2016年數(shù)學(xué)-2第二類曲線積分

第二第二類曲線一、問題的提 一、問題的提定向曲線與切向量定向曲線：帶有確 的一條曲線規(guī)定定向曲線上各點(diǎn)處的切向量的方向總與曲線一致

xx(t)設(shè)定向曲線L的參數(shù)方程為：yy(t t:az(t)L的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)ta，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)tbL的切向量為：

y(t

z(t其中：當(dāng)ab時(shí)，取正號(hào)；ab時(shí) 例1:變力沿曲線所作的 設(shè)曲LAr

LMi

F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)

MA

WF 變力所作的功“分割似和極分 AM0,M1(x1,y1),L,Mn1(xn1,yn1),Mn Mi1Mi(xi)i(yi)j yF(i,iP(i,i)iQ(i,ijyr

F(i,iML

M

F

)

i1Mi

MiM M即WiP(i,i)xiQ(i,i)yin求和WWinin

[P(i,i)

Q(i,i)yi取極限W

[P(i,i)xinin

Q(

)yi精確 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概定義：設(shè)L是一條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的定向 在L上有定義F(M用分點(diǎn)AA0A1LAnB將L按從A到B的方向任意分成n個(gè)小弧段，記每個(gè)小弧段的弧長(zhǎng)為si，并記Ai1Airi，(i1,2,Ln)，在每個(gè)小任取一點(diǎn)Mi，做數(shù)量積 F(Mi)ri，(i1,2,Ln)， 求和：FMiri，令maxsi

0，i 此和式的極限存在（不依賴于曲線的分法和點(diǎn)Mi的取法則稱此極限值為向量函數(shù)F(M)沿曲線L從A到B的第二類曲線積分（也稱對(duì)坐 F(M)0i

LF(M)其中有向曲線L稱為積分曲 說(shuō)明變力沿定向曲線所做的功：WL

rF(M

dr若L是封閉曲則沿L的指定方向的第 曲線積分記 F(M) L定理（第二類曲線積分存在的充分條件設(shè)有向曲線AB分段光滑，向量函數(shù)F(M)，的個(gè)分量函數(shù)在AB上連續(xù)或分段連續(xù)，則F(M)AB從點(diǎn)A到點(diǎn)B的第二類曲線積分 基本性以下設(shè)有向曲

)分段光滑，向量函數(shù)FM G(M)的各個(gè)分量函數(shù)在AB上連續(xù)或分段連rrdr性質(zhì)1：

k1

)F(M)drk2)G(M) 性質(zhì)

)F(M)dr)F(M) 性質(zhì)3ABACCB，則

)F(M)dr)F(M)dr)F(M) 注意：第二類曲線積分沒有第一類曲線積分的對(duì)稱性質(zhì)及有關(guān)不等式的性質(zhì)。 第二類曲線積分的坐標(biāo)表r若Fx,yz)Px,yz),Qx,yzRx,yr Ak(xk,yk,zk Mk(k,k,k riAi1Ai{xixi1,yiyi1,zizi1}記{xi,yi,zi F(Mi)in[P(i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zii max{si}i若上式左端的極限存在，則右端的極限也 記 LF(x,y,z)LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表若FxyPxy),Qxy)，L是平面曲 LF(x,y)drLP(x,y)dxQ(x, 三、兩類曲線積分之間的關(guān)區(qū) 聯(lián)設(shè)有向曲線弧L的參數(shù)方xx(t),yy(t),zz(t) t:aL在點(diǎn)(x,y,z)處切線向量的方向角為,, 則LPdxQdyRdzL(PcosQcosRcos切線向量的方向角為L(zhǎng)PdxQdyL(PcosQcos xx(t),yy(t),zz(t) t:a若ab 則L的切向量為{x(t),y(t),z(t則drx(ty(tz(t)}dt{dx,dy,dz也是 |dr [x(t)]2[y(t)]2[z(t)]2dt {dx,dy|dr

dsds dxcos dycos dzcos從LPdxQdyRdzLPcosQcosRcos)ds其中{coscoscosL在點(diǎn)x,y,z處的單位切向量，方向與L的一致。abut,ua而此a對(duì)參數(shù)u討論，歸結(jié)到第一種情況。 2把第二型曲線積分Lydxzdyxdz化成第一型曲線積分并計(jì)算，其中L是從點(diǎn)(0,0,0)到點(diǎn)

2 2,1)的一直線段解：cos

1,cos

1,cos

ydx

1y

1z

2x L

L：x

2t,y 2t,zt t:0 x2(t)y2(t)z2(t) t1 2t1t 2 t 2dt02 例3.將積分LP(x,y)dxQ(x,y)d 化為對(duì)弧長(zhǎng)的其中L沿上半x2y22x0從O(0,0)到：2x2：2x2xx2y

1 d ds 1y2dx

2x Bcosdx 2xx2

cosdy1LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x, 2xx2Q(x,y)(1L機(jī) 上 下 返 結(jié)四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)定理（平面曲線的情形PxyQxy在有向曲線弧L上連y(tL的參數(shù)方程為x(ty(tb時(shí)Mxy)L的起AL運(yùn)動(dòng)到B(t(tab為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且2(t)2(t)0,則曲 LP(x,y)dxQ(x,y)dy存在，且 LP(x,y)dxQ(x,b{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](tba證明{cos,cosL在xy處的單位切向量r0,則LP(x,y)dxLP(x,y)cosabr0

