桿系結(jié)構(gòu)有限元法解析課件

3桿系結(jié)構(gòu)有限元法3桿系結(jié)構(gòu)有限元法1

桿系結(jié)構(gòu)定義：當結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸大得多時，這類結(jié)構(gòu)稱為桿件。工程中常見得軸、支柱、螺栓、加強肋以及各類型鋼等都屬于桿件。

是在節(jié)點處通過鉚接、焊接或用其他方法把若干個桿件連接起來組成一個能共同承擔外部載荷的結(jié)構(gòu)。石油工程中的井架、管匯結(jié)構(gòu)等。

桿系結(jié)構(gòu)定義：當結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸2桿件結(jié)構(gòu)可分為桁架和剛架兩種有限元法對桿系結(jié)構(gòu)離散，通常采用自然離散的形式，也就是把等截面的桿件作為單元。當單元的兩端為鉸接，桿件內(nèi)力只有軸力存在，“桿單元”－“桁架”和其他結(jié)構(gòu)采用鉸連接的桿稱為桁桿。桁桿的連接處可以自由轉(zhuǎn)動，因此這類結(jié)構(gòu)只承受拉壓作用，內(nèi)部應(yīng)力為拉壓應(yīng)力。影響應(yīng)力的幾何因素主要是截面面積，與截面形狀無關(guān)。當單元兩端可以承受彎矩和剪力作用時稱為“梁單元”－“剛架”和其他結(jié)構(gòu)采用固定連接的桿稱為梁。鏈的連接處不能自由轉(zhuǎn)動，因此梁不僅能夠承受拉壓，而且能承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用。這類桿件的內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)比較復雜，應(yīng)力大小和分布不僅與截面大小有關(guān)，而且與截面形狀和方位有很大關(guān)系。建立有限元模型時，這兩類桿件結(jié)構(gòu)可用相應(yīng)的桿單元和梁單元離散。桿件結(jié)構(gòu)可分為桁架和剛架兩種3挖掘機橋梁挖掘機橋梁4鳥巢空間立體網(wǎng)架奧運鳥巢的有限元模型鳥巢空間立體網(wǎng)架奧運鳥巢的有限元模型5工程中最簡單的結(jié)構(gòu)可以認為是鉸支的桿件。它的性質(zhì)完全類似于彈簧。彈簧系統(tǒng)力F與彈簧伸長量（位移）之間關(guān)系由胡克定律有式中k為彈簧的剛度，是彈簧的固有參數(shù)。它對應(yīng)于力－位移圖中F-關(guān)系直線的斜率。當k和力F已知時，可由下式求出彈簧伸長量彈簧力－位移間關(guān)系(4—1)3-1引言工程中最簡單的結(jié)構(gòu)可以認為是鉸支的桿件。它的性質(zhì)完全類似于彈6

