《物理電路章》課件

第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3單一元件的電流電壓關(guān)系6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-5相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時(shí)間按正弦規(guī)律周期性變化的電壓、電流，并把它們統(tǒng)稱為正弦量。用小寫字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函數(shù)表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)稱為幅值或最大值稱為角頻率稱為初相位或初相角角頻率、幅值和初相位描述正弦量變化的快慢、最大值及初始位置三個(gè)方面的特征，是確定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形圖表示6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時(shí)間按正弦1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時(shí)間稱為周期T，單位為秒（s）。每秒時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化的次數(shù)，稱為頻率f,單位為赫茲（Hz），頻率為周期的倒數(shù)，即f=1/T。正弦量每秒時(shí)間內(nèi)變化的弧度稱為角頻率ω，單位為弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量變化的快慢，三者的關(guān)系為

ω=2π/T=2πf三者之間只要知道其中一個(gè)，就可求出其它兩個(gè)。1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時(shí)間稱為周期T2．瞬時(shí)值與有效值正弦量在每一瞬間的數(shù)值稱為瞬時(shí)值，用u、i表示。最大的瞬時(shí)值稱為幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬時(shí)值和最大值是指正弦量某一瞬間的數(shù)值，不能用來表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上規(guī)定用有效值I表示,它是根據(jù)正弦電流和直流電流的熱效應(yīng)相等來規(guī)定的。周期變化交流電有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同時(shí)間T內(nèi)2．瞬時(shí)值與有效值正弦量在每一瞬間的數(shù)值稱為瞬時(shí)值，用u、i3．相位與初相位正弦量隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位或相位角，代表了正弦交流電的變化進(jìn)程。t=0時(shí)的相位稱為初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符號決定了正弦量計(jì)時(shí)起點(diǎn)和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值為零，稱參考正弦量。初始值為正初始值為負(fù)3．相位與初相位正弦量隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位二、正弦量的相位差任意兩個(gè)同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于兩個(gè)同頻率正弦量初相位之差，其物理意義在于表示兩個(gè)同頻率正弦量隨時(shí)間變化步調(diào)上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滯后反相正交二、正弦量的相位差任意兩個(gè)同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相6-2正弦量的相量表示用三角函數(shù)式和波形圖表示正弦量來分析和計(jì)算正弦交流電路都很不方便。工程中常采用相量圖和相量式表示正弦量，這種表示方法稱為正弦量的相量表示法。一、相量圖法1.相量圖的畫法相量圖就是用一個(gè)有向線段來表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，該有向線段稱為相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函數(shù)式和波形圖表示正弦量來2.相量的加減運(yùn)算例1：計(jì)算圖中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四邊形法則;

方法二，多邊形法則。2.相量的加減運(yùn)算例1：計(jì)算圖中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用復(fù)數(shù)式表示相量(正弦量)的方法稱為正弦量相量式表示法，簡稱相量式法。⒈相量式的四種形式代數(shù)式三角式指數(shù)式極坐標(biāo)式四種表示方法可以互換二、相量式法用復(fù)數(shù)式表示相量(正弦量)的方法稱為正2.90°旋轉(zhuǎn)因子(j)任意一個(gè)相量×j有任意一個(gè)相量÷j有j稱為90°旋轉(zhuǎn)因子注意：相量僅僅是用來表示正弦量的一種方法，兩者有一一對應(yīng)關(guān)系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一種數(shù)學(xué)變換，只適用于同頻率的正弦量。2.90°旋轉(zhuǎn)因子(j)任意一個(gè)相量×j有例2：指出下列各式的錯(cuò)誤，寫出其正確的表達(dá)式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有錯(cuò),I=5e-j30°A

⑵有錯(cuò),

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有錯(cuò),I=10∠30°A⑷有錯(cuò),I=20ej20°Am例2：指出下列各式的錯(cuò)誤，寫出其正確的表達(dá)式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫出相量圖。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并計(jì)算u1+u2、u1×u2。解：例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),6-3單一元件的電流電壓關(guān)系

在電路中只有R、L、C其中某一元件，則稱電路為單一元件的電路。一、電阻元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：相位關(guān)系：u與i同相位大小關(guān)系：相量關(guān)系：電流電壓同相，瞬時(shí)值、大小、相量均遵循歐姆定律6-3單一元件的電流電壓關(guān)系在電路中只有R、二、電感元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位關(guān)系：u超前i90度大小關(guān)系：相量關(guān)系：

