幾種常見計(jì)量經(jīng)濟(jì)函數(shù)-生產(chǎn)模型

技術(shù)經(jīng)濟(jì)及管理20921189邱琦薈生產(chǎn)函數(shù)模型生產(chǎn)函數(shù)模型(ProductionFunctionModels，P.F.)基本知識發(fā)展線索一：要素之間替代性質(zhì)發(fā)展線索二：技術(shù)要素的描述參數(shù)估計(jì)方法在技術(shù)進(jìn)步分析中的應(yīng)用建立模型的數(shù)據(jù)質(zhì)量問題⒈生產(chǎn)函數(shù)⑴定義

描述生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合同它可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。投入的生產(chǎn)要素最大產(chǎn)出量一：基本知識⑵生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展

從20年代末，美國數(shù)學(xué)家CharlesCobb和經(jīng)濟(jì)學(xué)家PaulDauglas提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用1899-1922年的數(shù)據(jù)資料，導(dǎo)出了著名的Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)。1928年Cobb,DauglasC-D生產(chǎn)函數(shù)1937年Dauglas,DurandC-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1957年SolowC-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1960年Solow含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)1967年Arrow等兩要素CES生產(chǎn)函數(shù)1967年Sato二級CES生產(chǎn)函數(shù)1968年Sato,HoffmanVES生產(chǎn)函數(shù)1968年Aigner,Chu邊界生產(chǎn)函數(shù)1971年RevankerVES生產(chǎn)函數(shù)1973年Christensen,Jorgenson超越對數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1980年三級CES生產(chǎn)函數(shù)

⑶生產(chǎn)函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)物生產(chǎn)函數(shù)實(shí)際上是用數(shù)學(xué)公式對現(xiàn)實(shí)發(fā)生的生產(chǎn)過程中的投入要素與產(chǎn)出量之間的技術(shù)關(guān)系的擬合，是對生產(chǎn)過程中量的關(guān)系的描述。生產(chǎn)函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)物，是以數(shù)據(jù)為樣本，反復(fù)擬合，檢驗(yàn)，修正后得到的。意味著，拋開既有模型，用我國的有關(guān)數(shù)據(jù)，也能得到相同或相似的生產(chǎn)函數(shù)模型。不能一味照搬，估計(jì)方法和樣本數(shù)據(jù)的選擇在中西方都存在差異。（4）生產(chǎn)函數(shù)的一階齊次性資本、勞動(dòng)等非技術(shù)要素的投入量同時(shí)增長幾倍，根據(jù)生產(chǎn)理論中規(guī)模報(bào)酬不變法則，產(chǎn)出量也增加幾倍。在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中，存在著規(guī)模報(bào)酬遞增或者遞減的現(xiàn)象，所以并非所有生產(chǎn)函數(shù)都具有一階其次性。2.要素替代彈性（ElasticityofSubstitution）⑴要素的邊際產(chǎn)量(MarginalProduct)其它條件不變時(shí)，某一種投入要素增加一個(gè)單位時(shí)導(dǎo)致的產(chǎn)出量的增加量。用于描述投入要素對產(chǎn)出量的影響程度。邊際產(chǎn)量不為負(fù)。

邊際產(chǎn)量遞減。⑵要素的邊際替代率

(MarginalRateofSubstitution)當(dāng)兩種要素可以互相替代時(shí)，就可以采用不同的要素組合生產(chǎn)相同數(shù)量的產(chǎn)出量。要素的邊際替代率指的是在產(chǎn)量一定的情況下，某一種要素的增加與另一種要素的減少之間的比例。要素的邊際替代率可以表示為要素的邊際產(chǎn)量之比。

從生產(chǎn)函數(shù)可以求得要素的邊際產(chǎn)量和要素的邊際替代率。⑶要素替代彈性要素替代彈性定義為兩種要素的比例的變化率與邊際替代率的變化率之比。

