2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義-用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系=目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀.理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量..會用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題..通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念并會求出直線的方向向量與平面的法向量..能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.喜、高頻考點(diǎn)0二知識梳理知識點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示.空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點(diǎn)，a是直線/的方向向量，在直線/上取元=“，設(shè)尸是直線/上任意一點(diǎn),(1)點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使力=S,即力=凝.(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O,點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)。.使而=晶+也(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O,點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=Q4+f48. O注意點(diǎn)：(1)空間中，一個(gè)向量成為直線I的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線與/平行或重合.(2)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量.與直線/平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線，的方向向量有無數(shù)個(gè).(3)空間任意直線都可以由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定..空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別為a和從P為平面a內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得滂＞=xa+yb.②如圖，取定空間任意一點(diǎn)0,空間一點(diǎn)尸位于平面48c內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使蘇=(^+x6我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式.v ③由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.如圖，直線LLa,取直線/的方向向量a,我們稱向量a為平面a的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)4,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a?辦=()}.I注意點(diǎn)：(1)平面a的一個(gè)法向量垂直于平面a內(nèi)的所有向量.(2)一個(gè)平面的法向量有無限多個(gè)，它們相互平行.易錯(cuò)辨析：(1)空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向向量能唯一確定一條直線嗎？能(2)一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向向量能否確定一個(gè)平面？不一定，若兩個(gè)定方向向量共線時(shí)不能確定，若兩個(gè)定方向向量不共線能確定.(3)由空間點(diǎn)A和直線/的方向向量能表示直線上的任意一點(diǎn)？能【即學(xué)即練1】【多選】若M(I,O,-1),M2,l,2)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量是()

A.(2,2,6)A.(2,2,6)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)【解析】VM,N在直線，上，二赤=(1,1⑶，故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直線/的一個(gè)方向向量.故選AB【即學(xué)即練2】已知直線/的一個(gè)方向向量m=(2,-1,3).且直線/過4(0,%3)和8(—1,2,z)兩點(diǎn)，貝!Iy-Z等于()A.0B.1C.1D.3【解析】,.1(O,y,3)和8(-1,2,z),：.AB=(-\,2-y,Z-3),—1=2A,:直線/的一個(gè)方向向量為wi=(2,-1,3),故設(shè)4》=A/n..：2-y=-A,3—3=3A..,.y-z=0.故選A【即學(xué)即練3］已知A8=(2,2,l),AC=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)單位法向量為( )A.(■A.(■1 223 33122)333B.333122【解析】設(shè)平面A8C的法向量為“=(x,y,z),則有＜2x+2y+z=0,,「cc取x【解析】設(shè)平面A8C的法向量為“=(x,y,z),則有＜2x+2y+z=0,,「cc取x=l,則y=-2,z=2.4x+5y+3z=0,所以”=(1,一2,2).因?yàn)橥?3,所以平面4BC122的一個(gè)單位法向量可以是故選：B【即學(xué)即練4】在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面a經(jīng)過三點(diǎn)A(l,0,2),8(0,1,0),。(一2,1,1),向量”=(1,4〃)是平面c的一個(gè)法向量，則，+〃=(C.5D.7【解析】Xfi=(-l,l,-2).BC=(-2,0,l).nMB=-l+2-2/z=0;nBC=-2+/z=0.可得〃=2,4=5,/i+〃=7故選：D【即學(xué)即練5】若直線/的方向向量a=(l,0,2),平面a的法向量為n=(-2,0,-4),貝！|()A.I//aB./_LaC.lUaD./與q斜交【解析】B【即學(xué)即練6】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為( )①若用,為分別是平面a,“的法向量，貝!|4〃萬20a〃人②若演，萬2分別是平面a，A的法向量，則a_L/o%?用=。；③若萬是平面a的法向量，3是直線/的方向向量，若/與平面a平行，則為?1=();④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】①中平面a,?？赡芷叫?，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知②③④正確.故選：C知識點(diǎn)2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)”1,“2分別是直線八，，2的方向向量，nt,m分別是平面a,4的法向量.線線平行h//l2^Ul//U2^B}.eR,使得Ul=}.U2注：此處不考慮線線重合的情況.但用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明.②建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示.線面平行/i〃aOuiJ_niOu「ni=0注：證明線面平行時(shí)，必須說明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外.面面平行a〃20ni〃ri2Omi￡R,使得ni=in2注:證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平面不重合.(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.線線垂直/]±1± 1?U2=0⑴兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直,都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直.(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直臺 使得Ui=xni(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.(3)法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論.面面垂直a_L/K>n1面面垂直a_L/K>n1_LmOn1n=0⑴常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直【即學(xué)即練7】已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線6的方向向量，若l\〃h，貝!1(), 15A.x=6,y=15 B.x=3,y=2C.x=3,y=15【解析】由題意得，.\x=6,.故選D/Q /【即學(xué)即練8］已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面的法向量是(4,2,-2),若。〃“，則2的值是()A,?A,?B.6C.—6D.與【解析】Ta〃4；.a的法向量與夕的法向量也互相平行.；"=6.【即學(xué)即練9】設(shè)/|的方向向量為a=(l,2,-2),72的方向向量為b=(—2,3,m),若/Jb，則，"=.【解析】h上h,:?a上b,.二。山=-2+6—2桁=0,得，〃=2.【即學(xué)即練10］已知商=(1,5,-2),定=(3,1,z),LBC,~BP=(x-\,y,一3),且而_1_平面ABC,則"=.【解析】,：~AB ：JaB:BC=Q,.*.3+5-2z=0,.,.Z=4.VBP=(x-l,y,—3),且18尸?48=0, |x-l+5j+6=0,BPBC=0,%x-3+j-12=0,”=翌解得《 715 故而=停一與,—3).答案：售，一岸，-3)盛考點(diǎn)精析考點(diǎn)一求直線的方向向?

