隨機變量的數(shù)字特征講解課件

§4.1數(shù)學(xué)期望§4.2方差§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4.4矩、協(xié)方差矩陣§4.5條件期望§4.6小結(jié)第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1

數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì))甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?§4.1數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì))兩種分法

1.按已賭局?jǐn)?shù)分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分：

因為再賭兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4兩種分法1.按已賭局?jǐn)?shù)分：4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念

若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個可能取值為0或100的隨機變量，其分布律為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去4.1.2數(shù)學(xué)期望的定義定義4.1.1設(shè)離散隨機變量X的分布律為P(X=xn)=pn,n=1,2,...若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，記為4.1.2數(shù)學(xué)期望的定義定義4.1.1設(shè)離散隨機連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.2設(shè)連續(xù)隨機變量X的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望，又稱為均值，記為連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.2設(shè)連續(xù)隨機變例4.1.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3例4.1.1則E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.權(quán)便是其分布律或概率密度；數(shù)學(xué)期望又稱為均值.注意點注意點4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理4.1.1設(shè)Y=g(X)是隨機變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理4.1.1設(shè)Y=多變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望推論設(shè)Z=g(X,Y)是隨機變量X與Y的函數(shù)，若E(g(X,Y))存在，則多變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望推論設(shè)Z=g(X,Y)是隨機例4.1.2

設(shè)隨機變量X的概率分布律為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4例4.1.2設(shè)隨機變量X的概率分布律為求E(X數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))(5)E(XY)=E(X)E(Y)，如果X與Y是獨立的；(4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(a例4.1.3設(shè)X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.例4.1.3設(shè)X~求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)§4.2

方差數(shù)學(xué)期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.§4.2方差4.2.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義4.2.1

若E(XE(X))2存在，則稱

E(XE(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(XE(X))24.2.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義4.2.1(2)稱注意點X

=

(X)=(1)方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.方差越大,則隨機變量的取值越分散.為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機變量的量綱相同.(2)稱注意點X=(X)=(1)方差反映4.2.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.性質(zhì)4.2.1(3)Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)4.2.3(2)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性質(zhì)4.2.2(4)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

性質(zhì)4.2.44.2.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X的標(biāo)準(zhǔn)化.隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)Var(X)>0,令則有例4.2.1

設(shè)X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6例4.2.1,求E(X),Var(X).解:練習(xí)1

設(shè)則方差

Var(X)=()。問題：Var(X)=1/6,為什么？練習(xí)1設(shè)則方差Var(X練習(xí)2

X與Y獨立，Var(X)=6，Var(Y)=3，則

Var(2XY)=().

27練習(xí)227練習(xí)3X~P(2)，Y~N(2,4)，X與Y獨立，則E(XY)=();

E(XY)2=().422練習(xí)3X~P(2)，Y~N(2,4.2.3切比雪夫不等式

設(shè)隨機變量X的方差存在(這時均值也存在),則對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立4.2.3切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X的方差存在

例4.2.2設(shè)X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)E2(X)

=n+1,(這里,=n+1)由此得例4.2.2證明證明:E(X)==n+1E(X2)=定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1E(X-E(X))2=0X=E(X)＝a,對所有的X定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二項分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2常用離散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp():E(X)=1/

正態(tài)分布N(,2):E(X)=

伽瑪分布Ga(,):E(X)=/

貝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望均勻分布U(a,b):常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp()的方差=1/2

正態(tài)分布N(,2)的方差=2常用連續(xù)分布的方差均勻分布U(a,b)的方差=(例4.2.3已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,則參數(shù)n,p的值為多少？例4.2.4設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則E(X2)的值為多少？解：從2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因為E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.

E(X2)=Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4例4.2.3已知隨機變量X服從二項分布，且例4.2本節(jié)主要給出二維隨機變量X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4.3.1

協(xié)方差定義4.3.1稱

Cov(X,Y)=E([XE(X)][YE(Y)])為X與Y的協(xié)方差.4.3.1協(xié)方差定義4.3.1稱為X與協(xié)方差的性質(zhì)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).

(性質(zhì)4.3.8)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).

(性質(zhì)4.3.5)(2)若X與Y獨立，則

Cov(X,Y)=0.(性質(zhì)4.3.6)(6)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性質(zhì)4.3.10)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)

(性質(zhì)4.3.7)(5)Cov(X,a)=0.

(性質(zhì)4.3.9)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性質(zhì)4.3.11)協(xié)方差的性質(zhì)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,解：記“Xi

=1”=“第i個人拿對自己的禮物”“Xi

=0”=“第i個人未拿對自己的禮物”配對模型的數(shù)學(xué)期望和方差n個人、n件禮物，任意取.