當處理比較復雜的鉸支桿系統(tǒng)時，要確定系統(tǒng)在力F的作用下，節(jié)點B、C、D和E處的變形。以便計算各桿件的內(nèi)應(yīng)力及各桿所受的軸向力，可假設(shè)整個桿件系統(tǒng)也具有像式(4-1)中k值一樣的剛度，這樣在力F的作用下各點的位移就可以用類似式(4-1)的公式計算了，不過．這時的系統(tǒng)剛度應(yīng)采用一個矩陣來表示，即，同理，各點的位移也應(yīng)采用一個矩陣來表示，即，再加上矩陣，就構(gòu)成了稱為對應(yīng)于施加在系統(tǒng)上各節(jié)點力的剛度矩陣。F當處理比較復雜的鉸支桿系統(tǒng)時，要確定系統(tǒng)在力F的作用下，節(jié)7問題：1、復雜結(jié)構(gòu)其剛度矩陣是多少階的？2、如何求出？3、為什么著重討論系統(tǒng)的剛度矩陣？系統(tǒng)的整體剛度矩陣－求出所受外力作用下各桿件節(jié)點處的位移－計算各桿件的受力和應(yīng)力問題：8ku1,F1u2,F2彈簧的作用力向量為位移向量為從而這個彈簧的剛度矩陣是2x2階的。為求出它們，將圖2-4所示彈簧系統(tǒng)看作兩個簡單的系統(tǒng)，然后合成。一、單個彈簧的剛度矩陣3-2彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣ku1,F1u2,F2彈簧的作用力向量為位移向量為從而這個彈9由力的平衡有ku1F1aF2aAA‘(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2BB‘(b)ku1F1u2F2AA‘BB‘1)只有節(jié)點1可以變形,點2固定2)只有節(jié)點2可以變形,點1固定3)根據(jù)線彈性系統(tǒng)的疊加原理，疊加1)2)兩種情況，就得到與原始問題一樣的結(jié)構(gòu)，如圖（c），疊加結(jié)果為：(c)作用于節(jié)點1上的合力作用于節(jié)點2上的合力剛度矩陣對成、奇異矩陣（2－5）（2－6）由力的平衡有ku1F1aF2aAA‘(a)u2=0ku10二、組合彈簧的剛度矩陣kakbu1,F1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu2＝0u3＝0F1bkakbu2,F2bF3bu1＝0u3＝0F1ckakbF2cu3,F3cu1＝0u2＝0(a)(b)(c)1)只允許節(jié)點1有位移u1，力F1a與位移u1之間的關(guān)系由于u1＝u2＝0，沒有力作用于節(jié)點3，因此，考慮彈簧1-2，由靜力平衡條件有2)只允許節(jié)點2有位移u2，這時由于位移的連續(xù)性，每個彈簧在節(jié)點2要求有相同的位移，即，彈簧1-2的伸長量與彈簧2-3的縮短量相等。對彈簧1-2有拉力kau2，對彈簧2-3有壓力kbu2分別對兩彈簧求靜力平衡，有3)只允許節(jié)點3有位移u3，類似于情況1），有由于節(jié)點1、2無位移，有二、組合彈簧的剛度矩陣kakbu1,F1u2,F2u3,F311組合彈簧的剛度矩陣4)合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個節(jié)點只有一個方向的位移。因此方程式應(yīng)用如下形式：利用線彈性系統(tǒng)的疊加原理，找出3×3階剛度矩陣各元素的表達式節(jié)點1處的合力節(jié)點2處的合力節(jié)點3處的合力對成、奇異矩陣（2－8）組合彈簧的剛度矩陣4)合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個12用同樣的方法可以求解具有更多個彈簧的串連系統(tǒng)，推導過程乏味。知道單個彈簧的剛度矩陣－－直接疊加出多個串聯(lián)系統(tǒng)的總剛度矩陣。用同樣的方法可以求解具有更多個彈簧的串連13知道單個彈簧單元的剛度矩陣，直接疊加出總剛度矩陣對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，將上述方程擴大成3階方程：整個系統(tǒng)有3個節(jié)點（位移），將上述方程擴大成3階方程，按矩陣相加原理將兩式疊加，（2－9）矩陣擴大辦法單元數(shù)量增多時，相應(yīng)擴大后的矩陣就相當大，擴大后的非零元素在矩陣的什么位置，概念上就不很清楚了。知道單個彈簧單元的剛度矩陣，直接疊加出總剛度矩陣對整個系統(tǒng)來14按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素kij寫到總剛度矩陣中的辦法來疊加。以上面兩個彈簧系統(tǒng)為例，系統(tǒng)共三個節(jié)點，每個節(jié)點有一個自由度，因此，該系統(tǒng)總剛度矩陣應(yīng)該是3×3階的矩陣。第1個單元的節(jié)點號為1和2，則單元剛度矩陣中的元素在總剛度矩陣中應(yīng)在位置第1行、第2行的第1列，第2列第2個單元的節(jié)點號為2和3，則單元剛度矩陣疊加到總剛度矩陣的第2行、第3行的第2列、第3列元素上按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素kij寫到總剛度矩陣中的辦15三、方程求解（約束條件的引入）由式（2－6）和式（2－8）可知，剛度矩陣是一個奇異陣，即它的行列式的值為零，矩陣的逆不存在。

對應(yīng)線性代數(shù)方程組式（2－7）和式（2－9）無定解。

物理概念解釋：對整個系統(tǒng)的位移u1、u2和u3，沒有加以限制，從而在任何外力的作用下系統(tǒng)會發(fā)生剛體運動。u1＝u2＝

u3＝u,且u沒有定值，所以方程無定解。為使方程組有定解，只需給系統(tǒng)加上一定的約束（稱為約束條件或邊界條件）例如：兩彈簧系統(tǒng)，節(jié)點1固定不動，有u1＝0，則式（2－9）成為從而可得到定解。通過解上述方程可得到各個節(jié)點的位移，利用已求得的位移就可計算出每個彈簧所受力的大小。三、方程求解（約束條件的引入）由式（2－6）和式（2－8）可16彈簧1-2受力pa＝ka×（彈簧1－2長度的變化量）

pa＝ka×（u2-u1）

有限元方法求解彈簧系統(tǒng)受力問題的基本步驟：①形成每個單元的剛度矩陣②各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛度矩陣③引入約束條件④以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組⑤用每個單元的力－位移關(guān)系求得單元力。彈簧1-2受力pa＝ka×（彈簧1－2長度的變化量）

