2019年數(shù)學(xué)高考真題卷-全國Ⅱ卷文數(shù)（含答案解析）

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?全國II卷文科數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..已知集合4={x|x>-l},3={x|xv2},則AC\B=A.(-l,+oo) B.(-8,2)C.(12)D.0.設(shè)z=i(2+i),則2=A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i.已知向量。=(2,3)力=(3,2),則|。4|=A.V2B.2C.5V2 D.50.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙.設(shè)段)為奇函數(shù)，且當后0時段)=3-1,則當x<0時於)=A.ex-1B.e"+1C.-e<lD.-ex+l.設(shè)a/為兩個平面，則a〃廣的充要條件是A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與6平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行C.a，平行于同一條直線D.a,￡垂直于同一平面TOC\o"1-5"\h\z.若xi=T/2=?是函數(shù)1Ax)=sin(ox(co>0)兩個相鄰的極值點，則co=4 43 1A.2 B.-C.l D;2 2.若拋物線尸=2〃%(/?>0)的焦點是橢圓著+?=1的一個焦點，則p=A.2 B.3 C.4 D.8.曲線y=2sinx+cosx在點(九,?1)處的切線方程為A.x-y-n-1=0 B.2x?y-2兀?1=0C.2x+y-2n+1=0D.x+y?7t+1=011.已知a^(0,^),2sin2a=cos2a+l,則sina=A.i B.匹C.更 D出5 5 3 5.設(shè)廠為雙曲線嗒q=l(a>0力>0)的右焦點,。為坐標原點，以。尸為直徑的圓與圓*+六層交于尸,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A.V2B.KC.2D.V5二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.f2x+3y-6>0,.若變量x,y滿足約束條件x+y-3<0,則z=3x-y的最大值是 .(y-2<0,.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為..AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c.已知bsinA+acos8=0,貝UB=..中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體''(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.(本題第一空2分，第三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分..(12分)如圖,長方體ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點E在棱±,B￡±ECi.⑴證明:BE_L平面EBC;⑵若AE=4邑48=3,求四棱錐E-8B1GC的體積.18.（12分）已知｛為｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列0=2,43=242+16.(1)求｛為｝的通項公式;(2)設(shè)為=log2〃〃,求數(shù)列｛仇｝的前n項和.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.想[-0.20,0）【叫2。[0.20,0,4[0,40,0.6[060080）?企亞數(shù)一2 24 53 14 7（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）附:展8.602.20.（12分）已知尸陋是橢圓礙+3=1（?>0）的兩個焦點,P為C上的點,0為坐標原點.⑴若APO尸2為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點P,使得尸產(chǎn)2,且&QPF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù)y（x）=（x-l）lnx-x-1.證明:（1求x）存在唯一的極值點；(2求x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22」選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］(10分)在極坐標系中,O為極點，點MSo，%)So>O)在曲線C,=4sin6上，直線/過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當為=；時,求處及I的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.23」選修4-5:不等式選講］(10分)已知_/(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)當。