(t (t [(t)]2[(t [(t)]2[(t cos

(t [(t)]2[(tLP(x,y)dxLP(x,y)cosbb

(t[(t)]2[(t

[(t)]2[(t bP((t),(t))(taab

cos

(t[(t)]2[(t LP(x,y)dxLP(x,y)cosabaP((t),(t))[(t)]dtP((t),(t))(t 綜上所述，不論ab還是ab，都有bP(x,y)dxP((t),(t))(t 其中，等式右端的定積分的下限起點(diǎn)，上限b對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)。

a對(duì)應(yīng)于L同理可證

Q(x,y)dy

b b 于LP(x,y)dxQ(x,b{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](tba其中，等式右端的定積分的下限起點(diǎn)，上限b對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)。

a對(duì)應(yīng)于L 特殊情L(zhǎng):yy(

x起點(diǎn)為a，終點(diǎn)為b則PdxQdyb

{P[x,y(x)]Q[x,y(x)]y(xx.LL:xx(

y起點(diǎn)為c，終點(diǎn)為dd則PdxQdy{Pxyy]xyQxy 若曲線L的方程為：F(x,y,z) 則需化0G(x,y,z) 0參數(shù)方程，再進(jìn)一步用 () :先化成參數(shù)方x()cosy(

:然后用公式計(jì)定理（空間曲線的情形設(shè)PxyzQx,yz),Rx,yz)在空間有LL的參數(shù)方程為x(ty(tz(ttab(t(t(t在以ab為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則曲

LPdxQdyRdz存在，且bPdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](tb Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t 例4計(jì)算

xydx,其中L為拋物線y2

x上從y2y2，y 解(1)化為對(duì)，y LxydxAOxydxOB01 x)dx01

121

x

4 1化為對(duì)y的定積分xy2 y:11xydx xydx

y2y(y2 11

y4dy45

例5

y2dxL為L(zhǎng)的上半圓周A(a,0)x軸到B(a,0的直解

L:xacosya

:0

a2sin2(asin

(1cos2)d(cos0

4a33 L:y0 x:a原式 0dx此例說(shuō)明

例6計(jì)算

2xydxx2dy,其中L拋物yx2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧有向折線OAB，這里O,A,B依次是點(diǎn)解 化為對(duì)x的積分L:yx2 x:0

y

1(2xx0

x2211

x3dx

化為對(duì)y的積分L:xy2 y:01

x

1(20

y2yy411

2xydx2xydx在OA上 y0 x:01

B(1,1

2xydx

10(2x01

x20)dx 在AB上

x1

y:0112xydxx2dy(2y01

B(1,1 01此例說(shuō)明

7：計(jì)算Lydxzdyxdz，其中L是從A(2,0,0)到B(3,4,5)再到C(3,4,0)的一條定向折線。zx2t,y4t,z5t,t:0BC的參數(shù)方程x3,y4,z5t,t:1

4y1

3x0

(4t5t4(2t)5)dt

4915

例8求I(zy)dxxz)dyxy)dz,

y2xyz2,z軸正向看為順時(shí)針方的參數(shù)方0xcost,ysin z2costsin (t:200 I

[(2cost)(sint (22costsint)cos(costsint)(costsint)]d 0

t2sint2cost)d y 例9ILxyydxxdyL是雙紐線的右x2y22a2x2y2 x0,逆時(shí)針方向L的極坐標(biāo)方程是：2a2cos2 L的參數(shù)方程是：x cos2cos,:4I44

y cos2 xasin3, yacos3,cos2 cos2a4cos2sincos(sinsin3coscos3奇函 例10：設(shè)在力Fyxz作用下點(diǎn)AR0,沿移動(dòng)到B(R,0,2k),其中 xRcost,yRsint,zkt r試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功 r

WFdrydxxdy

zd (R2k2t)d0

2(k2R2r(2)的參數(shù)方程為xR,y0,z t:02rW

F

ABydxxdyzdz

2 td22k 例11.設(shè)M P2Q2,P(x,y),Q(x,y)在上連續(xù),L的長(zhǎng)度sLPdxQdyM證 LPdxQd LPcosQcos

PcosQcos 設(shè)AP,Q),t(cos,cos At cosdsM 內(nèi)容小n定義LPx,y)dxQx,y)dnlimP(k,k)xkQ(k,k)yk0kL可分k條有向光滑曲線弧Lii1LkkLP(x,y)dxQ(x,y)dyi

P(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)d對(duì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 對(duì)有向光滑弧L

x(ty(t

t:aLP(x,y)dxQ(x,y)d bP[(t),(t)](t)Q[(t),(ta

(t對(duì)有向光滑弧L:yx),xaLP(x,y)dxQ(x,y)d bP[x,(x)]Q[x,(a

( 若曲L的方程為極坐標(biāo)方程：(y(先化成參數(shù)方程：x()cosy(然后用公式計(jì)算G(x,y,z)若曲線L的方程為：FG(x,y,z)參數(shù)

x(ty(tz(t

t:aP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)d bP[(t),(t),(t)](taQ[(t),(t),(t)](tR[(t),(t),(t)](t)dLPdxQdyLPcosQcosPdxQdyRdPcosQcosRcos 對(duì)于第二類曲線積分，當(dāng)積分L是垂直于某坐標(biāo)軸的直線AB時(shí)，對(duì)該坐標(biāo)的積分為零，當(dāng)ABx軸時(shí)，ABPxy)dx0當(dāng)ABy軸時(shí)，ABQxy)dy0空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性

一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F作用下由點(diǎn)A(22,1)B(4,42),FW.F向坐標(biāo)原點(diǎn),xoy面的距離成反比解Fk(r0

xiyj W

Fd

kL

x2y2z2xd