173－3桿件系統(tǒng)的有限元法一、桿單元分析1、局部坐標系下桿單元剛度矩陣上面求解彈簧系統(tǒng)的有限元方法可以直接用力求解受軸向力的桿件系統(tǒng)。均質(zhì)等截面鉸支桿，剛度值可由材料力學中力與變形的關(guān)系中獲得均質(zhì)等截面鉸支桿的力－位移方程可寫為3－3桿件系統(tǒng)的有限元法一、桿單元分析均質(zhì)等截面鉸支桿的182、坐標變換、整體坐標系下的單元剛度矩陣為建立整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，需要在一個共同的統(tǒng)一坐標系（即總體坐標系）中建立平衡方程。由于剛架各單元的空間位置不同，各個單元的局部坐標系一般也不相同。實際桿件系統(tǒng)都是互相成一定角度排列的桿件連接在一起的每個桿件的單元坐標系統(tǒng)所有桿件的都適用的整體坐標系統(tǒng)2、坐標變換、整體坐標系下的單元剛度矩陣實際桿件系統(tǒng)都是互相19

12對應(yīng)局部坐標，x，y對應(yīng)整體坐標系統(tǒng)對應(yīng)局部坐標系的位移和作用力，對應(yīng)整體坐標系的位移和作用力。注意：(1)圖中角是從整體坐標系x軸正向起算逆時針轉(zhuǎn)到桿件方向。（2）鉸支連接的桿中能承受軸向力和產(chǎn)生軸向位移,因此局部坐標系下，。12對應(yīng)局部坐標，x，y對應(yīng)整體坐標系統(tǒng)對應(yīng)局部坐標系的位移20方便矩陣運算，將力和位移的矩陣用四階方程表示：將上式從局部坐標系轉(zhuǎn)換到整體坐標系，表示為：類似地可寫出節(jié)點2處的表達式。方便矩陣運算，將力和位移的矩陣用四階方程表示：將上式從局部坐21令，，則節(jié)點力的變換關(guān)系為（2－13）或稱為變換矩陣。與力的坐標變換式類似，斜桿在兩節(jié)點的位移有同樣的坐標變換式（2－14）利用式（2－13）和式（2－14）可以把局部坐標系下方程（2－12）表示成整體坐標系下的方程。－－整體坐標系下單元的剛度矩陣。令，，則節(jié)點22用左乘上式兩邊（2－15）再將式（2－14）代入式（2－15），有單元剛度矩陣在整體坐標系下的表達式可以用局部坐標系下的表達式求出，

（2－16）將式（2－13）代入式（2－12）有有（2－14）用左乘上式兩邊（2－15）再將式（2－14）代入23二、整體（平面桁架）分析求解整體坐標系下結(jié)構(gòu)受力與位移方程組可得到各節(jié)點的位移。從而可求出每根桿的受力。i，j——整體坐標系中任一桿單元的兩個節(jié)點號。（2－17）（2－18）二、整體（平面桁架）分析可得到各節(jié)點的位移。從而可求出每根桿24有限元方法求解平面桁架系統(tǒng)受力問題的基本步驟：①形成局部坐標系下每個單元的剛度矩陣②由坐標變化矩陣，獲得整體坐標系下單元剛度矩陣③各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛度矩陣④引入約束條件⑤以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組⑥用每個單元的力－位移關(guān)系求得單元力。有限元方法求解平面桁架系統(tǒng)受力問題的基本步驟：25例題例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受力Fx2、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45°）yxFx21231①②③Fy2單元①＝0°＝1＝1單元②＝90°＝0＝1單元③＝135°將它們代人（2－17），得到單元①例題例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，26單元②單元③單元②單元③27這里e1表示單元①（具有節(jié)點1，2）….，將實際值代人，總剛度矩陣為整個系統(tǒng)有6個自由度，整體剛度矩陣是6×6階的。將上述單元剛陣按節(jié)點號疊加到6×6階矩陣中，就得到整體剛度矩陣。這里e1表示單元①（具有節(jié)點1，2）….，將實際值代人28將u2，v2代人原方程，則其它力可表示為只有u2，v2需要求解，因此上述方程可簡化為最后各桿所受到的力，由式（2-18）可求出將u2，v2代人原方程，則其它力可表示為只有u2，v2需要求29例題（ANSYS3-1）例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受力Fx2、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45°）yxFx21231①②③Fy2單元類型；Link8單元實常數(shù)：A＝1材料屬性：EX=3.5E10PRXY=0.1667例題（ANSYS3-1）例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，30ANSYS算例3-2臨時墩拼裝場地臨時墩ANSYS算例3-2臨時墩拼裝場地臨時墩31桿系結(jié)構(gòu)有限元法解析課件32Beam188單元