=1時，求不等式y(tǒng)(x)<o的解集；⑵若xC(-8,l)時1Ax)<0,求a的取值范圍.2 3 4 5 6 7 8 9 10II12 13 14 15 16CDABADBADCBA9 0.98 -r- 26V2-14.C［考查目標］本題主要考查集合的表示方法及交集的概念，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解析】 依題意得AnB=3-l<x<2},選C.【題型風(fēng)向】從近年來的高考試題來看，對集合的考杳涉及集合的基本運算以及集合間的關(guān)系，求解過程中需要仔細,否則容易失分..D【考查目標】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算及共軌復(fù)數(shù)的概念，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運算及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【解析】 依題意得z=i2+2i=-1+2i,z=-1-2i,i4D..A【考查目標】本題主要考查向量的坐標運算、向量的模等，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解析】 依題意得— +1?=企,因此選A.4.B【考查目標】本題主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算.【解題思路】設(shè)3只測量過某項指標的兔子為另2只兔子為a,%,采用列舉法求出“從5只兔子中隨機取出3只”的基本事件個數(shù),再求出“恰有2只測量過該指標”的事件個數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出結(jié)論.【解析】設(shè)3只測量過某項指標的兔子為A,B,C,另2只兔子為a也從這5只兔子中隨機取出3只，則基本事件共有10種，分別為(4￡C),(4Aa),(A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,a,b),(B,C,a),(BCb),(Bab),(C,aM,其中“恰有2只測量過該指標”的取法有6種，分別為(48口),(4及辦(45),(/10,(80,(80,因此所求的概率為總彳，選B.A【考查目標】本題主要考查邏輯推理,考查考生的邏輯推理能力.【解題思路】解答本題時緊緊圍繞著“只有一個人預(yù)測正確''來分析即可，可以先假定甲的預(yù)測正確，進行分析，看是否矛盾，依次類推，得出結(jié)論.【解析】依題意，若甲預(yù)測正確,則乙、丙均預(yù)測錯誤，此時三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙;若乙預(yù)測正確，此時丙預(yù)測也正確，這與題意相矛盾;若丙預(yù)測正確，則甲預(yù)測錯誤，此時乙預(yù)測正確，這與題意相矛盾.綜上所述，三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙，選A.D【考查目標】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.【解析】通解依題意得，當x<0時i/(x)=；A-x)=-(e--l)=-e"+l,選D.優(yōu)解依題意得代1)=加1)=-?-1)=1-3結(jié)合選項知，選D.【方法總結(jié)】在解決有關(guān)函數(shù)的奇偶性問題時，可考慮通過取特殊值的方法解決問題.7.B【考查目標】本題主要考查平面與平面平行的判定定理、充要條件等知識，考查考生的邏輯推理能力與空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象與邏輯推理.【解析】 對于A,C,D選項,a均有可能與夕相交,故排除A,C,D選項，選B.【解題關(guān)鍵】解決本題的關(guān)鍵是熟悉空間中的線面位置關(guān)系、空間中面面平行的判定定理與性質(zhì)定理以及充要條件，否則容易失分..A【考查口標】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的極值點等知識，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是直觀想象與數(shù)學(xué)運算.【解析】 依題意得函數(shù)外)的最小正周期T=F=2x(R>=k,解得。=2,選A..D【考查目標】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解題思路】根據(jù)題意列出方程,解方程即可.【解析】 依題意得齊同萬，得片8,故選D..C【考查目標】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算與幾何意義、直線的方程等，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解題思路】先求得相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出所求切線的斜率，最后由直線的點斜式方程求解.［解析】 依題意得y'=2cosx-sinx,yJe=(2cosx-sinx)L=*=2cosJt-sinn=-2,因此所求的切線方程為y+1=-2(x-n),即2x+y-11.B【考查目標】本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查考生的運算求解能力與靈活應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.【解析】通解依題意得4sinacosa=2cos由。￡(0,5,知cosa>0,所以2sina=cosa.