要素替代彈性是描述生產(chǎn)行為的重要參數(shù)，求得要素替代彈性是生產(chǎn)函數(shù)的重要應(yīng)用。要素替代彈性不為負(fù)。特殊情況：要素替代彈性為0、要素替代彈性為∞。3.要素產(chǎn)出彈性（ElasticityofOutput）⑴要素的產(chǎn)出彈性某投入要素的產(chǎn)出彈性被定義為，當(dāng)其它投入要素不變時(shí)，該要素增加1%所引起的產(chǎn)出量的變化率。

要素產(chǎn)出彈性大于0小于1.⑵規(guī)模報(bào)酬所有要素的產(chǎn)出彈性之和規(guī)模報(bào)酬不變規(guī)模報(bào)酬遞增規(guī)模報(bào)酬遞減⒋技術(shù)進(jìn)步⑴廣義技術(shù)進(jìn)步與狹義技術(shù)進(jìn)步所謂狹義技術(shù)進(jìn)步，僅指要素質(zhì)量的提高。狹義的技術(shù)進(jìn)步是體現(xiàn)在要素上的，它可以通過要素的“等價(jià)數(shù)量”來表示。求得“等價(jià)數(shù)量”，作為生產(chǎn)函數(shù)模型的樣本觀測值，以這樣的方法來引入技術(shù)進(jìn)步因素。所謂廣義技術(shù)進(jìn)步，除了要素質(zhì)量的提高外，還包括管理水平的提高等對產(chǎn)出量具有重要影響的因素，這些因素是獨(dú)立于要素之外的。在生產(chǎn)函數(shù)模型中需要特別處理廣義技術(shù)進(jìn)步。⑵中性技術(shù)進(jìn)步假設(shè)在生產(chǎn)活動(dòng)中除了技術(shù)以外，只有資本與勞動(dòng)兩種要素，定義兩要素的產(chǎn)出彈性之比為相對資本密集度，用ω表示。即如果技術(shù)進(jìn)步使得ω越來越大，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性比資本的產(chǎn)出彈性增長得快，則稱之為節(jié)約勞動(dòng)型技術(shù)進(jìn)步；如果技術(shù)進(jìn)步使得ω越來越小，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性比資本的產(chǎn)出彈性增長得慢，則稱之為節(jié)約資本型技術(shù)進(jìn)步；如果技術(shù)進(jìn)步前后ω不變，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性與資本的產(chǎn)出彈性同步增長，則稱之為中性技術(shù)進(jìn)步。在中性技術(shù)進(jìn)步中，如果要素之比不隨時(shí)間變化，則稱為希克斯中性技術(shù)進(jìn)步；如果勞動(dòng)產(chǎn)出率不隨時(shí)間變化，則稱為索洛中性技術(shù)進(jìn)步；如果資本產(chǎn)出率不隨時(shí)間變化，則稱為哈羅德中性技術(shù)進(jìn)步。二、發(fā)展線索一：要素之間替代性質(zhì)

⒈線性生產(chǎn)函數(shù)模型(LinearP.F.)因?yàn)椋篗PL/MPK=a1/a2

為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)恒為0線性生產(chǎn)函數(shù)，意味著一種要素可以被另一種要素替代直至減少為0，產(chǎn)出量仍不變。⒉投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)模型(Input-OutputP.F.)a,b為生產(chǎn)1單位的產(chǎn)出必須投入的資本、勞動(dòng)的數(shù)量。故有K=aY,L=bY,即K/L=a/b為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0。投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)，說明資本與勞動(dòng)之間完全不可替代。⒊C-D生產(chǎn)函數(shù)模型