XL=ωL=2πfL(感抗)電感在直流電路中f=0，XL=0，可視為短路。當(dāng)把帶線圈的交流設(shè)備接入直流電路，會產(chǎn)生短路事故。二、電感元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量三、電容元件的電流電壓關(guān)系設(shè)u=Umsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位關(guān)系：i超前u

90度大小關(guān)系：相量關(guān)系：電容在直流電路中f=0，XC=∞，可視為開路。三、電容元件的電流電壓關(guān)系設(shè)u=Umsinωt(參考正弦量例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯(cuò),uL=L

⑵有錯(cuò),=XL

⑶有錯(cuò),I=⑷對(5)有錯(cuò),=ωLUIUI例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯(cuò),U=IXC

⑵有錯(cuò),=-jXC

⑶有錯(cuò),I=UωC⑷有錯(cuò),I=jUωC(5)對UI例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響應(yīng)都是同頻率的正弦量可以用相量表示，而電感和電容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，電路的基本定律可以用相量形式表示。對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析可以轉(zhuǎn)換為對頻域相量模型的分析。時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路動態(tài)元件上電流電壓的微分（或積分）關(guān)系可以用相量表示成頻域的代數(shù)關(guān)系，使電路的分析更為方便，這種頻域下正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法就是所謂的相量法。6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導(dǎo)納，歐姆定律的相量形式當(dāng)電流電壓為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，R、L、C三個(gè)元件電流電壓關(guān)系的相量形式為Z稱為元件的復(fù)阻抗(是復(fù)數(shù))

，是正弦穩(wěn)態(tài)電路負(fù)載的總稱，Z的倒數(shù)稱為復(fù)導(dǎo)納Y,Z、Y分別定義為(單位：Ω)(單位：西門子S)歐姆定律的相量形式

一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導(dǎo)納，歐姆定律的相2.基爾霍夫定律的相量形式

時(shí)域電路模型相量模型對時(shí)域電路模型，根據(jù)基爾霍夫電壓定律有u-uR-uL-uC=0則在對應(yīng)的相量模型中應(yīng)滿足U-UR-UL-UC=0同理基爾霍夫電流定律對電流相量也成立2.基爾霍夫定律的相量形式時(shí)域電3.相量模型的基本計(jì)算公式

對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析轉(zhuǎn)換為對頻域相量模型的分析時(shí)，只需將直流電路中的U、I、R→、、Z，則直流電路的一般分析方法都可轉(zhuǎn)換為相量模型的分析方法?；居?jì)算公式式中正、負(fù)號由參考方向決定。3.相量模型的基本計(jì)算公式對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電二、R、L、C串聯(lián)電路的分析1.電壓與電流關(guān)系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC稱為電抗，表示電感和電容共同作用于電路的結(jié)果。當(dāng)X>0，電路中電感的作用大于電容；當(dāng)X<0，電容的作用大于電感，X可正，可負(fù)，XL、XC始終大于零。

當(dāng)電路中RLC三元件同時(shí)存在時(shí)，其等效復(fù)阻抗Z的實(shí)部為電路的電阻R，虛部為電抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串聯(lián)電路的分析1.電壓與電流關(guān)系UI2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖電壓三角形三個(gè)邊關(guān)系為

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角稱為阻抗角，又是u與i的相位差φ與電路中電壓和電流的大小無關(guān)，只與電路的參數(shù)R、L、C及電源的頻率有關(guān)。2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖φ3.電路的性質(zhì)根據(jù)φ角的不同取值，可將電路劃分為三種性質(zhì)。電感性電容性電阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滯后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.電路的性質(zhì)根據(jù)φ角的不同取值，可將電路劃分為三三、相量法應(yīng)用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、IC、IL并確定電路性質(zhì)。解：電路入端阻抗為：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

電路中電流：由計(jì)算結(jié)果可知:φ=36.9°>0,電路為感性，u超前i

。IL＞I，這在直流電路是不會發(fā)生的。

+12°D=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-D=°D°D==··9.36169.365.2040SZUI°A-D=-=···3.553.25CLIII三、相量法應(yīng)用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、I例2：已知RLC并聯(lián)電路中R=10,L=48mH,C=397μF。電

源U=120V,f=50Hz,求電流IR、IL、IC及i并畫相量圖，說明電路性質(zhì)。解：設(shè)I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=電路為容性-30.3°電流三角形(直角)例2：已知RLC并聯(lián)電路中R=10,L=48mH,C=397例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路電流I1、I2、I3。解：用節(jié)點(diǎn)法求解，設(shè)b為參考點(diǎn)