X為拿對自已禮物的人數(shù)，求E(X),Var(X)則因為E(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因為解：記“Xi=1”=“第i個人拿對自己的禮物”所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得又因為所以先計算E(XiXj),XiXj的分布律為所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0所以所以4.3.2

相關(guān)系數(shù)定義4.3.2

稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).4.3.2相關(guān)系數(shù)定義4.3.2稱為X若記注意點則若記注意點則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)1Corr(X,Y)1.

(3)X與Y幾乎處處有線性關(guān)系。(性質(zhì)4.3.12)(性質(zhì)4.3.13)P(Y=aX+b)=1相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)1Corr(X,Y的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注意點

接近于1，X與Y間正相關(guān).

接近于1，X與Y間負(fù)相關(guān).接近于0，X與Y間不相關(guān).沒有線性關(guān)系的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注意點相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y例4.3.1設(shè)

(X,Y)的聯(lián)合分布律為X101Y

1011/81/81/81/801/81/81/81/8

求X,Y的相關(guān)系數(shù).解:=0同理=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面=1/81/81/8+1/8=0所以Cov(X,Y)即E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=0例4.3.1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分XY例4.3.2(X,Y)~f(x,y)=求X,Y的相關(guān)系數(shù)解:=7/6=5/3所以,Var(X)=Var(Y)=11/36=4/3例4.3.2(X,Y)~f(x,y)=

二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y獨立

=0.(2)參數(shù)為X和Y的相關(guān)系數(shù);(4)不相關(guān)與獨立等價.二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(1,12§4.4

矩、協(xié)方差矩陣定義4.4.1

設(shè)X和Y是隨機變量，若E(Xk)存在，稱為X的k階原點矩，簡稱k階矩若E([X-E(X)]k)存在，稱為X的k階中心矩；若E(XkYl)存在，稱為X和Y的k+l階混合矩；若E([X-E(X)]k[Y-E(Y)]l)存在，稱為X和Y的k+l階混合中心矩；§4.4矩、協(xié)方差矩陣定義4.4.1設(shè)X和Y是隨機協(xié)方差矩陣定義4.4.2

記稱，則為的協(xié)方差矩陣，記為或協(xié)方差矩陣定義4.4.2記稱，則為的協(xié)方差矩陣，記為或定理4.4.1協(xié)方差矩陣滿足對稱性.協(xié)方差矩陣的性質(zhì)定理4.4.1協(xié)方差矩陣滿足對稱性.協(xié)方差矩陣的性質(zhì)兩個變量的協(xié)方差陣兩個變量的協(xié)方差陣稱注意點為的相關(guān)矩陣.稱注意點為的相關(guān)矩陣.練習(xí)6

設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,1),Var(XY)=0,求(X,Y)的協(xié)方差矩陣.練習(xí)6設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,練習(xí)7

設(shè)X,Y的協(xié)差陣為求相關(guān)矩陣R.練習(xí)7設(shè)X,Y的協(xié)差陣為求相關(guān)矩陣R.對二維隨機變量(X,Y),在給定Y取某個值的條件下,X的分布;在給定X取某個值的條件下,Y的分布.§4.5

條件期望對二維隨機變量(X,Y),§4.5條件期望(1)

條件分布律：4.5.1

條件分布(2)

條件密度函數(shù)：(1)條件分布律：4.5.1條件分布(2)條件4.5.2條件數(shù)學(xué)期望定義4.5.14.5.2條件數(shù)學(xué)期望定義4.5.1E(X|Y=y)是y的函數(shù).注意點所以記g(y)=E(X|Y=y).進(jìn)一步記g(Y)=E(X|Y).E(X|Y=y)是y的函數(shù).注意點所以記重期望公式定理4.5.1重期望公式定理4.5.1§4.6小結(jié)基本概念：數(shù)學(xué)期望、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)、契比雪夫不等式、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差、矩、協(xié)方差矩陣；分布函數(shù)的計算：數(shù)學(xué)期望公式：P5，P6方差公式：P15協(xié)方差公式：P31

§4.6小結(jié)基本概念：2,6,13,17,20,22,30,34作業(yè)2,6,13,17,20,22,30,34作§4.1數(shù)學(xué)期望§4.2方差§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4.4矩、協(xié)方差矩陣§4.5條件期望§4.6小結(jié)第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1

數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì))甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?§4.1數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì))兩種分法

1.按已賭局?jǐn)?shù)分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分：

因為再賭兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4兩種分法1.按已賭局?jǐn)?shù)分：4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念

若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個可能取值為0或100的隨機變量，其分布律為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去4.1.2數(shù)學(xué)期望的定義定義4.1.1設(shè)離散隨機變量X的分布律為P(X=xn)=pn,n=1,2,...若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，記為4.1.2數(shù)學(xué)期望的定義定義4.1.1設(shè)離散隨機連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.2設(shè)連續(xù)隨機變量X的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望，又稱為均值，記為連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.2設(shè)連續(xù)隨機變例4.1.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3例4.1.1則E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.權(quán)便是其分布律或概率密度；數(shù)學(xué)期望又稱為均值.注意點注意點4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理4.1.1設(shè)Y=g(X)是隨機變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理4.1.1設(shè)Y=多變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望推論設(shè)Z=g(X,Y)是隨機變量X與Y的函數(shù)，若E(g(X,Y))存在，則多變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望推論設(shè)Z=g(X,Y)是隨機例4.1.2