0=<要素的產(chǎn)出彈性<=1初始時(shí)設(shè)定其和為1，之后取消了這一假定，即承認(rèn)規(guī)模報(bào)酬不一定不變。（1）要素產(chǎn)出彈性（2）要素替代彈性在C-D生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性為1.即不論研究對象，不論樣本觀測值，不論樣本區(qū)間，取值恒定，這與實(shí)際不符。C-D生產(chǎn)函數(shù)中參數(shù)A為效率系數(shù)，是廣義技術(shù)水平的反映，A>0.⒋CES生產(chǎn)函數(shù)模型(ConstantElasticity0fSubstitution)不變替代彈性（1）參數(shù)性質(zhì)A為效率系數(shù)，反映廣義技術(shù)進(jìn)步水平，A>0.和

為分配系數(shù)，取值在0，1之間，和為1.若M=1時(shí)，生產(chǎn)函數(shù)滿足一階其次性。（2）要素的替代彈性要素的替代彈性為正數(shù)，所以參數(shù)的取值范圍是：（3）幾個(gè)問題1.一旦研究對象確定，樣本觀測值確定，可以得到參數(shù)的估計(jì)值，并計(jì)算要素替代彈性的估計(jì)值。2.對于不同的研究對象，或者同一研究對象的不同樣本區(qū)間，由于樣本觀測值不同，要素替代彈性是不同的。所以，CES生產(chǎn)函數(shù)比C-D生產(chǎn)函數(shù)更接近現(xiàn)實(shí)。3.對于不同的樣本點(diǎn)，其要素替代彈性是相同的。4.在CES模型中，如果的估計(jì)值=0.則要素替代彈性=1，CES退化成C-D生產(chǎn)函數(shù)。⒌VES生產(chǎn)函數(shù)模型(VariableElasticity0fSubstitution)變替代彈性⑴1968年Sato和Hoffman

假定即要素替代彈性為時(shí)間的線性函數(shù)。得到⑵1971年

Revankar

假定其中要素替代彈性為要素比例的線性函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，令退化為CES模型。當(dāng)b=0，a=1時(shí)，

退化為C-D生產(chǎn)函數(shù)。當(dāng)a=1時(shí)，

為一般常用的VES模型。為實(shí)際應(yīng)用的VES生產(chǎn)函數(shù)。M為報(bào)酬系數(shù)。6.多要素生產(chǎn)函數(shù)模型⑴多要素線性生產(chǎn)函數(shù)模型⑵多要素投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)模型⑶多要素C-D生產(chǎn)函數(shù)模型

⑷

多要素一級CES生產(chǎn)函數(shù)模型

要素之間的替代彈性相同。⑸

多要素二級CES生產(chǎn)函數(shù)模型要素之間的替代彈性不相同。⑹多要素三級CES生產(chǎn)函數(shù)模型7.超越對數(shù)生產(chǎn)函數(shù)模型

(TranslogP.F.)如果，表現(xiàn)為C-D生產(chǎn)函數(shù)。如果，表現(xiàn)為CES生產(chǎn)函數(shù)。可以根據(jù)該生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)結(jié)果判斷要素的替代性質(zhì)。三、發(fā)展線索二：技術(shù)要素的描述

⒈將技術(shù)要素作為一個(gè)不變參數(shù)的生產(chǎn)函數(shù)模型⒉改進(jìn)的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型表示技術(shù)的年進(jìn)步速度經(jīng)濟(jì)意義不明確⒊改進(jìn)的CES生產(chǎn)函數(shù)模型以上兩種改進(jìn)模型中，作為資本和勞動(dòng)產(chǎn)出彈性的參數(shù)不隨樣本點(diǎn)變化，即技術(shù)進(jìn)步不是節(jié)約資本型和節(jié)約勞動(dòng)型，而是中性的。⒋含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型⑴總量增長方程

a和b分別為資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性，式中第2，3項(xiàng)分別表示資本數(shù)量的增長和勞動(dòng)數(shù)量的增長對產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，第1項(xiàng)度量技術(shù)進(jìn)步對產(chǎn)出增長的貢獻(xiàn)。其實(shí)他是一個(gè)余項(xiàng)，包含不能被要素解釋的所有部分。⑵分離資本質(zhì)量的含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型