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US26-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用相量，采用分析電路的基本方法，列出相量式求解相量的過程。適合于該方法的電路特點(diǎn)是已知激勵相量（或物理量的相量）和電路參數(shù)，求電路響應(yīng)。當(dāng)電路中各物理量的相位關(guān)系明確，用相量法分析電路比較方便。當(dāng)電路中各物理量的相位關(guān)系不十分明確時(shí)，用相量法分析電路，過程比較復(fù)雜，而采用相量圖法分析電路，會使分析較為方便。所謂相量圖法是利用相量圖中各物理量的幾何關(guān)系分析電路的一種方法。6-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用一、常用的相量圖1.串聯(lián)電路電壓、阻抗三角形2.并聯(lián)電路電流、導(dǎo)納三角形一、常用的相量圖1.串聯(lián)電路電壓、阻抗三角形二、應(yīng)用舉例例1：試求圖中A0和V0。解：利用相量三角形計(jì)算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、應(yīng)用舉例例1：試求圖中A0和V0。+U2-.例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數(shù)據(jù)分別為U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。試求參數(shù)R和XL。

解：I=UR1/R1=2A設(shè)I=2∠0°A，畫相量圖根據(jù)余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數(shù)據(jù)分別為U=36V,例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求電流I，容抗XC,感抗XL。解：設(shè)Uab=Uab∠0°V，畫相量圖由相量圖的幾何關(guān)系確定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的負(fù)載是由電阻、電感和電容三元件組合起來的無源網(wǎng)絡(luò)。設(shè)網(wǎng)絡(luò)端電壓、電流、阻抗為

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬時(shí)功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.電壓、電流和瞬時(shí)功率波形圖0≤t≤t1時(shí)間內(nèi)，p＞0，

表明網(wǎng)絡(luò)從電源取用功率。t1＜t≤t2時(shí)間內(nèi)，p＜0，

網(wǎng)絡(luò)中的儲能元件釋放功率，于是在電源和網(wǎng)絡(luò)之間就形成了能量的往返交換。

t1到t2的時(shí)間對應(yīng)于u與i的相位差（φ

）。φ6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的2.單一參數(shù)的瞬時(shí)功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）當(dāng)φ=0，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電阻R，pR=UI-UIcos2ωt；當(dāng)φ=90°，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電感L，pL=UIcos2ωt；當(dāng)φ=-90°，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電容C，pL=-UIcos2ωt；同一時(shí)刻L、C吸收功率和釋放功率的時(shí)間相反。2.單一參數(shù)的瞬時(shí)功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期內(nèi)電路消耗的平均功率稱為有功功率，即稱為功率因素，φ稱為功率因素角。二無功功率衡量儲能元件能量轉(zhuǎn)換的能力用無功功率Q表示。當(dāng)電感和電容同時(shí)存在時(shí)

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期內(nèi)電路消耗的平均功率稱為有功功三視在功率

視在功率用于衡量供電設(shè)備的供電能力，它等于電路電壓U與電流I的乘積，單位為伏安，用S表示。即S=UI

視在功率的物理意義：電源(或電路)向負(fù)載能夠輸出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的關(guān)系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI當(dāng)電路入接多個(gè)不同cosφ的負(fù)載：

P=∑Pk（各負(fù)載有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各負(fù)載無功功率代數(shù)之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始終滿足功率三角形）cosφ三視在功率

視在功率用于衡量供電設(shè)備的供電四復(fù)功率

用相量表示功率稱為復(fù)功率S，它等于電路電壓相量與電流相量共軛復(fù)數(shù)的乘積，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ電路功率計(jì)算的3個(gè)方法：(1)已知電路電壓、電流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知電路各負(fù)載功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知電路電壓相量與電流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四復(fù)功率

用相量表示功率稱為復(fù)功率S，它等例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩并聯(lián)電路為容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)總電壓相量，(3）整個(gè)電路的cosφ、整個(gè)電路的P、Q和S。

解(1)設(shè)UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩例1：計(jì)算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，電壓U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：計(jì)算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,電路的功率

P=866W。試求R、L、和C。解:設(shè)U=100∠0°V,作相量圖

根據(jù)相量圖幾何關(guān)系有

30°30°例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

電路的功率P=1000W。試求R、X1、X2

、X3的值。解:設(shè)U2=U2∠0°V,作相量圖

根據(jù)相量圖幾何關(guān)系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因數(shù)的提高

