊的矩形范圍。和以橢圓軌道不會超出以在有限范圍內(nèi)變動，所和圓方程。因為質(zhì)點的位置一般來說，這是一個橢2122AAyx為邊的矩形范圍。和以橢圓軌道不會超出以在有限范圍內(nèi)變動，所和52因此，質(zhì)點的軌道是一條直線。這直線通過坐標原點在第一和第三象限內(nèi)，斜率為這兩個振動的振幅之比。在任一時刻t，質(zhì)點離開平衡位置的位移滿足因此，質(zhì)點的軌道是一條直線。這直線通過坐標53xysyx00xyxysyx00xy54axy0y0xaaxy0y0xa55振動教學講解課件-56YX00XYYX00XY576.一般情況下,位相差

等于其它任一中間值

這時得到的軌跡為形狀和旋轉(zhuǎn)方向各不相同的橢圓。下圖所表

示的是位相為某些值時合成運動的軌跡。0xy0x6.一般情況下,位相差等于其它任58以上討論的是兩個是相互垂直.同周期簡諧振動的合成，如果從振動分解的角度來考慮，那么就可以說，任何一個直線簡諧振動，橢圓運動，勻速圓周運動都可以分解為兩個相互垂直的簡諧振動。1.兩個振動的周期有很小的差異，即很小，這時，周相差就不是定值，合成振動的軌跡將不斷地按照上圖所示的順序由直線變成橢圓，又由橢圓逐漸變成直線，并重復進行，軌跡不是穩(wěn)定的。二.不同周期兩個相互垂直的簡諧振動的合成討論兩種情況：

以上討論的是兩個是相互垂直.同周期簡諧振動的合成，如果從振動592.兩個振動的周期差異很大如果兩個振動的周期相差很大，但周期有簡單的整數(shù)比值時，也可以得到穩(wěn)定的封閉的合成運動軌跡，下圖所示的是周期比為時振動質(zhì)點的軌跡。這種周期成簡單整數(shù)比時所得到的圖形稱為——李薩茹圖形。

yxA1A2o-A2-A1兩振動的頻率成整數(shù)比應用：例如科研中，在DBD中，用李薩茹圖形計算注入到反應器中的電功率-x軸輸入電壓，Y軸輸入電流，面積代表功率。2.兩個振動的周期差異很大yxA1A2o-A2-A1兩60(A)2.62s(B)0.42s(C)0.382s(D)2.40s一簡諧振動曲線如圖所示。則振動周期是（3分）1.0241t(s)x解：則：(A)2.62s(B)0.42s(C)0.612.如圖，所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，如果兩者是可疊加的，則合成的余弦振動的初相位為（）A.B.C.D.解：（因為振動的合成曲線在0點t>0時振動方向過原點向X正方向，所以取此值。）2.如圖，所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，62下圖是兩個同頻率同方向簡諧振動的振動曲線,則合振動方程為0.10.201234t(s)3.x(m)解：下圖是兩個同頻率同方向簡諧