安徽省定遠爐橋中學2022年高一數學第一學期期末檢測試題含解析

13/142022-2023學年高一上數學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知點是角終邊上一點，則（）A. B.C. D.2．設函數,則使成立的的取值范圍是A. B.C. D.3．若冪函數的圖象過點，則它的單調遞增區(qū)間是()A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)4．已知函數，則（）A.0 B.1C.2 D.105．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員一天晚上8點喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時10%的速度減少，則他次日上午最早幾點（結果取整數）開車才不構成酒后駕車？（參考數據：）（）A.6 B.7C.8 D.96．化簡（）A. B.C. D.7．在數學史上，一般認為對數的發(fā)明者是蘇格蘭數學家——納皮爾（Napier，1550-1617年）．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科．可是由于當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間．納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終于獨立發(fā)明了對數．在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個例子：

12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912這兩行數字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪．如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的和來實現.比如，計算64×256的值，就可以先查第一行的對應數字:64對應6，256對應8，然后再把第一行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照這樣的方法計算：16384×32768=A.134217728 B.268435356C.536870912 D.5137658028．下列函數中，與函數有相同圖象的一個是A. B.C. D.9．下列函數中，在上是增函數的是A. B.C. D.10．已知點位于第二象限，那么角所在的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．已知定義域為的單調遞增函數滿足：，有，則方程的解的個數為（）A.3 B.2C.1 D.012．已知命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數（且）的定義域為__________14．給出下列五個論斷：①；②；③；④；⑤.以其中的兩個論斷作為條件，一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：___________.15．已知函數，則的值為_________.16．某種候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模的遷徙，研究候鳥的專家發(fā)現，該種鳥類的飛行速度（單位：m/s）與其耗氧量之間的關系為（其中、是實數）．據統(tǒng)計，該種鳥類在耗氧量為80個單位時，其飛行速度為18m/s，則________；若這種候鳥飛行的速度不能低于60m/s，其耗氧量至少要________個單位.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知是定義在上的奇函數.（1）求實數和的值；（2）根據單調性的定義證明：在定義域上為增函數.18．已知函數.（1）直接寫出的單調區(qū)間，并選擇一個單調區(qū)間根據定義進行證明；（2）解不等式.19．已知函數，，（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值20．已知且.（1）求的解析式；（2）解關于x不等式：.21．如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積22．已知向量，，函數，且的圖像過點.（1）求的值；（2）將的圖像向左平移個單位后得到函數的圖像，若圖像上各點最高點到點的距離的最小值為1，求的單調遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】利用任意角的三角函數的定義可求得的值，進而可得答案.【詳解】因為點是角終邊上一點，所以，所以.故選：D.2、A【解析】，定義域為，∵，∴函數為偶函數，當時，函數單調遞增，根據偶函數性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據函數的表達式可知函數為偶函數，根據初等函數的性質判斷函數在大于零的單調性為遞增，根據偶函數關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可3、D【解析】設冪函數為y=xa，把點(2,)代入，求出a的值，從而得到冪函數的方程，再判斷冪函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】設y＝xa，則＝2a，解得a＝－2，∴y＝x－2其單調遞增區(qū)間為(－∞，0)故選D.【點睛】本題考查了通過待定系數法求冪函數的解析式,以及冪函數的主要性質.4、B【解析】根據分段函數的解析式直接計算即可.【詳解】.故選：B.5、B【解析】設經過個小時才能駕駛，則，再根據指數函數的性質及對數的運算計算可得.【詳解】解：設經過個小時才能駕駛，則，即，由于在定義域上單調遞減，，∴他至少經過11小時才能駕駛.則他次日上午最早7點開車才不構成酒后駕車故選：B6、D【解析】利用輔助角公式化簡即可.【詳解】.故選：D7、C【解析】先找到16384與32768在第一行中的對應數字，進行相加運算，再找和對應第二行中的數字即可.