一般的用電設(shè)備，如感應(yīng)電動機(jī)、感應(yīng)爐、目光燈等都屬于電感性負(fù)載，往往造成電路的功率因數(shù)較低。1.提高功率因數(shù)的意義對于容量一定的供電設(shè)備，負(fù)載的conφ大，出的P越大，設(shè)備得到充分利用；對輸電線路來說，當(dāng)電壓U一定，輸送同一功率P=UIconφ時(shí)，conφ大，I小，則線路上電能損失和壓降就小。提高conφ的意義在于：提高發(fā)電、輸電和配電設(shè)備的利用率；減小輸電線路電能損失和壓降。五功率因數(shù)的提高

一般的用電設(shè)備，如2.提高功率因數(shù)的方法在感性負(fù)載兩端并上適當(dāng)?shù)碾娙?，利用電容器的無功功率補(bǔ)償感性負(fù)載的無功功率，在不改變感性負(fù)載的前提下，提高線路的功率因數(shù)。設(shè)感性負(fù)載Z，已知cosφ、P、接入電壓為U，頻率為f的電路中。若將線路的cosφ增加至cosφ′應(yīng)該并多大的電容？設(shè)電源電壓為U=U∠0°作相量圖當(dāng)C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,當(dāng)φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出現(xiàn)cosφ′＞cosφ。2.提高功率因數(shù)的方法在感性負(fù)載兩端并上適當(dāng)?shù)碾娙荩秒娎?：電路如圖,U=220V,f=50Hz,S斷開時(shí)cosφ=0.5,P=2kW,

S合上后,cosφ′=0.866(感性),求R、L、C。解：例1：電路如圖,U=220V,f=50Hz,S斷開時(shí)cosφ例2：電容器與電感線圈并聯(lián)電路如圖,已知R=131Ω,測得數(shù)據(jù)如下。試計(jì)算三種情況下的電路的有功功率和功率因數(shù)。

C(μF）f(Hz)U(V)I(mA)IL(mA)IC(mA)

未接200101515

1μF200104.81513.9

10μF2001011315128.2解：三種情況下電路的有功功率相同P=I2R=29.5mW未接電容器時(shí):C=1μF時(shí):C=10μF時(shí):例2：電容器與電感線圈并聯(lián)電路如圖,已知R=131Ω,測6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振當(dāng)電路φ=0時(shí),U與I同相,電路發(fā)生串聯(lián)諧振。一串聯(lián)諧振諧振條件:

主要特征1.Z0=R(最小值）

U=UR

I0=U/R(最大值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴UL=UC>>U(稱電壓諧振)4.品質(zhì)因數(shù)Q6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振當(dāng)電路φ=0時(shí),U與4.品質(zhì)因數(shù)Q①品質(zhì)因數(shù)越高，UL=UC越大于外加電壓;②品質(zhì)因數(shù)越高，選擇性能越好。I當(dāng)ω=ω0,I0為諧振電流當(dāng)ω偏離ω0后，

越大，I越小當(dāng)不變，Q

越大，I越小,選擇性能越好。對應(yīng)于I=0.707I0時(shí)的頻率稱為截止頻率，ωf=ω2-ω1稱為通頻帶。通頻帶越窄，選擇性越好。下限截止頻率上限截止頻率4.品質(zhì)因數(shù)Q①品質(zhì)因數(shù)越高，UL=UC越大于外加電壓;下限例1：電路如圖,u1=102sinωtV,R1=R2=50Ω,當(dāng)LC對u1頻率產(chǎn)生諧振時(shí),AB兩端的電壓UAB為多少？如果再串聯(lián)一個(gè)電壓源U2=10V,此時(shí)UAB為多少？解：XAB=0,AB兩點(diǎn)相當(dāng)于短路,UAB=0V串聯(lián)U2后，由疊加原理可知：u1單獨(dú)作用時(shí)，UAB′=0VU2單獨(dú)作用時(shí)，UAB″=5VUAB=UAB′+UAB″=5V例1：電路如圖,u1=102sinωtV,R1=R2=例2：電路如圖,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=100W,P1=50W,