解題方略：理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量.(2)直線的方向向量不唯一.【例1-1】若4(-1,0,1),8(1,4,7)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量為()A.(1,23) B.(1,3,2)C.(2,13) D.(3,2,1)【解析】因?yàn)樗?(2,4,6),所以(1,2,3)是直線/的一個(gè)方向向量.故選A變式1：已知向量a=(2,—1,3)和b=(-4,2x\6x)都是直線/的方向向量，則x的值是()A.-1 B.1或一1C.—3 D.1【解析】由題意得a〃兒所以|"一2’ 解得x=-l.故選AI6x=-6,變式2：從點(diǎn)4(2,—1,7)沿向量a=(8,9,—12)的方向取線段長成|=34,則5點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(18,17,-17) B.(-14,-19,17)【解析】設(shè)8點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),貝(IAB=xa(x>0),即(x-2,j+1,z—7)=48,9,-12),因?yàn)榘偃f|=34,即164產(chǎn)+81產(chǎn)+144萬=34,得;1=2,所以x=18,y=17,z=-17.故選A考點(diǎn)二求平面的法向?解題方略:向土＞一(一平?面的法向一為n(—? )~］在平面內(nèi)選取兩不一線向董屬祠

［由e.還°，列出等式-

解由［:黑，得出的方程組~~［取馬力］中一個(gè)為非零值(*取士1))利用待定系數(shù)法求法向量的步驟J【例2-1］在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論:①平面ABBxAy的一個(gè)法向量為(0,1,0)；②平面BiCD的一個(gè)法向量為(1,1,1);