圖5平面模型頂推140m軸力分布圖Beam188單元

圖5平面模型頂推140m軸力分布圖333-4平面剛架有限元法各桿間是剛性固結(jié)的，當剛架結(jié)構(gòu)受外力作用時，桿件內(nèi)不僅有軸力，還有剪力和彎矩，稱這類桿件為梁。3-4平面剛架有限元法各桿間是剛性固結(jié)的，當剛架結(jié)構(gòu)受外力341、直接剛度法推導梁單元有限元格式L12平面剛架結(jié)構(gòu)——梁單元1、直接剛度法推導梁單元有限元格式L12平面剛架結(jié)構(gòu)——梁35材料力學或結(jié)構(gòu)力學：梁所受彎矩與變形之間的關(guān)系，列方程由靜力平衡，列方程以上兩式寫成矩陣形式即為局部坐標系下梁單元剛度矩陣材料力學或結(jié)構(gòu)力學：梁所受彎矩與變形之間的關(guān)系，列方程由靜力36擴展后的局部坐標系下的梁單元6×6剛度矩陣局部坐標到整體坐標的變換矩陣其中，單元剛度矩陣在整體坐標系下的形式為擴展后的局部坐標系下的梁單元6×6剛度矩陣局部坐標到整體坐標371、力學條件建立單元受力和位移之間的關(guān)系式2、局部坐標系下的單元剛度矩陣3、整體坐標系下的單元剛度矩陣4、單元剛度疊加，構(gòu)成總體剛度矩陣5、引入邊界條件，求線性方程6、得到系統(tǒng)各節(jié)點處的位移7、進而得到每根梁所受力和力矩1、力學條件建立單元受力和位移之間的關(guān)系式382、位移函數(shù)－虛功原理推導梁單元有限元計算格式第一步：寫出單元的位移、節(jié)點力向量局部坐標系下，節(jié)點1的位移向量和力向量對節(jié)點2也類似，從而梁1-2的節(jié)點位移和節(jié)點力向量為這些向量每個包含4項，因此單元剛度矩陣應(yīng)該是4×4階的。2、位移函數(shù)－對節(jié)點2也類似，從而梁1-2的節(jié)點位移39第二步：選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)選擇一個簡單函數(shù)，用節(jié)點上的位移來表示單元上各點的位移。這一位移函數(shù)一般情況下可選擇多項式。多項式的系數(shù)個數(shù)應(yīng)與單元自由度數(shù)目相同，使各點的位移可以用節(jié)點處的位移所唯一確定。整個單元具有四個自由度，而且只與x坐標有關(guān)，由于(3-7)(3-8)對于梁單元，設(shè)位移函數(shù)寫成第二步：選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)整個單元具有四個自由度，而且只與40寫成矩陣形式，有x=L處對梁單元，x=0處，第三步：求單元中任一點的位移與節(jié)點位移的關(guān)系將梁單元兩個節(jié)點處，對應(yīng)的位移代入到(3-7)、(3-8)式中，(3-10)求解方程式（3－10）得從而單元上任一點的位移可用節(jié)點位移表示：寫成矩陣形式，有x=L處對梁單元，x=0處，第三步：求單元中41第四步：求單元應(yīng)變-單元位移-節(jié)點位移間的關(guān)系單元內(nèi)任一點的應(yīng)變可以通過對該點處的位移微分得到。將代入，寫成矩陣形式幾何矩陣第四步：求單元應(yīng)變-單元位移-節(jié)點位移間的關(guān)系將42第五步：求應(yīng)力-應(yīng)變--節(jié)點位移間的關(guān)系(彈性力學物理方程)彈性矩陣對于梁的彎曲問題，由材料力學知識可知，應(yīng)力-應(yīng)變相當于內(nèi)力矩與曲率關(guān)系，近似表達式為：第五步：求應(yīng)力-應(yīng)變--節(jié)點位移間的關(guān)系(彈性力學物理方程43虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學特性分析中的一種具體形式。本章將利用這種原理建立單元特性方程。1.虛功與虛應(yīng)變能：虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學特性分析中的一種具體形式44虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學特性分析中的一種具體形式。本章將利用這種原理建立單元特性方程。虛位移是指在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體可能發(fā)生的任意微小位移。外力要做的虛功，大小為：同時，彈性體內(nèi)將產(chǎn)生虛應(yīng)變={δε}，應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功是儲存在彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能，若用δ表示單位體積虛應(yīng)變能，δW

={δf}T{R}δ={δε

}T{σ}虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學特性分析中的一種具體形式45如果在虛位移發(fā)生之前彈性體是平衡的，那么虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上所做的虛功就等于彈性體的虛應(yīng)變能，即