設(shè)隨機變量X的概率分布律為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4例4.1.2設(shè)隨機變量X的概率分布律為求E(X數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))(5)E(XY)=E(X)E(Y)，如果X與Y是獨立的；(4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(a例4.1.3設(shè)X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.例4.1.3設(shè)X~求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)§4.2

方差數(shù)學(xué)期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.§4.2方差4.2.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義4.2.1

若E(XE(X))2存在，則稱

E(XE(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(XE(X))24.2.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義4.2.1(2)稱注意點X

=

(X)=(1)方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.方差越大,則隨機變量的取值越分散.為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機變量的量綱相同.(2)稱注意點X=(X)=(1)方差反映4.2.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.性質(zhì)4.2.1(3)Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)4.2.3(2)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性質(zhì)4.2.2(4)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

性質(zhì)4.2.44.2.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X的標(biāo)準(zhǔn)化.隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)Var(X)>0,令則有例4.2.1

設(shè)X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6例4.2.1,求E(X),Var(X).解:練習(xí)1

設(shè)則方差

Var(X)=()。問題：Var(X)=1/6,為什么？練習(xí)1設(shè)則方差Var(X練習(xí)2

X與Y獨立，Var(X)=6，Var(Y)=3，則

Var(2XY)=().

27練習(xí)227練習(xí)3X~P(2)，Y~N(2,4)，X與Y獨立，則E(XY)=();

E(XY)2=().422練習(xí)3X~P(2)，Y~N(2,4.2.3切比雪夫不等式

設(shè)隨機變量X的方差存在(這時均值也存在),則對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立4.2.3切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X的方差存在

例4.2.2設(shè)X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)E2(X)

=n+1,(這里,=n+1)由此得例4.2.2證明證明:E(X)==n+1E(X2)=定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1E(X-E(X))2=0X=E(X)＝a,對所有的X定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二項分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2常用離散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp():E(X)=1/

正態(tài)分布N(,2):E(X)=

伽瑪分布Ga(,):E(X)=/

貝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望均勻分布U(a,b):常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp()的方差=1/2

正態(tài)分布N(,2)的方差=2常用連續(xù)分布的方差均勻分布U(a,b)的方差=(例4.2.3已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,則參數(shù)n,p的值為多少？例4.2.4設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則E(X2)的值為多少？解：從2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因為E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.

E(X2)=Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4例4.2.3已知隨機變量X服從二項分布，且例4.2本節(jié)主要給出二維隨機變量X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4.3.1

協(xié)方差定義4.3.1稱

Cov(X,Y)=E([XE(X)][YE(Y)])為X與Y的協(xié)方差.4.3.1協(xié)方差定義4.3.1稱為X與協(xié)方差的性質(zhì)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).

(性質(zhì)4.3.8)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).

(性質(zhì)4.3.5)(2)若X與Y獨立，則

Cov(X,Y)=0.(性質(zhì)4.3.6)(6)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性質(zhì)4.3.10)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)

(性質(zhì)4.3.7)(5)Cov(X,a)=0.

(性質(zhì)4.3.9)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性質(zhì)4.3.11)協(xié)方差的性質(zhì)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,解：記“Xi

=1”=“第i個人拿對自己的禮物”“Xi

=0”=“第i個人未拿對自己的禮物”配對模型的數(shù)學(xué)期望和方差n個人、n件禮物，任意取.

X為拿對自已禮物的人數(shù)，求E(X),Var(X)則因為E(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因為解：記“Xi=1”=“第i個人拿對自己的禮物”所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得又因為所以先計算E(XiXj),XiXj的分布律為所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0所以所以4.3.2

相關(guān)系數(shù)定義4.3.2

稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).4.3.2相關(guān)系數(shù)定義4.3.2稱為X若記注意點則若記注意點則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)1Corr(X,Y)1.

(3)X與Y幾乎處處有線性關(guān)系。(性質(zhì)4.3.12)(性質(zhì)4.3.13)P(Y=aX+b)=1相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)1Corr(X,Y的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注意點

接近于1，X與Y間正相關(guān).

接近于1，X與Y間負(fù)相關(guān).接近于0，X與Y間不相關(guān).沒有線性關(guān)系的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注意點相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y例4.3.1設(shè)

(X,Y)的聯(lián)合分布律為X101Y

1011/81/81/81/801/81/81/81/8

求X,Y的相關(guān)系數(shù).解:=0同理=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面=1/81/81/8+1/8=0所以Cov(X,Y)即E(Y2)=E(X2)=3/4=E