【詳解】由已知可知，要計算16384×32768，先查第一行的對應數字:16384對應14，32768對應15，然后再把第一行中的對應數字加起來：14＋15＝29，對應第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故選C.【點睛】本題考查了指數運算的另外一種算法，關鍵是認真審題，理解題意，屬于簡單題.8、B【解析】逐一考查選項中的函數與所給的函數是否為同一個函數即可確定其圖象是否相同.【詳解】逐一考查所給的選項：A.，與題中所給函數的解析式不一致，圖象不相同；B.，與題中所給函數的解析式和定義域都一致，圖象相同；C.的定義域為，與題中所給函數的定義域不一致，圖象不相同；D.的定義域為，與題中所給函數的定義域不一致，圖象不相同；故選B.【點睛】本題主要考查函數相等的概念，需要同時考查函數的定義域和函數的對應關系，屬于中等題.9、B【解析】對于，，當時為減函數，故錯誤；對于，，當時為減函數，故錯誤；對于，在和上都是減函數，故錯誤；故選10、C【解析】通過點所在象限，判斷三角函數的符號，推出角所在的象限．【詳解】點位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限故選C．【點睛】本題考查三角函數的符號的判斷，是基礎題．第一象限所有三角函數值均為正，第二象限正弦為正，其它為負，第三象限正切為正，其它為負，第四象限余弦為正，其它為負.11、A【解析】根據給定條件求出函數的解析式，再將問題轉化成求兩個函數圖象公共點個數作答.【詳解】因定義域為的單調遞增函數滿足：，有，則存在唯一正實數使得，且，即，于是得，而函數在上單調遞增，且當時，，因此，，方程，于是得方程的解的個數是函數與的圖象公共點個數，在同一坐標系內作出函數與的圖象如圖，觀察圖象知，函數與的圖象有3個公共點，所以方程解的個數為3.故選：A【點睛】思路點睛：圖象法判斷方程的根的個數，常常將方程變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.12、D【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關系即可求出結果.【詳解】由于命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題；所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據對數的性質有，即可求函數的定義域.【詳解】由題設，，可得，即函數的定義域為.故答案為：14、②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤【解析】利用不等式的性質和做差比較即可得到答案.【詳解】由②③?⑤，因為，，則.由③④?⑤，由于，，則，所以.由②④?⑤，由于，且，則，所以.故答案為：②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤15、【解析】，填.16、①.6②.10240【解析】由初始值解出的值，然后令，可得出的取值范圍，由此得出候鳥在飛行時速度不低于時的最低耗氧量.【詳解】由題意，知，解得，所以，要使飛行速度不能低于，則有，即，即，解得，即，所以耗氧量至少要個單位.故答案為：6；10240【點睛】本題考查對數的應用，解題的關鍵就是要利用題中數據解出函數解析式，利用題意列出不等式進行求解.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）見詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設，作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數，所以，，，【小問2詳解】設，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數.18、（1）在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，證明見解析（2）【解析】(1)根據增減函數的定義，利用作差法比較與0的大小即可；(2)根據三角函數的性質可得、，利用函數的單調性列出三角不等式，解不等式即可.【小問1詳解】在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.①選區(qū)間進行證明.，，且，有，由，所以，由，所以，所以，，所以在區(qū)間上單調遞增.②選區(qū)間進行證明.，，且，有，由，，所以，，所以在區(qū)間上單調遞減.③選區(qū)間進行證明.參考②的證明，在區(qū)間上單調遞增.【小問2詳解】，因為，，在區(qū)間上單調遞減，所以，（），所以，所求解集為.19、（1）1；（2）（3）最大值為2，最小值為-1.【解析】(1)直接利用函數的關系式求出函數的值；(2)利用整體代換發(fā)即可求出函數的單調增區(qū)間；(3)結合(2)，利用函數的定義域求出函數的單調性，進而即可求出函數的最大、小值.【小問1詳解】由，得；【小問2詳解】令，整理，得，故函數的單調遞增區(qū)間為；【小問3詳解】由，得，結合(2)可知，函數的單調遞增區(qū)間為，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，函數取得最小值，且最小值為，當時，函數取得最大值，且最大值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件聯立方程組求出，進而求出函數的解析式；（2）根據已知條件求出，進而得出不等式，利用換元法及一元二次不等式得出的范圍，再根據指數與對數互化解指數不等式即可.【小問1詳解】由，得，解得.所以的解析式為.【小問2詳解】由（2）知，，所以，由，得，即，令，則，解得或所以，即，解得.所以不等式的解集為.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】（１）由面面垂直的判定定理很容易得結論；（２）所求三棱錐底面積容易求得，是本題轉化為求三棱錐的高，利用直線與平面所成的角為，作出線面角，進而可求得的值，則可得的長試題解析：（1）如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以又，因此平面而平面，所以平面平面（2）設的中點為，連結,因為是正三角形，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是為直線與平面