δW＝δU對于虛位移原理，在虛位移發(fā)生過程中，原有的外力、應(yīng)力、溫度及速度應(yīng)保持不變。外力的形式有集中力、體力和表明力。如果在虛位移發(fā)生之前彈性體是平衡對于虛位移原理46第六步：求節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系虛功原理：系統(tǒng)保持平衡的充要條件是外力在虛位移上所做的功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上所做的功。系統(tǒng)各節(jié)點虛位移向量節(jié)點外力在虛位移上所做的虛功任一點處虛位移引起的虛應(yīng)變?yōu)?，該處?yīng)力為內(nèi)應(yīng)力所做的功（單位體積上的應(yīng)變能）為：虛位移引起的虛應(yīng)變同樣成立，虛功原理，整個體積上功的平衡有：其中，節(jié)點虛位移和節(jié)點位移都與積分無關(guān)第六步：求節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系系統(tǒng)各節(jié)點虛位移向量節(jié)點外力47其中，單元剛度矩陣的表達式：具體到梁單元，積分區(qū)域是一維的，且從x＝0～L單元剛度矩陣的表達式：其中，單元剛度矩陣的表達式：具體到梁單元，積分區(qū)域是一維的，48第七步：求節(jié)點位移與應(yīng)力關(guān)系第七步：求節(jié)點位移與應(yīng)力關(guān)系491、單元節(jié)點位移和節(jié)點力列陣的坐標變換任意平面向量V（如平面梁單元的節(jié)點位移或節(jié)點力列向量），在總體坐標系xoy中的分量為Vx和Vy，ox軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角與軸同向，如圖iθiuijθjuj1、單元節(jié)點位移和節(jié)點力列陣的坐標變換iθiuijθjuj50則有寫成矩陣形式為令為平面梁單元的節(jié)點力和節(jié)點位移列陣的坐標變換矩陣。則有寫成矩陣形式為令為平面梁單元的節(jié)點力和節(jié)點位移列陣的坐標51設(shè)總體坐標系中第e個單元的節(jié)點力和節(jié)點位移列陣分別為局部坐標系為，單元剛度矩陣為2、單元剛度矩陣的坐標變換由坐標轉(zhuǎn)換可知由2、單元剛度矩陣的坐標變換由坐標轉(zhuǎn)換可知由52得令則上式即為單元剛度矩陣的坐標轉(zhuǎn)換式，即為總體坐標系中第e個單元的剛度矩陣，它是一個對稱矩陣。得令則上式即為單元剛度矩陣的坐標轉(zhuǎn)換式，即為總體53ANSYS算例3-3ANSYS算例3-3543桿系結(jié)構(gòu)有限元法3桿系結(jié)構(gòu)有限元法55

桿系結(jié)構(gòu)定義：當結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸大得多時，這類結(jié)構(gòu)稱為桿件。工程中常見得軸、支柱、螺栓、加強肋以及各類型鋼等都屬于桿件。

是在節(jié)點處通過鉚接、焊接或用其他方法把若干個桿件連接起來組成一個能共同承擔外部載荷的結(jié)構(gòu)。石油工程中的井架、管匯結(jié)構(gòu)等。

桿系結(jié)構(gòu)定義：當結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸56桿件結(jié)構(gòu)可分為桁架和剛架兩種有限元法對桿系結(jié)構(gòu)離散，通常采用自然離散的形式，也就是把等截面的桿件作為單元。當單元的兩端為鉸接，桿件內(nèi)力只有軸力存在，“桿單元”－“桁架”和其他結(jié)構(gòu)采用鉸連接的桿稱為桁桿。桁桿的連接處可以自由轉(zhuǎn)動，因此這類結(jié)構(gòu)只承受拉壓作用，內(nèi)部應(yīng)力為拉壓應(yīng)力。影響應(yīng)力的幾何因素主要是截面面積，與截面形狀無關(guān)。當單元兩端可以承受彎矩和剪力作用時稱為“梁單元”－“剛架”和其他結(jié)構(gòu)采用固定連接的桿稱為梁。鏈的連接處不能自由轉(zhuǎn)動，因此梁不僅能夠承受拉壓，而且能承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用。這類桿件的內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)比較復雜，應(yīng)力大小和分布不僅與截面大小有關(guān)，而且與截面形狀和方位有很大關(guān)系。建立有限元模型時，這兩類桿件結(jié)構(gòu)可用相應(yīng)的桿單元和梁單元離散。桿件結(jié)構(gòu)可分為桁架和剛架兩種57挖掘機橋梁挖掘機橋梁58鳥巢空間立體網(wǎng)架奧運鳥巢的有限元模型鳥巢空間立體網(wǎng)架奧運鳥巢的有限元模型59工程中最簡單的結(jié)構(gòu)可以認為是鉸支的桿件。它的性質(zhì)完全類似于彈簧。彈簧系統(tǒng)力F與彈簧伸長量（位移）之間關(guān)系由胡克定律有式中k為彈簧的剛度，是彈簧的固有參數(shù)。它對應(yīng)于力－位移圖中F-關(guān)系直線的斜率。當k和力F已知時，可由下式求出彈簧伸長量彈簧力－位移間關(guān)系(4—1)3-1引言工程中最簡單的結(jié)構(gòu)可以認為是鉸支的桿件。它的性質(zhì)完全類似于彈60