③平面5CD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)；④平面ABCxDy的一個(gè)法向量為(0,1,1).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4【解析】VAD=(0,1,0),AB±AD,AAi±AD,又 ...ADJ?平面AB'Ai,.?.①正確；VCD=(-1,0,0),而(1,1,1)?2方=一IWO,.?.(1,1,1)不是平面BCD的法向量，②不正確；VB?C=(O,1,-1),CdJ=(-1,0,D,(1,1,1)B?C=O,(1,1,1)CD：=O,BiCnCD!=C, 是平面BO的一個(gè)法向量，二③正確；VBCJ=(0,1,1),而啟?(0,l,l)=2W0, 不是平面A5GG的法向量，即④不正確.因此正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2,選B.【例2-2】在正方體ABCD-AiBiGDi中，棱長為1,G,E,尸分別為44,AB,8c的中點(diǎn)，求平面GE尸的一個(gè)法向量.【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,OOi所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則41, 0),心，1,0),41,0,0EBTOC\o"1-5"\h\z設(shè)平面GE尸的法向量為〃=(x,y9z). x七一一J".市=5T=。，由“_LGE,n±FE,得' ：.\[〃?F點(diǎn)=%-5=0, I*—"令y=l,可得平面GEF的一個(gè)法向量為"=(1,1,1).變式1：如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD//BC,NABC=90。，SA_L平面ABCD,SA=AB=BC=l,AD=1,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.d d (1)求平面48C。的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.【解析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD,AB,45所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝!I系，貝!IA(0,0,0),8(0,1,0),dQ,0,0),5(0,0,1).(1)YS4_L平面(1)YS4_L平面ABCD,二行=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.(2Y：ADLAB,AD±SA,ABHSA=A,AB,SAU平面ABS,.\AO_L平面SAB,...而=Q,0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量.(3)在平面SCO中，DC=(J,1,0),SC=(1,1,-1).設(shè)平面SCO的法向量是〃=(x,y,Z),則n±DC,/i±SC,n-DC=0,?V,n-SC=0,1x=-2y,z=x=-2y,z=y,..."=(2,-1,1)..,.h=(2,-1,1)是平面SCO的一個(gè)法向量(答案不唯一).得方程組產(chǎn)， .,x+j—z=0,令y=-l,得x=2,z=l,變式2：如圖，在正方體ABC。-451Goi中，尸是￡>￡>i的中點(diǎn)，0為底面A5C。的中心，求證：而是平面PAC的一個(gè)法向量.證明：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AM,DC,OOi所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長為2,則4(2,0,0).7,(0,0,1),C(0,2,0), (2,2,2),0(1,1,0),H.?.宿=(1,1,2),^4C=(-2,2,0),TP=(-2,0,1)H.?.南?肅=-2+2=0,TJBi:AP=-2+2=0,AOB；±AC,OBi±~AP.?：ACr\AP=A,二遍是平面PAC的一個(gè)法向量.變式3：已知4(1,1,0),8(1,0,1),C(0,l,l),則平面48c的一個(gè)單位法向量是( )A.(1,1,1) B.停坐,用嗚i9 <堂用【解析】設(shè)平面ABC的法向量為"=(x,y,z),又贏=(0,-1,1),?c=(-1,1,0),48?〃=—y+z=0,則、詫?〃=—x+y=0.，x=y=z,又???單位向量的模為1,故只有B正確.【例2-3】已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2)>a的一個(gè)法向量為n=(3,l,2),則下列點(diǎn)尸中，在平面a內(nèi)的是()A.(1,—1,1) B.(L3,號C.(L-3,D d/-1,3,一§【解析】若點(diǎn)P在平面a內(nèi)，則PA±a,即"?"=0.對于選項(xiàng)A,~PA=(l,0,D,則下不?”=(1,O,1H3,1,2)=5#O,故排除A;對于選項(xiàng)B,~PA=(1,-4,則后?”=(1,-4,^)-(3,1,2)=0,故B正確：同理可排除C、D.故選B考點(diǎn)三用空間向■證明平行問題解題方略：用空間向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線.(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示.②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.在證明線面平行時(shí)，需注意說明直線不在平面內(nèi).(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(-)判斷直線、平面的位置關(guān)系【例3-1】已知直線/的方向向量是“=(3,2,1),平面a的法向量是“=(一1,2,-1),則/與a的位置關(guān)系