又siMa+cos2a=］,所以sin2a+4sin2a=1,即si*x=1.又 所以sina=g，選B.優(yōu)解依題意得至^=BPtana《,所以sin。=工黑，鑒土當選B-■ .-2tana31-tan2a sin2a1-cos2a［拓展結(jié)論］sin2a=*%cos2。=不而而,tan。=訴五=』^.12.A【考查目標】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系等知識，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、直觀想象.【解題思路】在解答本題的過程中，可以先寫出以O(shè)F為直徑的圓的方程，再將兩圓的方程相減,得出其公共弦所在直線的方程，最后利用弦長的一半、半徑與弦心距三者之間的關(guān)系得到a￡,c之間的關(guān)系，由此得出結(jié)論;也可以充分利用圓的性質(zhì)，借助平面幾何知識求解.【解析】通解依題意，記F(c,O),則以O(shè)F為直徑的圓的方程為(x3+盧號,將圓(工守+爐子與圓戶+產(chǎn)標的方程相減得cx=a)即*4,所以點p,q的橫坐標均為J.由于PQ是圓月產(chǎn)標的一條弦，因此(當+(學(xué)2=/即今+鏟=族即彳=/(1_%)=噌*，所以/=2ab,即屋+乒-2ab=(a-b)2=O,所以a=6,因此C的離心率e=Jl+(，)2=75,故選A.優(yōu)解一記F(c,O).連接OP,PF,則OP_LPF,所以Sa0*黃0外仍￡|=30日和。|,即%正3李土即1=2"，即*+乒一23(小6)2=0,所以。斗，因此C的離心率e=J1+(52=V5,故選a.優(yōu)解二記尸(c,0).依題意,PQ是以0F為直徑的圓的一條弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|=|Of|,因此PQ是該圓的與OF垂直的直徑，所以NFOP=45。,點P的橫坐標為亨,縱坐標的絕對值為1于是有即e=￡=V^,即C的離心率為四，故選A.13.9【考查目標】本題主要考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象.【解題思路】先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再判斷目標函數(shù)的最值即可.2x+3?-6=ul； ；一0| *X/ /**?-3=0【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線3x?y=0,并平移，當直線經(jīng)過點(3,0)時，直線在)，軸上的截距最小，此時Z=3x-y取得最大值，且Zmax=9.【易錯警示】在處理此類問題時,往往需要畫圖，且所畫的圖形要盡可能準確,否則容易判斷錯誤.14.0.98【考查目標】本題主要考查概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識，考查考生的運算求解能力與應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.【解析】依題意知，經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為1°x°.97+2°：丁8+1OxO-99=o98.【易錯警示】 解決本題時，除了要正確列式,還需要注意計算的準確性.15.當【考查目標】本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查考生的運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【解題思路】 先根據(jù)條件與正弦定理，得tan3=-1,再由(XB<n即可得解.【解析】 解法一依題意與正弦定理得sinBsin4+sinAcos8=0,即sinfi=-cos8,則lan8=?1.又0<8<兀,所以B二4,解法二由正弦定理得bsinA=asinB,又Z?sinA+acos8=0,所以asinB+acos8=0,即sinfi=-cos8,則tanB=?l.又0<8〈兀，所以解法三依題意得加inA=-acos8>0,故cos 為鈍角.如圖，過點C作CELAB交AB的延長線于點E,則CE=AinNB4C,BE=-acosZABCMBE=CE.又CE_LAB,所以NCBE=q，NA3C=*4 4【舉一反三】在求解解三角形問題時，往往需要利用正弦定理、余弦定理進行邊、角間的相互轉(zhuǎn)化.16.26V2-1【考查目標】本題主要考查考生的運算求解能力、空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算.【解析】依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體由18個正方形和8個正三角形圍成,因此題中的半正多面體共有26個面.注意到該多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形,設(shè)題中的半正多而體的棱長為x,則竽r+x+多=1.解得x=Ml,故題中的半正多面體的棱長為&-1..【考查目標】 本題主要考查直線與平面垂直的證明、兒何體體積的求解等知識，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，考杳的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.