Q1=50Var,求Z1、Z2、U1、U2和f0。解：設(shè)Z1=r1+jX1,Z2=r2+jX2

Q=UI=100W=P

電路發(fā)生串聯(lián)諧振

P2=P-P1=100-50=50W例2：電路如圖,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=1例3：已知電阻器R=200Ω與電容器C=10μF及L=500mH的電感線圈串聯(lián)的實(shí)驗(yàn)電路。在電源電壓U一定的條件下,調(diào)整其頻率f,使f=71Hz時(shí)，電流I最大。此時(shí)測出U=10V,I=30.2mA,UR=6.04V,UC=3.96V,UL=6.77V。試確定電感線圈上的電阻RL(電容器視為理想元件)及電路諧振頻率f0。解：電路發(fā)生串聯(lián)諧振

f0=71Hz=例3：已知電阻器R=200Ω與電容器C=10μF及L=500二

并聯(lián)諧振諧振條件(XL>>R):

主要特征1.Z0=≈(最大值）理想電感元件時(shí)，R=0，Z0=∞

I0=U/Z0(最小值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴IL≈IC>>I(稱電流諧振)4.品質(zhì)因數(shù)Q二并聯(lián)諧振例1：電路如圖所示,電源內(nèi)阻和電感線圈的電阻均忽略不計(jì)。交流電源u的頻率為f,現(xiàn)調(diào)節(jié)L或C使之諧振于f,這時(shí)AB兩端電壓uAB等于多少？解：uAB=u例1：電路如圖所示,電源內(nèi)阻和電感線圈的電阻均忽略不計(jì)。交流例2：電路如圖3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3=10Ω，XL1=100Ω，XL2=200Ω，XC1=100Ω，XC2=200Ω，試求當(dāng)開關(guān)S分別合至6V和10V電源時(shí)，XL1、XC1、及AB兩端的電壓。

解：當(dāng)開關(guān)S合至6V電源時(shí)UAB==2V

UL1=0UC1=

2V當(dāng)開關(guān)S合至10V電源時(shí)電路發(fā)生諧振

UAB=10VUL1=UC1=0V例2：電路如圖3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3教學(xué)重點(diǎn)1.單一元件的電路計(jì)算55作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)1.單一元件的電路計(jì)算55作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)2.相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路56作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)2.相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路56作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)3.相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

電壓、阻抗、功率三角形

電流、導(dǎo)納三角形57作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)3.相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路57作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒋串、并聯(lián)諧振58作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒋串、并聯(lián)諧振58作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒌電路性質(zhì)的判斷59作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒌電路性質(zhì)的判斷59作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒍功率因數(shù)的提高通過負(fù)載兩端并適當(dāng)電容可以提高線路的功率因數(shù)。對線路線路而言，并電容前、后，P沒變，I、Q、cosφ改變。對負(fù)載而言，并電容前、后，P、IZ、QZ、cosφZ沒變。60作業(yè)教學(xué)重點(diǎn)⒍功率因數(shù)的提高60作業(yè)6.15，6.18，6.20，6.356.266.326.226.27第六章作業(yè)：616.15，6.18，6.20，6.35第六章作業(yè)：61第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3單一元件的電流電壓關(guān)系6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-5相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時(shí)間按正弦規(guī)律周期性變化的電壓、電流，并把它們統(tǒng)稱為正弦量。用小寫字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函數(shù)表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)稱為幅值或最大值稱為角頻率稱為初相位或初相角角頻率、幅值和初相位描述正弦量變化的快慢、最大值及初始位置三個(gè)方面的特征，是確定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形圖表示6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時(shí)間按正弦1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時(shí)間稱為周期T，單位為秒（s）。每秒時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化的次數(shù)，稱為頻率f,單位為赫茲（Hz），頻率為周期的倒數(shù)，即f=1/T。正弦量每秒時(shí)間內(nèi)變化的弧度稱為角頻率ω，單位為弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量變化的快慢，三者的關(guān)系為