是()A.ll.aB.I//aD./〃B.I//aD./〃a或/Ua【解析】因?yàn)槭肌?-3+4—1=0,所以a_L”.所以/〃a或/Ua.故選D變式1:在正方體A8C6A/iGOi中，棱長為a,M,N分別為48,AC的中點(diǎn)，則MN與平面BBiCtC的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解析】建系如圖，設(shè)正方體的校長為2,則A(22,2),Ai(2,2,0),C(0,0,2),8(2,0,2),/.A/(2,1,D,Ml,1,2),AWV=(1,0,1).又平面881GC的一個(gè)法向量為"=(0,1,0),VM/Vn=—1X0+0X14-1X0=0, 二"％〃平面B&GC.故選B.(二)證明平行問題【例3-2】在長方體ABCD-4B1GD1中，48=4,AD=3,AAt=2,P,Q,R,S分別是AA“DC,AB,CG的中點(diǎn).求證：PQ〃RS.證明：法一：以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則P(3,0,l),0(022),R(3,2,0),S(0,4,D,運(yùn)=(-3,2,1), =(-3,2,1),：.~PQ=~RS,：.~PQ//~RS,即PQ〃RS.法二："RS=~RC+~CS=|DC-DA+^DD\,：.~RS=~PQ,：.~RS//~PQ,FpRS//PQ.【例3-3】已知正方體A5CD-AIC1O1的棱長為2,E,尸分別是5a，OA的中點(diǎn)，求證:(1)尸。1〃平面ADEx(2)平面AOE〃平面BiCiF.【證明】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則有0(0,0,0),A(2,0,0),C1(O22),E(2,2,l),尸(0,0,1),3(2,2,2),所以對=(0,2,1),~DA=(2,0,0), =(0,2,1).

(1)設(shè)川=(xi,ji,zi)是平面的法向量，一A > >ti\*DA=2xi=0,則zii±DA,ni±AE,即"jit^AE=2yi+zi=n,xi=O,得| _令Z1=2,則凹=一1,所以"i=(0,—1,2).因?yàn)閷?川=-2+2=0,所以對又因?yàn)閒GC平面ADE,所以尸G〃平面ADE.(2)因?yàn)榘贊?jì)=(2,0,0),設(shè)“2=(X2,J2,Z2)是平面81G戶的一個(gè)法向量.—? —> "2?尸G=2?2+Z2=O, [X2=O,由"2上尸G,m±CiBi,得’ 得J_,?rCYBi=2x2=0, lz2=-2yi.令Z2=2,得_X2=-1,所以“2=(0,-1,2),因?yàn)榇?〃2,所以平面AOE〃平面BiGR變式1:在四棱錐P-ABC￡)中，四邊形ABCZ)是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面A5CO,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).證明：E4〃平面EOB.【證明】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)尸O=OC=a.連接AC,連接AC,交80于點(diǎn)G,連接EG,依題意得0(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a).《0,f,B(a,&0).方法一設(shè)平面8CE的法向量為"=(x,y,z),f(ad\EB=\a,j*~2)'n-DE=0,則有n-EB=0,

