南昌大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法期末考試試卷2009B卷答案

第第6頁(yè)共6頁(yè)南昌大學(xué)2008～2009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 試卷編號(hào)：6031卷課程編號(hào)：H55020190 課程名稱： 數(shù)學(xué)物理方法 考試形式：閉適用班級(jí)：物理系07各專業(yè)姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)：學(xué)院： 專業(yè)： 考試日期：題號(hào) 一 題分 45 得分

三 四 五 六 七 八 九 十 總15 100

累分人簽名、本試卷共6換。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。(3分，共45分)得分 評(píng)閱人211.復(fù)數(shù)15i/(2 1＋i ,ln 1i1ln2i(4 8

n)(n。復(fù)變函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)可導(dǎo)的充分必要條件為 偏導(dǎo)數(shù)存且連續(xù)并滿足柯西黎曼條件 。若復(fù)變函數(shù)f(z)在區(qū)域B上解析，其實(shí)部為x2y2，則其虛部為 B（備選案：A.xy；B.2xy；C.x2y2；D.xy。4.11

xsinx(xdx 0 。3

ez2008z|z|2009

dzi；z|2010

ez20092z9

dz0。f(z

z2zz23z

有 1 個(gè)極點(diǎn)，為 1 階極點(diǎn)，在極點(diǎn)處的留數(shù)為 －2 。閉區(qū)域E的內(nèi)點(diǎn)為 某一鄰域及其本身均屬于E的點(diǎn) ；境界點(diǎn)任一鄰域及其本身均部分屬于，部分不屬于點(diǎn)集E的點(diǎn) 。雙邊冪級(jí)數(shù)為 包含負(fù)冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) ，其主要部分為 負(fù)冪分 ，解析部分為 正冪部分 。在原點(diǎn)的鄰域上，

1

可展開(kāi)為1z2z4

12

可展開(kāi)為1 z z 1 3 7 11zz22(2)(2)224z8z2

kk0

2k

)zk。10函數(shù)f(t)0

(|t|)F()2sin/。(|t|11.1et 的拉普拉斯變換為1/p2/(p1/(p2。數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的適定性是指解的_存在性 ， 唯一性 ， 穩(wěn)定性_。一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端xl）固定的弦，用手在離弦左端長(zhǎng)為l/3朝橫向撥開(kāi)距離h，然后放手任其振動(dòng)。橫向位移u(xt的初始條件為u(x,0)/l0xl/和u(x,0)3h(lx/2ll/3xlu(x,0)0.。t偏微分方程uxxxyyyxy

xy10的類型為 A (備選答案：A.B.拋物型C.D.函數(shù)變換為4xy,2xy。（”中打√，錯(cuò)誤的打×。若函數(shù)f(z)在z點(diǎn)解析，則函數(shù)f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，反之亦然。 （×）復(fù)通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路積分也可以不為零。 （√）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則limz 0。 （×）zez(1040分)得分 評(píng)閱人說(shuō)明：要求給出必要的文字說(shuō)明和演算過(guò)程。

dz 。z2(z1)(z5)|z|3解：被積函數(shù)f(z) 1 有兩個(gè)極點(diǎn)對(duì)積分有貢獻(xiàn)：?jiǎn)螛O點(diǎn)z1，兩階極z2(z1)(z點(diǎn)z0。 (2分)留數(shù)分別為Resf(0)6/Resf1/4

(6分)根據(jù)留數(shù)定理得|z|3

dzz2(z1)(z

(0)Resf

i (250用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分 1 dx。4x2解：根據(jù)留數(shù)定理有：I 1 dx{f(z) 1 在上半平面所有奇點(diǎn)留數(shù)之和｝(2分)4x2 4z2所以IiResf(2i) (3ilim(z2i)

(3分)z2i 4z22i1

(24i 2

yz1dt dt

y(0)1dtn!

zetn!

z(0)2已知[tnest]

p

n1

，n]

pn1

。(可使用拉普拉斯變換或其它任何方法)。解：對(duì)方程拉普拉斯變換并化簡(jiǎn)得py(p)(p1)z(p)11py(p)z(p) 1

11p

(5分)解之得

y(p)

p11 2 1 (p1)2 p1 p 1 z(p)

(2分)由拉普拉斯逆變換得

(p)2 p1y(t)tet2etz(t)tet2et (3XxXX0X'(0)X'(l)0，其中可為任意實(shí)數(shù)，試根據(jù)的可能取值求解方程，并根據(jù)邊界條件確定本征值和本征函數(shù)。解：可分為三種情況討論：1) 0 X(xC1

exC2

exX(x0，顯然沒(méi)有意義。 (3分)2) 0X(x)C1

xC2

，代入邊界條件得C1

0于是X(x)C, C為2 2任意常數(shù)。 (2分)3) 0X(x)C1

cos xC2

sin x.,代入邊界條件得 C 0,

0, (22C2

sin

l

cos

l)

0.

sin

0.1 2 當(dāng) 的取值使得sin l0 時(shí)必有C1

0，這和上兩種情況一樣沒(méi)有意義。當(dāng) 的取值使得sin l0 時(shí)，C1此時(shí)由sin l0 得到本征值:

不必為零，這種是有意義的情況。l n n2 l2

).綜合2）和3）兩種情況得本征值

n2 l2

).此時(shí)，本征解為X(x)C1

cosn(5l三、數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題(共15分)分考查半無(wú)限長(zhǎng)弦定解問(wèn)題u 0初始條件為u 00tt xx t0 tt0端點(diǎn)處邊界條件為ux0

sint。尋找泛定方程的一個(gè)特解v,再作變換u vw,使得w的邊界條件滿足w 0；x0利用w的邊界條件滿足將該問(wèn)題延拓為達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題；給出達(dá)朗貝爾公式，并求解該問(wèn)題。解（1）vsintcosx (2分)（2）作變換uvw后，w的定解問(wèn)題為w w 0，w 0，tt xx x0w 0t0

tt

根據(jù)邊界條件做奇延拓即假定 x0時(shí)，wt0

0，

tt

。 (2分)（3）若方程utt

a2uxx

0的初始條件為u|t0

(x),u|tt0

，則其解為u(x,t)

1

(xat)

1xat

()d，此即達(dá)朗貝爾公式。-(2分)2 2

xat根據(jù)此公式，容易求得，當(dāng)xt時(shí)，u 0，當(dāng)xt，u x)-(2分)2.矩形區(qū)域0xa,0yb上的定解問(wèn)題uxx

2,(0xa,0yb);| a,u| 0x0u| (uy0

xax),u| (x)yb是否可直接利用分離變數(shù)法求解？為什么？然后將之變換為可利用分離變數(shù)法求解的問(wèn)題（提示尋找滿足泛定方程和邊界條件的一個(gè)特解v,再作變換uvw, 使wwxw）(本小題7分)解：不可，因?yàn)榉匠谭驱R次。 (3分)方程和邊界條件一個(gè)特解vx2CxD（C,D為