當處理比較復雜的鉸支桿系統(tǒng)時，要確定系統(tǒng)在力F的作用下，節(jié)點B、C、D和E處的變形。以便計算各桿件的內(nèi)應(yīng)力及各桿所受的軸向力，可假設(shè)整個桿件系統(tǒng)也具有像式(4-1)中k值一樣的剛度，這樣在力F的作用下各點的位移就可以用類似式(4-1)的公式計算了，不過．這時的系統(tǒng)剛度應(yīng)采用一個矩陣來表示，即，同理，各點的位移也應(yīng)采用一個矩陣來表示，即，再加上矩陣，就構(gòu)成了稱為對應(yīng)于施加在系統(tǒng)上各節(jié)點力的剛度矩陣。F當處理比較復雜的鉸支桿系統(tǒng)時，要確定系統(tǒng)在力F的作用下，節(jié)61問題：1、復雜結(jié)構(gòu)其剛度矩陣是多少階的？2、如何求出？3、為什么著重討論系統(tǒng)的剛度矩陣？系統(tǒng)的整體剛度矩陣－求出所受外力作用下各桿件節(jié)點處的位移－計算各桿件的受力和應(yīng)力問題：62ku1,F1u2,F2彈簧的作用力向量為位移向量為從而這個彈簧的剛度矩陣是2x2階的。為求出它們，將圖2-4所示彈簧系統(tǒng)看作兩個簡單的系統(tǒng)，然后合成。一、單個彈簧的剛度矩陣3-2彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣ku1,F1u2,F2彈簧的作用力向量為位移向量為從而這個彈63由力的平衡有ku1F1aF2aAA‘(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2BB‘(b)ku1F1u2F2AA‘BB‘1)只有節(jié)點1可以變形,點2固定2)只有節(jié)點2可以變形,點1固定3)根據(jù)線彈性系統(tǒng)的疊加原理，疊加1)2)兩種情況，就得到與原始問題一樣的結(jié)構(gòu)，如圖（c），疊加結(jié)果為：(c)作用于節(jié)點1上的合力作用于節(jié)點2上的合力剛度矩陣對成、奇異矩陣（2－5）（2－6）由力的平衡有ku1F1aF2aAA‘(a)u2=0ku64二、組合彈簧的剛度矩陣kakbu1,F1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu2＝0u3＝0F1bkakbu2,F2bF3bu1＝0u3＝0F1ckakbF2cu3,F3cu1＝0u2＝0(a)(b)(c)1)只允許節(jié)點1有位移u1，力F1a與位移u1之間的關(guān)系由于u1＝u2＝0，沒有力作用于節(jié)點3，因此，考慮彈簧1-2，由靜力平衡條件有2)只允許節(jié)點2有位移u2，這時由于位移的連續(xù)性，每個彈簧在節(jié)點2要求有相同的位移，即，彈簧1-2的伸長量與彈簧2-3的縮短量相等。對彈簧1-2有拉力kau2，對彈簧2-3有壓力kbu2分別對兩彈簧求靜力平衡，有3)只允許節(jié)點3有位移u3，類似于情況1），有由于節(jié)點1、2無位移，有二、組合彈簧的剛度矩陣kakbu1,F1u2,F2u3,F365組合彈簧的剛度矩陣4)合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個節(jié)點只有一個方向的位移。因此方程式應(yīng)用如下形式：利用線彈性系統(tǒng)的疊加原理，找出3×3階剛度矩陣各元素的表達式節(jié)點1處的合力節(jié)點2處的合力節(jié)點3處的合力對成、奇異矩陣（2－8）組合彈簧的剛度矩陣4)合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個66用同樣的方法可以求解具有更多個彈簧的串連系統(tǒng)，推導過程乏味。知道單個彈簧的剛度矩陣－－直接疊加出多個串聯(lián)系統(tǒng)的總剛度矩陣。用同樣的方法可以求解具有更多個彈簧的串連67知道單個彈簧單元的剛度矩陣，直接疊加出總剛度矩陣對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，將上述方程擴大成3階方程：整個系統(tǒng)有3個節(jié)點（位移），將上述方程擴大成3階方程，按矩陣相加原理將兩式疊加，（2－9）矩陣擴大辦法單元數(shù)量增多時，相應(yīng)擴大后的矩陣就相當大，擴大后的非零元素在矩陣的什么位置，概念上就不很清楚了。知道單個彈簧單元的剛度矩陣，直接疊加出總剛度矩陣對整個系統(tǒng)來68按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素kij寫到總剛度矩陣中的辦法來疊加。以上面兩個彈簧系統(tǒng)為例，系統(tǒng)共三個節(jié)點，每個節(jié)點有一個自由度，因此，該系統(tǒng)總剛度矩陣應(yīng)該是3×3階的矩陣。第1個單元的節(jié)點號為1和2，則單元剛度矩陣中的元素在總剛度矩陣中應(yīng)在位置第1行、第2行的第1列，第2列第2個單元的節(jié)點號為2和3，則單元剛度矩陣疊加到總剛度矩陣的第2行、第3行的第2列、第3列元素上按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素kij寫到總剛度矩陣中的辦69三、方程求解（約束條件的引入）由式（2－6）和式（2－8）可知，剛度矩陣是一個奇異陣，即它的行列式的值為零，矩陣的逆不存在。