序+z)=0, [+g,fx=l,令z=l,貝力,所以〃=(1,—1,1),Ly=-i.又/M=m,O,—a),所以“?疚=(1,—l,l)-(a,O,—a)=a—a=0.所以"_L函.又RIQ平面EOB,所以Ri〃平面EO8.方法二因?yàn)樗倪呅蜛BC。是正方形，所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為10),所以詫=t，0,—?)又萩=(a,0,—a),所以說=2的，這表明E4〃EG.而EGU平面EDB,且平面EDB,所以以〃平面EDB.方法三假設(shè)存在實(shí)數(shù)九〃使得后=疝;+〃西，即(a,0,—a)=/(0,I，分+熊，i'~1),0=行+“5，aa—a"『噸解得所以屬=一讀+西，又ma平面EOB,所以〃平面EDB.變式2：如圖，在直四棱柱A8C0-4BiGOi中，底面A8CQ為等腰梯形，AB//CD,48=4,BC=CD=2,AAi=2,F是棱AB的中點(diǎn).B求證：平面B求證：平面A4O1O〃平面FCCi.【證明】因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱45的中點(diǎn),所以aBC尸為正三角形.因?yàn)锳BCD為等腰梯形,48=4,BC=CD=2,所以N8AO=NA8C=60。.取4尸的中點(diǎn)M,連接"M,則 所以。M_LCD以。為原點(diǎn)，DM,DC,Od所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝IJ0(0,0,0),Di(0,0,2),A巾,-1,0),尸(小，1,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),所以mi=(0,0,2),而=(小，-1,0),蘇=(小，-1,0),CC!=(0,0,2).所以歷i〃&j,DA//CF,又001(104=0,CCiHCF=C,DDi,DAU平面AAiDi。,CCt,Cfu平面尸CC”所以平面44QO〃平面尸CG.變式3：如圖，在長方體A8C3-ABCA中，點(diǎn)E,F,G分別在棱A1A,A再，A,D,±,A,E=A,F=A,G=1點(diǎn)尸，Q,R分別在棱點(diǎn)尸，Q,R分別在棱CG,CD,C8上，CP=CQ=CR=1.求訶G￡1 "伊 3廠p! Ap【解析】構(gòu)建以。為原點(diǎn)，[上一一期CaL 直角坐標(biāo)系，如下圖示，Zi1G fl[/F\ p 設(shè)AB=a,BC=b,BB,X:：平面EFG〃平面PQR.甌正，西為x、y、z軸正方向的空間=c(a,hyc>1),又AE=A尸=&G=1,CP=CQ=CR=l,???ES,O,c-l),FSJc),G(fe-l,O,c),P(O,〃,1),Q(O,a-1,0),AEF=(0J,l),EG=(-l,0,l),PQ=(0,-l,-l),而=(1,0,-1),一 EF?〃i=y+z=0 一設(shè)m=(x,y,z)是面EFG的一個(gè)法向量，貝叫_,一' ，令x=l,/n=(l,-l,l),EGzn=z-x=0PO，n=-i—k=0設(shè)3=(i,")是面PQR的一個(gè)法向量，貝！I仁_ ，令，=1,元=(1,-1,1),PRn=i-k=0二面EFG、面PQR的法向量共線，故平面EFG〃平面PQR,得證.考點(diǎn)四利用空間向?證明垂直問題解題方略：用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零.(2)線面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論.(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?(-)判斷直線、平面的位置關(guān)系【例4-1】在四棱錐P-A8C。中，底面ABCD是平行四邊形，~AB=(2,-1,一4),AD=(4,2,0),~AP=(-1,2,-1),則%與底面48CO的關(guān)系是()A.相交 B.垂直C.不垂直 D.成60。角【解析】因?yàn)??工方=0,APAD=0,所以4PJ■平面A8CD.故選B變式1：若平面a,。的法向量分別為a=(2,-1,0), -2,0),則a與“的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無法確定【解析】a仍=-2+2+0=0,：.a±b,;.a邛散選B(二)已知兩向量垂直求參數(shù)【例4-2】設(shè)人的一個(gè)方向向量為a=(l,3,-2),L的一個(gè)方向向量為占=(-4,3,m),若/1L2,則〃i等于