⑶分離勞動(dòng)質(zhì)量的含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型

⒌引入人力資本的生產(chǎn)函數(shù)模型Lucas（1988）為了解決技術(shù)內(nèi)生問題，提出人力資本的概念，Romer等人（1992）提出包括人力資本的生產(chǎn)函數(shù)模型⒍邊界生產(chǎn)函數(shù)模型⑴確定性邊界生產(chǎn)函數(shù)⑵隨機(jī)邊界生產(chǎn)函數(shù)四、幾個(gè)重要生產(chǎn)函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)方法

⒈C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及其改進(jìn)型的估計(jì)

⑴線性估計(jì)方法⑵非線性估計(jì)方法

能否線性化，與假設(shè)有關(guān)。⒉CES生產(chǎn)函數(shù)模型及其改進(jìn)型的估計(jì)展開泰勒級數(shù)時(shí)，要素替代彈性為1，模型轉(zhuǎn)化成C-D生產(chǎn)函數(shù)。將第二項(xiàng)在=0時(shí)，展開泰勒級數(shù)：⒊VES生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)（b=0時(shí)，展開泰勒級數(shù)）⒋二級CES生產(chǎn)函數(shù)模型的估計(jì)

二級CES生產(chǎn)函數(shù)為：

由第2級函數(shù)展開取近似，得到：由第1級函數(shù)展開取近似，得到：

代入前式，并考慮可能引起的共線性和計(jì)算復(fù)雜等因素，用逐步回歸篩選得到以下方程：即得到5個(gè)參數(shù)的估計(jì)值⒌含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)模型的估計(jì)估計(jì)的生產(chǎn)函數(shù)為：

直接作為線性模型估計(jì)：

關(guān)鍵是如何得到X1t的樣本觀測值因此需要給定不同的值，進(jìn)行反復(fù)估算,選取擬合效果最好的。⒍確定性統(tǒng)計(jì)邊界生產(chǎn)函數(shù)模型的修正的普通最小二乘估計(jì)（CorrectedOLS,COLS）

采用C-D生產(chǎn)函數(shù)形式：其中實(shí)質(zhì)上的邊界生產(chǎn)函數(shù)為：

為理論上的最大產(chǎn)出量。

將取最大值作為的值，代入得到。于是所要求的邊界生產(chǎn)函數(shù)為：邊界生產(chǎn)函數(shù)即是平均生產(chǎn)函數(shù)向上平移了。五、生產(chǎn)函數(shù)模型在技術(shù)進(jìn)步分析中的應(yīng)用⒈從縱向研究技術(shù)進(jìn)步：測算技術(shù)進(jìn)步速度及其對經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)⑴技術(shù)進(jìn)步速度的測定從生產(chǎn)函數(shù)模型求得要素的產(chǎn)出彈性計(jì)算產(chǎn)出和各種要素的平均增長速度利用增長方程計(jì)算技術(shù)進(jìn)步速度

⑵技術(shù)進(jìn)步對增長貢獻(xiàn)的測定⒉從橫向研究技術(shù)進(jìn)步：部門之間、企業(yè)之間技術(shù)進(jìn)步水平的比較分析⑴建立并估計(jì)某行業(yè)的企業(yè)確定性統(tǒng)計(jì)邊界生產(chǎn)函數(shù)模型⑵確定技術(shù)效率為1的企業(yè)m（處于最佳技術(shù)狀態(tài)）

⑶計(jì)算j企業(yè)的技術(shù)效率六、建立模型過程中的數(shù)據(jù)質(zhì)量問題⒈樣本數(shù)據(jù)的一致性問題一致性問題在生產(chǎn)函數(shù)模型中的具體體現(xiàn)同行業(yè)企業(yè)截面數(shù)據(jù)用于該行業(yè)企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)；不可用于行業(yè)的總量分析行業(yè)生產(chǎn)函