ω=2π/T=2πf三者之間只要知道其中一個(gè)，就可求出其它兩個(gè)。1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時(shí)間稱為周期T2．瞬時(shí)值與有效值正弦量在每一瞬間的數(shù)值稱為瞬時(shí)值，用u、i表示。最大的瞬時(shí)值稱為幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬時(shí)值和最大值是指正弦量某一瞬間的數(shù)值，不能用來表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上規(guī)定用有效值I表示,它是根據(jù)正弦電流和直流電流的熱效應(yīng)相等來規(guī)定的。周期變化交流電有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同時(shí)間T內(nèi)2．瞬時(shí)值與有效值正弦量在每一瞬間的數(shù)值稱為瞬時(shí)值，用u、i3．相位與初相位正弦量隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位或相位角，代表了正弦交流電的變化進(jìn)程。t=0時(shí)的相位稱為初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符號決定了正弦量計(jì)時(shí)起點(diǎn)和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值為零，稱參考正弦量。初始值為正初始值為負(fù)3．相位與初相位正弦量隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位二、正弦量的相位差任意兩個(gè)同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于兩個(gè)同頻率正弦量初相位之差，其物理意義在于表示兩個(gè)同頻率正弦量隨時(shí)間變化步調(diào)上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滯后反相正交二、正弦量的相位差任意兩個(gè)同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相6-2正弦量的相量表示用三角函數(shù)式和波形圖表示正弦量來分析和計(jì)算正弦交流電路都很不方便。工程中常采用相量圖和相量式表示正弦量，這種表示方法稱為正弦量的相量表示法。一、相量圖法1.相量圖的畫法相量圖就是用一個(gè)有向線段來表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，該有向線段稱為相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函數(shù)式和波形圖表示正弦量來2.相量的加減運(yùn)算例1：計(jì)算圖中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四邊形法則;

方法二，多邊形法則。2.相量的加減運(yùn)算例1：計(jì)算圖中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用復(fù)數(shù)式表示相量(正弦量)的方法稱為正弦量相量式表示法，簡稱相量式法。⒈相量式的四種形式代數(shù)式三角式指數(shù)式極坐標(biāo)式四種表示方法可以互換二、相量式法用復(fù)數(shù)式表示相量(正弦量)的方法稱為正2.90°旋轉(zhuǎn)因子(j)任意一個(gè)相量×j有任意一個(gè)相量÷j有j稱為90°旋轉(zhuǎn)因子注意：相量僅僅是用來表示正弦量的一種方法，兩者有一一對應(yīng)關(guān)系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一種數(shù)學(xué)變換，只適用于同頻率的正弦量。2.90°旋轉(zhuǎn)因子(j)任意一個(gè)相量×j有例2：指出下列各式的錯(cuò)誤，寫出其正確的表達(dá)式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有錯(cuò),I=5e-j30°A

⑵有錯(cuò),

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有錯(cuò),I=10∠30°A⑷有錯(cuò),I=20ej20°Am例2：指出下列各式的錯(cuò)誤，寫出其正確的表達(dá)式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫出相量圖。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并計(jì)算u1+u2、u1×u2。解：例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),6-3單一元件的電流電壓關(guān)系

在電路中只有R、L、C其中某一元件，則稱電路為單一元件的電路。一、電阻元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：相位關(guān)系：u與i同相位大小關(guān)系：相量關(guān)系：電流電壓同相，瞬時(shí)值、大小、相量均遵循歐姆定律6-3單一元件的電流電壓關(guān)系在電路中只有R、二、電感元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位關(guān)系：u超前i90度大小關(guān)系：相量關(guān)系：

XL=ωL=2πfL(感抗)電感在直流電路中f=0，XL=0，可視為短路。當(dāng)把帶線圈的交流設(shè)備接入直流電路，會產(chǎn)生短路事故。二、電感元件的電流電壓關(guān)系設(shè)i=Imsinωt(參考正弦量三、電容元件的電流電壓關(guān)系設(shè)u=Umsinωt(參考正弦量）瞬時(shí)值關(guān)系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位關(guān)系：i超前u

90度大小關(guān)系：相量關(guān)系：電容在直流電路中f=0，XC=∞，可視為開路。三、電容元件的電流電壓關(guān)系設(shè)u=Umsinωt(參考正弦量例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯(cuò),uL=L

⑵有錯(cuò),=XL

⑶有錯(cuò),I=⑷對(5)有錯(cuò),=ωLUIUI例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯(cuò),U=IXC

⑵有錯(cuò),=-jXC

⑶有錯(cuò),I=UωC⑷有錯(cuò),I=jUωC(5)對UI例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響應(yīng)都是同頻率的正弦量可以用相量表示，而電感和電容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，電路的基本定律可以用相量形式表示。對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析可以轉(zhuǎn)換為對頻域相量模型的分析。時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路動態(tài)元件上電流電壓的微分（或積分）關(guān)系可以用相量表示成頻域的代數(shù)關(guān)系，使電路的分析更為方便，這種頻域下正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法就是所謂的相量法。6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導(dǎo)納，歐姆定律的相量形式當(dāng)電流電壓為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，R、L、C三個(gè)元件電流電壓關(guān)系的相量形式為Z稱為元件的復(fù)阻抗(是復(fù)數(shù))