【解析】因?yàn)椋?,所以“6=0,即1X(-4)+3X3+(-2)X?i=0,所以2ffi=9-4=5,即故選B變式1：已知平面a的法向量為a=(l,2,-2),平面p的法向量為b=(-2,-4,Jt),若a4,則k等于()A.4B.—4C.5D.—5【解析】?：alp,??aA_b,：.a,b=-2—8—2A=0..'.A=—5.故選D變式2：在△ABC中，4(1,-2,-1),8(0,—3,1),C(2,-2,1).若向量"與平面A5C垂直，且|川=舊，則n的坐標(biāo)為.-x—y+2z=0,即,x+2z=0,【解析】根據(jù)題意，得意=(-1,-1,2).充=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,-x—y+2z=0,即,x+2z=0,n-AB=0,,“與平面48c垂直，knAC=0,：同=亞,.?.^x2+/+z2=V21,解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí)，x=—2,z=l;當(dāng)y=-4時(shí)，x=2,z=—1.：.n的坐標(biāo)為(一2,4,1)或(2,-4,-1).(三)證明垂直問題【例4-3】已知正四棱柱45CQ-A由iGOi中，AB=l,AAi=2,點(diǎn)E為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為85的中點(diǎn).證明：EFA.BDi，EFA.CCi.邊的中點(diǎn)，N【證明】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.邊的中點(diǎn)，N則8(0,1,0),Di(l,0,2),G(0,0,2),￡(。，0,1),心，1),C(0,0,0).：.~EF=(l，/())，CG=(0,0,2),祈=(1,-1,2),:.EF-BDi=Q,EFCCi=0^EF±BDi,EFA-CCi.變式1：如圖，已知正三棱柱45C-A181G的各棱長都為1,M是底面上BCB.MC是側(cè)棱CG上的點(diǎn)，且CN=：CG.求證：ABilMN.B.MC【證明】方法一設(shè)彘=a,AC=b,AAi—c,則由巳知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得團(tuán)=網(wǎng)? A]=|c|=l,a-c=b-c=O,ABt=a+c,AM=^(a-\-b),俞=Z>+；c,MN=AN—AM=—^o+1z>+^c,.,.劇「A75V=(a+c)(—%+*+4)=—g+；cos60°+0—0+0+|=0.：.ABt±MN,：.ABi±MN.方法二設(shè)AB的中點(diǎn)為O,作OOi〃44i.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得4（一0,0）,魚,0,0）,c（o,乎,。）,《。,乎,：），Big0,1）,為BC的中點(diǎn)，陪,9,。）.,.疝=（一；,乎,0，施1=（1,0,1）,.,.而族1=_；+0+；=0.工赤L訪I,：.ABi±MN.變式2：如圖，由直三棱柱A8C-A8c和四棱錐。-88CC構(gòu)成的幾何體中,ZBAC=9O,AB=i,BC=BB,=2,CtD=CD=s/5,平面CCQ_L平面ACRA(1)求證：AC1DQ(1)求證：AC1DQCi(2)若M為DG中點(diǎn)，求證：AM〃平面。8用；【解析】(D；在直三棱柱abc-asc中，???CCt1平面ABC,又ACu平面ABC,/.CCt±AC,???平面CG。，平面ACGA，且平面CROC平面ACGA=CC\,又；ACu平面4CGA,:.AC_L平面CG。，又DC,u平面CC,D,：.AC±DC,(2)直三棱柱ABC-A,B|G中，?.?A4,J■平面A4G，而AB「AGu平面A4GAj\!A^B^AAy±AG,又NBAC=9(T,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2,0,0）,C（2,^,0）,Cl（0,x/3,0）,B（2,0,l）,Bl（0,0,l）,D（l,>/3,2）,所以甌=（-2,0,0）,麗設(shè)平面。8片的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,\n-BB,=ODnf-2x=0則\——，即〈r-,n-BD=0 [x-yJ3y-z=0令y=i,貝1|3=僅,1,-6），???M為OG的中點(diǎn)，則所以府=（-g,W,l因?yàn)榻??=()，所以疵_L>,又AM(Z平面。BB1, am〃平面

【例4-4】如圖所示，在正方體ABCD-AiBtCiDi中，E,F分別是BBi,DtBt的中點(diǎn).求證：EF_L平面81AC.【證明】設(shè)正方體的棱長為2a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.貝I]A(2a,0,0),C(0,2a,0),Bi(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a).4z一 嘰EF=(a9a,Id)一(2a,2%a)=(—a,—a9a), A/\Abi=(2a,2a,2a)一(2a,0,0)=(0,M孫AC=(0,2a,0)—(2a,0,0)=(2a,2a,0).VEF?AB\=(~~a3—a.a)?(0,2a,2a)=(—a)X0+(一〃)X2a+aX2a=0,EF?AC=(-a,-%a),(一2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,/.EF±AB|,E尸又ABiA4c=4,尸，平面8|AC.變式h如圖，在四棱錐P—A8CD中，PDJ_底面A4CD,底面4SCD為正方形，PD=DC,E,尸分別是AB,P8的中點(diǎn).c(1)求證：EFJ.CD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使G凡1平面PCB,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)證明如圖，以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DC,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，C設(shè)40=。，則。(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0).C(0,a,0),E(a,p0),x/AEB尸(0,0,a),F(—￡F=(-|,0,|),dc=(0,a,0).\'EFDC=0,.,.EFlDC，即E尸工CD.(2)解：設(shè)G(x,0,z),則而=(x，,-*z_9,若使GEL平面PC￡則需存?麗=0且吊?次=0