【解題思路】對于(1),根據(jù)長方體的性質(zhì)得出BiG_L平面AB&Ai,由此得出再結(jié)合BE_LEG及直線與平面垂直的判定定理，得出BE_L平面EBCi;對于⑵,結(jié)合⑴與已知條件，得出RtAABE/RS4BiE,進而得出AE=4B,過點E作EFVBB\于點F,易得EF即四棱錐E-8&GC的高，結(jié)合棱錐的體積公式即可求解.解:⑴由已知得BiGJ■平面ABBi4,8Eu平面AB34,故BC_LBE.又BE_LEG,所以8EJ■平面EfiiCi.(2)由(1)知NBEBi=90。.由題設(shè)知RtAASE^RtA48E,所以NAEB=N4EBi=45。,故AE=AB=3A4i=2AE=6.作 垂足為F,則EF_L平面BBCC,且EF=AB=3.所以,四棱錐E-BBQC的體積V=ix3x6x3=18..【考查目標】 本題主要考杳等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前"項和公式等，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.【解題思路】對于(1),先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出關(guān)于公比g的方程，由此確定公比g,即可求解｛小｝的通項公式;對于(2),先確定數(shù)列出“｝的通項公式，再利用等差數(shù)列的前"項和公式得出結(jié)論.解:(1)設(shè)的公比為g,由題設(shè)得2g2=4g+16,即/-2g-8=0.解得g=-2(舍去)或g=4.因此｛小｝的通項公式為a”=2x4"T=22"，(2)由⑴得加=(2止1)log22=2"”,因此數(shù)列｛5｝的前w項和為1+3+…+2n-1=n2.【方法拓展】對于數(shù)列的求和，除了需要清楚常見的等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，還需要掌握錯位相減法、裂項相消法等求和方法..【考查目標】 本題主要考查用樣本估計總體、平均數(shù)與標準差等知識，考查考生運用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.【解題思路】對于(1),根據(jù)題中的頻數(shù)分布表，結(jié)合用樣本估計總體的知識即可求解;對于(2),利用平均數(shù)與標準差的計算公式進行求解.解：(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為需=0.21.產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為磊=0.02.用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.(2)y=y^(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,1 5=^|(-0.40)2x2+(-0.20)2x24+02x53+0.202xl4+0.402x7］=0.0296,5=70.0296=0.02xV74=0.17.所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為30%,17%..【考查目標】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力、運算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【解題思路】對于(1),連接得出NBP危=90。,進而得再由橢圓的定義得到關(guān)于a,c的方程，即可得C的離心率；對于(2),先由題意求得b的值,再得出/N尻最后結(jié)合ahc的關(guān)系確定a的取值范圍.解:⑴連接PFi.±APOB為等邊三角形可知在△ 中,NKP尸2=90°,|PB|=c,|PFi|=gc,于是2a=|PFi|+|P&|=(次+l)c,故C的離心率e=￡=V5-l.a(2)由題意可知,滿足條件的點P(%,y)存在當且僅當||v|-2c=16,=?上=-1￡=1,即4)1=16,①/+W②■=i.③a1bL由②?及［2=〃+/得\2=去,又由①知戶皆，故6=4.由②?得『二號(/-〃)，所以cb尻從而標二護+。江2〃=32,故a>4\l2.當方=4,e4在時，存在滿足條件的點P.所以b=4,a的取值范圍為［4&,+8)..【考杳目標】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點、函數(shù)的單調(diào)性以及方程的根，考查考生靈活運用導(dǎo)數(shù)分析問題、解決問題的能力，綜合考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【解題思路】對于(1),利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求得八X),并研究八X)在(0,+8)上的單調(diào)性,再根據(jù)零點存在性定理確定/(X)在(0,+8)上有唯一零點，從而得到犬X)存在唯一的極值點;對于(2),借助(1)的結(jié)論與零點存在性定理即可得出結(jié)論.解：(1)尺0的定義域為(0,+8).Y-1 1f'(x)=-^-+lnx-1=lnx-p因為y=1nx單調(diào)遞增,)，=：單調(diào)遞減,所以尸(x)單調(diào)遞增.又f'(1)=-l<0/'(2)=ln23=哼1>0,故存在唯一沖已(1,2),使得/'(M>)=0.又當xao時/'(幻<0段)單調(diào)遞減;當x>xo時/。)>0段)單調(diào)遞增.因此次用存在唯一的極值點.(2)由⑴知人即)勺(1)=-2,又/(e2)=e2-3>0,所