對應(yīng)線性代數(shù)方程組式（2－7）和式（2－9）無定解。

物理概念解釋：對整個系統(tǒng)的位移u1、u2和u3，沒有加以限制，從而在任何外力的作用下系統(tǒng)會發(fā)生剛體運動。u1＝u2＝

u3＝u,且u沒有定值，所以方程無定解。為使方程組有定解，只需給系統(tǒng)加上一定的約束（稱為約束條件或邊界條件）例如：兩彈簧系統(tǒng)，節(jié)點1固定不動，有u1＝0，則式（2－9）成為從而可得到定解。通過解上述方程可得到各個節(jié)點的位移，利用已求得的位移就可計算出每個彈簧所受力的大小。三、方程求解（約束條件的引入）由式（2－6）和式（2－8）可70彈簧1-2受力pa＝ka×（彈簧1－2長度的變化量）

pa＝ka×（u2-u1）

有限元方法求解彈簧系統(tǒng)受力問題的基本步驟：①形成每個單元的剛度矩陣②各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛度矩陣③引入約束條件④以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組⑤用每個單元的力－位移關(guān)系求得單元力。彈簧1-2受力pa＝ka×（彈簧1－2長度的變化量）

713－3桿件系統(tǒng)的有限元法一、桿單元分析1、局部坐標系下桿單元剛度矩陣上面求解彈簧系統(tǒng)的有限元方法可以直接用力求解受軸向力的桿件系統(tǒng)。均質(zhì)等截面鉸支桿，剛度值可由材料力學中力與變形的關(guān)系中獲得均質(zhì)等截面鉸支桿的力－位移方程可寫為3－3桿件系統(tǒng)的有限元法一、桿單元分析均質(zhì)等截面鉸支桿的722、坐標變換、整體坐標系下的單元剛度矩陣為建立整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，需要在一個共同的統(tǒng)一坐標系（即總體坐標系）中建立平衡方程。由于剛架各單元的空間位置不同，各個單元的局部坐標系一般也不相同。實際桿件系統(tǒng)都是互相成一定角度排列的桿件連接在一起的每個桿件的單元坐標系統(tǒng)所有桿件的都適用的整體坐標系統(tǒng)2、坐標變換、整體坐標系下的單元剛度矩陣實際桿件系統(tǒng)都是互相73

12對應(yīng)局部坐標，x，y對應(yīng)整體坐標系統(tǒng)對應(yīng)局部坐標系的位移和作用力，對應(yīng)整體坐標系的位移和作用力。注意：(1)圖中角是從整體坐標系x軸正向起算逆時針轉(zhuǎn)到桿件方向。（2）鉸支連接的桿中能承受軸向力和產(chǎn)生軸向位移,因此局部坐標系下，。12對應(yīng)局部坐標，x，y對應(yīng)整體坐標系統(tǒng)對應(yīng)局部坐標系的位移74方便矩陣運算，將力和位移的矩陣用四階方程表示：將上式從局部坐標系轉(zhuǎn)換到整體坐標系，表示為：類似地可寫出節(jié)點2處的表達式。方便矩陣運算，將力和位移的矩陣用四階方程表示：將上式從局部坐75令，，則節(jié)點力的變換關(guān)系為（2－13）或稱為變換矩陣。與力的坐標變換式類似，斜桿在兩節(jié)點的位移有同樣的坐標變換式（2－14）利用式（2－13）和式（2－14）可以把局部坐標系下方程（2－12）表示成整體坐標系下的方程。－－整體坐標系下單元的剛度矩陣。令，，則節(jié)點76用左乘上式兩邊（2－15）再將式（2－14）代入式（2－15），有單元剛度矩陣在整體坐標系下的表達式可以用局部坐標系下的表達式求出，