，是正弦穩(wěn)態(tài)電路負(fù)載的總稱，Z的倒數(shù)稱為復(fù)導(dǎo)納Y,Z、Y分別定義為(單位：Ω)(單位：西門子S)歐姆定律的相量形式

一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導(dǎo)納，歐姆定律的相2.基爾霍夫定律的相量形式

時(shí)域電路模型相量模型對時(shí)域電路模型，根據(jù)基爾霍夫電壓定律有u-uR-uL-uC=0則在對應(yīng)的相量模型中應(yīng)滿足U-UR-UL-UC=0同理基爾霍夫電流定律對電流相量也成立2.基爾霍夫定律的相量形式時(shí)域電3.相量模型的基本計(jì)算公式

對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析轉(zhuǎn)換為對頻域相量模型的分析時(shí)，只需將直流電路中的U、I、R→、、Z，則直流電路的一般分析方法都可轉(zhuǎn)換為相量模型的分析方法?；居?jì)算公式式中正、負(fù)號由參考方向決定。3.相量模型的基本計(jì)算公式對時(shí)域正弦穩(wěn)態(tài)電二、R、L、C串聯(lián)電路的分析1.電壓與電流關(guān)系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC稱為電抗，表示電感和電容共同作用于電路的結(jié)果。當(dāng)X>0，電路中電感的作用大于電容；當(dāng)X<0，電容的作用大于電感，X可正，可負(fù)，XL、XC始終大于零。

當(dāng)電路中RLC三元件同時(shí)存在時(shí)，其等效復(fù)阻抗Z的實(shí)部為電路的電阻R，虛部為電抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串聯(lián)電路的分析1.電壓與電流關(guān)系UI2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖電壓三角形三個(gè)邊關(guān)系為

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角稱為阻抗角，又是u與i的相位差φ與電路中電壓和電流的大小無關(guān)，只與電路的參數(shù)R、L、C及電源的頻率有關(guān)。2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖φ3.電路的性質(zhì)根據(jù)φ角的不同取值，可將電路劃分為三種性質(zhì)。電感性電容性電阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滯后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.電路的性質(zhì)根據(jù)φ角的不同取值，可將電路劃分為三三、相量法應(yīng)用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、IC、IL并確定電路性質(zhì)。解：電路入端阻抗為：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

電路中電流：由計(jì)算結(jié)果可知:φ=36.9°>0,電路為感性，u超前i

。IL＞I，這在直流電路是不會發(fā)生的。

+12°D=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-D=°D°D==··9.36169.365.2040SZUI°A-D=-=···3.553.25CLIII三、相量法應(yīng)用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、I例2：已知RLC并聯(lián)電路中R=10,L=48mH,C=397μF。電

源U=120V,f=50Hz,求電流IR、IL、IC及i并畫相量圖，說明電路性質(zhì)。解：設(shè)I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=電路為容性-30.3°電流三角形(直角)例2：已知RLC并聯(lián)電路中R=10,L=48mH,C=397例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路電流I1、I2、I3。解：用節(jié)點(diǎn)法求解，設(shè)b為參考點(diǎn)

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US26-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用相量，采用分析電路的基本方法，列出相量式求解相量的過程。適合于該方法的電路特點(diǎn)是已知激勵相量（或物理量的相量）和電路參數(shù)，求電路響應(yīng)。當(dāng)電路中各物理量的相位關(guān)系明確，用相量法分析電路比較方便。當(dāng)電路中各物理量的相位關(guān)系不十分明確時(shí)，用相量法分析電路，過程比較復(fù)雜，而采用相量圖法分析電路，會使分析較為方便。所謂相量圖法是利用相量圖中各物理量的幾何關(guān)系分析電路的一種方法。6-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用一、常用的相量圖1.串聯(lián)電路電壓、阻抗三角形2.并聯(lián)電路電流、導(dǎo)納三角形一、常用的相量圖1.串聯(lián)電路電壓、阻抗三角形二、應(yīng)用舉例例1：試求圖中A0和V0。解：利用相量三角形計(jì)算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、應(yīng)用舉例例1：試求圖中A0和V0。+U2-.例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數(shù)據(jù)分別為U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。試求參數(shù)R和XL。

