控制系統(tǒng)根軌跡的繪制課件

第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制12/18/20221第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制12/17/20221前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：標(biāo)注開(kāi)環(huán)極點(diǎn)“”和零點(diǎn)“”；○畫(huà)出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱(chēng)為重心）和傾角分別為：確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間；計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：12/18/20222前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性。12/18/20223計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。[例]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，畫(huà)根軌跡。②實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：[-2，0]；③漸進(jìn)線傾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)為：[解]：①標(biāo)出四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，-2，。有四條根軌跡。12/18/20224一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的④-3+4j處的出射角：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知-3-j4處的出射角為：⑤與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)，。輔助方程為：，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。12/18/20225④-3+4j處的出射角：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知-3-j4⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由得：由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸[-2，0]區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，最大時(shí)為分離點(diǎn)。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可見(jiàn)分離點(diǎn)在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。12/18/20226⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis12/18/20227⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3[解]：⑴開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根軌跡有兩支。起點(diǎn)在極點(diǎn)處，終點(diǎn)一支在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處。一支在無(wú)窮遠(yuǎn)處。⑵實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：例4-4中已求得，分別為分離點(diǎn)=-0.33,會(huì)合點(diǎn)=-1.67，分離角⑶分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：⑷繪制根軌跡。[例4-7]設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡。12/18/20228[解]：⑴開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間⑷實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。12/18/20229[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]⑹與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：輔助方程為：⑸出射角：對(duì)12/18/202210⑹與虛軸的交點(diǎn)：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根⑺繪制根軌跡圖，見(jiàn)下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis12/18/202211⑺繪制根軌跡圖，見(jiàn)下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1特殊情況：對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相對(duì)消的情況。-如：則：，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見(jiàn)下圖：-式中：以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡可得的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)由和組合而成。由零極點(diǎn)相對(duì)消減少的極點(diǎn)由的極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充。見(jiàn)下頁(yè)圖。12/18/202212特殊情況：對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相對(duì)消12/18/20221312/17/202213二、多回路系統(tǒng)的根軌跡簡(jiǎn)單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統(tǒng)的根軌跡以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：12/18/202214二、多回路系統(tǒng)的根軌跡簡(jiǎn)單處理辦法：將多相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180度等相角條件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件是0度等相角條件。注意：負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱(chēng)為180度根軌跡或簡(jiǎn)稱(chēng)為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱(chēng)為0度根軌跡。12/18/202215相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個(gè)角度。實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；12/18/202216繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。出射角和入射角：12/18/202217與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根[例4-9]：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。起點(diǎn)在0，-1，-5處，終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。有3支根軌跡。漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)傾角：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：[-5，-1]，[0，）分離角（點(diǎn)）：由得：顯然，，不在根軌跡上。分離點(diǎn)為：。[解]：12/18/202218[例4-9]：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)12/18/20221912/17/202219比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：則正、負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：可見(jiàn)，正反饋根軌跡相當(dāng)與負(fù)反饋根軌跡的從時(shí)的根軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得 時(shí)的整個(gè)區(qū)間的根軌跡，請(qǐng)閱讀p135,圖4-29及下頁(yè)比較圖。12/18/202220比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：則正、左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（180度）根軌跡圖；將例4-9的給出的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負(fù)根軌跡圖如下：作業(yè)：4-3a，4-4,4-512/18/202221左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（小結(jié)手工繪制180度根軌跡的步驟(單回路負(fù)反饋系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)根軌跡的繪制)；手工繪制0度根軌跡的步驟(單回路正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制)；180度根軌跡和0度根軌跡的關(guān)系；12/18/202222小結(jié)手工繪制180度根軌跡的步驟(單回路負(fù)反饋系統(tǒng)和多回第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制12/18/202223第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制12/17/20221前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：標(biāo)注開(kāi)環(huán)極點(diǎn)“”和零點(diǎn)“”；○畫(huà)出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱(chēng)為重心）和傾角分別為：確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間；計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：12/18/202224前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性。12/18/202225計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。[例]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，畫(huà)根軌跡。②實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：[-2，0]；③漸進(jìn)線傾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)為：[解]：①標(biāo)出四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，-2，。有四條根軌跡。12/18/202226一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的④-3+4j處的出射角：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知-3-j4處的出射角為：⑤與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)，。輔助方程為：，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。12/18/202227④-3+4j處的出射角：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知-3-j4⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由得：由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸[-2，0]區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，最大時(shí)為分離點(diǎn)。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可見(jiàn)分離點(diǎn)在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。12/18/202228⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis12/18/202229⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3[解]：⑴開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根軌跡有兩支。起點(diǎn)在極點(diǎn)處，終點(diǎn)一支在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處。一支在無(wú)窮遠(yuǎn)處。⑵實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：例4-4中已求得，分別為分離點(diǎn)=-0.33,會(huì)合點(diǎn)=-1.67，分離角⑶分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：⑷繪制根軌跡。[例4-7]設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡。12/18/202230[解]：⑴開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間⑷實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。12/18/202231[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]⑹與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：輔助方程為：⑸出射角：對(duì)12/18/202232⑹與虛軸的交點(diǎn)：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根⑺繪制根軌跡圖，見(jiàn)下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis12/18/202233⑺繪制根軌跡圖，見(jiàn)下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1特殊情況：對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相對(duì)消的情況。-如：則：，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見(jiàn)下圖：-式中：以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡可得的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)由和組合而成。由零極點(diǎn)相對(duì)消減少的極點(diǎn)由的極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充。見(jiàn)下頁(yè)圖。12/18/202234特殊情況：對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相對(duì)消12/18/20223512/17/202213二、多回路系統(tǒng)的根軌跡簡(jiǎn)單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統(tǒng)的根軌跡以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：12/18/202236二、多回路系統(tǒng)的根軌跡簡(jiǎn)單處理辦法：將多相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180度等相角條件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件是0度等相角條件。注意：負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱(chēng)為180度根軌跡或簡(jiǎn)稱(chēng)為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱(chēng)為0度根軌跡。12/18/202237相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個(gè)角度。實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；12/18/202238繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。出射角和入射角：12/18/202239與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根[例4-9]：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)