（2－16）將式（2－13）代入式（2－12）有有（2－14）用左乘上式兩邊（2－15）再將式（2－14）代入77二、整體（平面桁架）分析求解整體坐標系下結(jié)構(gòu)受力與位移方程組可得到各節(jié)點的位移。從而可求出每根桿的受力。i，j——整體坐標系中任一桿單元的兩個節(jié)點號。（2－17）（2－18）二、整體（平面桁架）分析可得到各節(jié)點的位移。從而可求出每根桿78有限元方法求解平面桁架系統(tǒng)受力問題的基本步驟：①形成局部坐標系下每個單元的剛度矩陣②由坐標變化矩陣，獲得整體坐標系下單元剛度矩陣③各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛度矩陣④引入約束條件⑤以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組⑥用每個單元的力－位移關(guān)系求得單元力。有限元方法求解平面桁架系統(tǒng)受力問題的基本步驟：79例題例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受力Fx2、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45°）yxFx21231①②③Fy2單元①＝0°＝1＝1單元②＝90°＝0＝1單元③＝135°將它們代人（2－17），得到單元①例題例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，80單元②單元③單元②單元③81這里e1表示單元①（具有節(jié)點1，2）….，將實際值代人，總剛度矩陣為整個系統(tǒng)有6個自由度，整體剛度矩陣是6×6階的。將上述單元剛陣按節(jié)點號疊加到6×6階矩陣中，就得到整體剛度矩陣。這里e1表示單元①（具有節(jié)點1，2）….，將實際值代人82將u2，v2代人原方程，則其它力可表示為只有u2，v2需要求解，因此上述方程可簡化為最后各桿所受到的力，由式（2-18）可求出將u2，v2代人原方程，則其它力可表示為只有u2，v2需要求83例題（ANSYS3-1）例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受力Fx2、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45°）yxFx21231①②③Fy2單元類型；Link8單元實常數(shù)：A＝1材料屬性：EX=3.5E10PRXY=0.1667例題（ANSYS3-1）例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，84ANSYS算例3-2臨時墩拼裝場地臨時墩ANSYS算例3-2臨時墩拼裝場地臨時墩85桿系結(jié)構(gòu)有限元法解析課件86Beam188單元

圖5平面模型頂推140m軸力分布圖Beam188單元

圖5平面模型頂推140m軸力分布圖873-4平面剛架有限元法各桿間是剛性固結(jié)的，當剛架結(jié)構(gòu)受外力作用時，桿件內(nèi)不僅有軸力，還有剪力和彎矩，稱這類桿件為梁。3-4平面剛架有限元法各桿間是剛性固結(jié)的，當剛架結(jié)構(gòu)受外力881、直接剛度法推導梁單元有限元格式L12平面剛架結(jié)構(gòu)——梁單元1、直接剛度法推導梁單元有限元格式L12平面剛架結(jié)構(gòu)——梁89材料力學或結(jié)構(gòu)力學：梁所受彎矩與變形之間的關(guān)系，列方程由靜力平衡，列方程以上兩式寫成矩陣形式即為局部坐標系下梁單元剛度矩陣材料力學或結(jié)構(gòu)力學：梁所受彎矩與變形之間的關(guān)系，列方程由靜力90擴展后的局部坐標系下的梁單元6×6剛度矩陣局部坐標到整體坐標的變換矩陣其中，單元剛度矩陣在整體坐標系下的形式為擴展后的局部坐標系下的梁單元6×6剛度矩陣局部坐標到整體坐標911、力學條件建立單元受力和位移之間的關(guān)系式2、局部坐標系下的單元剛度矩陣3、整體坐標系下的單元剛度矩陣4、單元剛度疊加，構(gòu)成總體剛度矩陣5、引入邊界條件，求線性方程6、得到系統(tǒng)各節(jié)點處的位移7、進而得到每根梁所受力和力矩1、力學條件建立單元受力和位移之間的關(guān)系式922、位移函數(shù)－虛功原理推導梁單元有限元計算格式第一步：寫出單元的位移、節(jié)點力向量局部坐標系下，節(jié)點1的位移向量和力向量對節(jié)點2也類似，從而梁1-2的節(jié)點位移和節(jié)點力向量為這些向量每個包含4項，因此單元剛度矩陣應(yīng)該是4×4階的。2、位移函數(shù)－對節(jié)點2也類似，從而梁1-2的節(jié)點位移93第二步：選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)選擇一個簡單函數(shù)，用節(jié)點上的位移來表示單元上各點的位移。這一位移函數(shù)一般情況下可選擇多項式。多項式的系數(shù)個數(shù)應(yīng)與單元自由度數(shù)目相同，使各點的位移可以用節(jié)點處的位移所唯一確定。整個單元具有四個自由度，而且只與x坐標有關(guān)，由于(3-7)(3-8)對于梁單元，設(shè)位移函數(shù)寫成第二步：選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)整個單元具有四個自由度，而且只與94寫成矩陣形式，有x=L處對梁單元，x=0處，第三步：求單元中任一點的位移與節(jié)點位移的關(guān)系將梁單元兩個節(jié)點處，對應(yīng)的位移代入到(3-7)、(3-8)式中，(3-10)求解方程式（3