解：I=UR1/R1=2A設(shè)I=2∠0°A，畫相量圖根據(jù)余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數(shù)據(jù)分別為U=36V,例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求電流I，容抗XC,感抗XL。解：設(shè)Uab=Uab∠0°V，畫相量圖由相量圖的幾何關(guān)系確定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的負(fù)載是由電阻、電感和電容三元件組合起來的無源網(wǎng)絡(luò)。設(shè)網(wǎng)絡(luò)端電壓、電流、阻抗為

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬時(shí)功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.電壓、電流和瞬時(shí)功率波形圖0≤t≤t1時(shí)間內(nèi)，p＞0，

表明網(wǎng)絡(luò)從電源取用功率。t1＜t≤t2時(shí)間內(nèi)，p＜0，

網(wǎng)絡(luò)中的儲能元件釋放功率，于是在電源和網(wǎng)絡(luò)之間就形成了能量的往返交換。

t1到t2的時(shí)間對應(yīng)于u與i的相位差（φ

）。φ6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的2.單一參數(shù)的瞬時(shí)功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）當(dāng)φ=0，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電阻R，pR=UI-UIcos2ωt；當(dāng)φ=90°，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電感L，pL=UIcos2ωt；當(dāng)φ=-90°，網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電容C，pL=-UIcos2ωt；同一時(shí)刻L、C吸收功率和釋放功率的時(shí)間相反。2.單一參數(shù)的瞬時(shí)功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期內(nèi)電路消耗的平均功率稱為有功功率，即稱為功率因素，φ稱為功率因素角。二無功功率衡量儲能元件能量轉(zhuǎn)換的能力用無功功率Q表示。當(dāng)電感和電容同時(shí)存在時(shí)

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期內(nèi)電路消耗的平均功率稱為有功功三視在功率

視在功率用于衡量供電設(shè)備的供電能力，它等于電路電壓U與電流I的乘積，單位為伏安，用S表示。即S=UI

視在功率的物理意義：電源(或電路)向負(fù)載能夠輸出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的關(guān)系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI當(dāng)電路入接多個(gè)不同cosφ的負(fù)載：

P=∑Pk（各負(fù)載有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各負(fù)載無功功率代數(shù)之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始終滿足功率三角形）cosφ三視在功率

視在功率用于衡量供電設(shè)備的供電四復(fù)功率

用相量表示功率稱為復(fù)功率S，它等于電路電壓相量與電流相量共軛復(fù)數(shù)的乘積，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ電路功率計(jì)算的3個(gè)方法：(1)已知電路電壓、電流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知電路各負(fù)載功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知電路電壓相量與電流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四復(fù)功率

用相量表示功率稱為復(fù)功率S，它等例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩并聯(lián)電路為容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)總電壓相量，(3）整個(gè)電路的cosφ、整個(gè)電路的P、Q和S。

解(1)設(shè)UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩例1：計(jì)算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，電壓U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：計(jì)算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,電路的功率

P=866W。試求R、L、和C。解:設(shè)U=100∠0°V,作相量圖

根據(jù)相量圖幾何關(guān)系有

30°30°例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

電路的功率P=1000W。試求R、X1、X2

、X3的值。解:設(shè)U2=U2∠0°V,作相量圖

根據(jù)相量圖幾何關(guān)系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因數(shù)的提高

一般的用電設(shè)備，如感應(yīng)電動機(jī)、感應(yīng)爐、目光燈等都屬于電感性負(fù)載，往往造成電路的功率因數(shù)較低。1.提高功率因數(shù)的意義對于容量一定的供電設(shè)備，負(fù)載的conφ大，出的P越大，設(shè)備得到充分利用；對輸電線路來說，當(dāng)電壓U一定，輸送同一功率P=UIconφ時(shí)，conφ大，I小，則線路上電能損失和壓降就小。提高conφ的意義在于：提高發(fā)電、輸電和配電設(shè)備的利用率；減小輸電線路電能損失和壓降。五功率因數(shù)的提高

一般的用電設(shè)備，如2.提高功率因數(shù)的方法在感性負(fù)載兩端并上適當(dāng)?shù)碾娙?，利用電容器的無功功率補(bǔ)償感性負(fù)載的無功功率，在不改變感性負(fù)載的前提下，提高線路的功率因數(shù)。設(shè)感性負(fù)載Z，已知cosφ、P、接入電壓為U，頻率為f的電路中。若將線路的cosφ增加至cosφ′應(yīng)該并多大的電容？設(shè)電源電壓為U=U∠0°作相量圖當(dāng)C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,當(dāng)φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出現(xiàn)cosφ′＞cosφ。2.提高功率因數(shù)的方法在感性負(fù)載兩端