—.—. zaaa、， △八、由尸6。3=。一于一5二-5)?(4,0,0)=a(x--)=0,得x=i；, zaaa、仆由產(chǎn)GCP=(x-/，一]，z-/)?(0,—a,a)=—+a(z--^)=0,得？=0?2 2；.G點(diǎn)坐標(biāo)為多,0,0),即G為AO的中點(diǎn).變式2：如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBiG中，底面是以NABC為直角的等腰三角形，AC=2a,BBx=ia,。是41G的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AAi上，要使CEJ_面B|。E,則4E=.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則Bi(0,0,3a),C(0,G，0),設(shè)E(g,Q,z)(0WzW3a),辱,設(shè)E(g,Q,z)(0WzW3a),則C￡=(業(yè)，~y[2a,z),RiE=(y/2a,0,z—3a),布=冷冬。)又銃?布=/-a2+0=o,故由題意得CEBiE=0,2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案：a或2a［例4-5］在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，4SJ■底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中點(diǎn).求證：平面5OEJ_平面ABC0.證明：設(shè)AS=A8=1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),0(0,1,0),4(0,0,0),C(l,l,o),5(0,0,1),￡(J,法一:連接AC,交80于點(diǎn)O,連接OE,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為G，1,0).易知水'=1-2

1-2

=：.OE//AS,又ASJ■底面A8cO,.?.?！阓1平面48。。.又OEU平面BOE,.?.平面80￡：，平面4〃￡'。.易知8。=(-1,1,0),nrBD=—x+y=^9ml.BD,/ii±BE易知8。=(-1,1,0),nrBD=—x+y=^9ml.BD,/ii±BE,即［一1 1 1nvBE=-qx+?+qz=O.令x=l,可得平面BDE的一個(gè)法向量為〃i=(l,1,0).,.FSJ?平面ABCD,二平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=^4S=(0,0,1).,.,/11?2=0,二平面BDEJ■平面ABCD.題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體Q48C中，A(0,3,5),8(1,2,0),C(0,5,0),直線AO〃8C,并且AO交坐標(biāo)平面xOz于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.【解析】?:DE平面xOz,二設(shè)。(x,0,z),則罰=(x,-3,z—5),易知茲=(-1,3,0).■:直線AD〃BC,：.~AD//~BC,二存在2WR,使(x,-3,Z-5)=x(-1,3,0),x=-A, ?x=-1,?；-3=34， 即<x=l,、Z—5=0, U=5.，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,0,5).答案：(1,0,5)2、已知點(diǎn)A(0,l,0),8(—1,0,-1),C(2,l,l),P(x,0,z),若E4_L平面48C,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為( )A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,一1)【解析】由題意知壽=(-1,-1,-1),/=(2,0,1),AP=(x,-1,z),又/UJ?平面ABC,所以有壽?力=(一1,-1,-l)-(x,-1,z)=0,得一x+l-z=0.①ACA>=(2,0,D(x,-1,z)=0,得2x+z=0,②聯(lián)立①?得X=-1,z=2,故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(一1,0,2).故選C3、平面a的一個(gè)法向量是平面夕的一個(gè)法向量是沅=(-3,6,-2),則平面a與平面夕的關(guān)系

是( )A.平行是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直【解析】???平面a的一個(gè)法向量是萬=g,T,；),平面夕的一個(gè)法向量是沅=(-3,6,-2),/.in=-6n,平面a與平面口的關(guān)系是平行或重合.故選：C.4,已知平面a內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),8(0,1,0),C(1,0,0),平面”的一個(gè)法向量為〃=(一1,一1,一1),且“與a不重合，則/?與a的位置關(guān)系是.【解析】AB=(0,l,-1),AC=(l,0,-1),trAB=(—l,—1,-1)-(0,1,—1)=-IX0+(-1)X1+(—1)X(-1)=0,n-AC=(—\,—1,—1)-(1,0,—1)=—IX1+0+(—1)X(—1)=0,：.n±AB,n±AC.也為a的一個(gè)法向量，又a與“不重合，5、已知直線/與平面a垂直，直線/的一個(gè)方向向量為u=(L—3,z),向量0=(3,—2,1)與平面a平行，則Z等于()A.3 B.6C.-9 D.9【解析】?.,/■La,。與平面a平行，.\u_L。，即u叨=0, 1X3+(-3)X(-2)+zX1=0,.\2=—9.故選C6、若平面a,0的法向量分別為”=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),且々_1/?,則x的值為()A.10 B.—1()C.1 D.一;【解析】因?yàn)閍_L"所以它們的法向量也互相垂直，所以aS=(-l,2,4)-(x?-1.-2)=0,解得x=-10.故選B7,已知平面a的法向量為"=(2,—2,4),AB=(-1,1,-2),則直線48與平面a的位置關(guān)系為()A. B.ABC.aC.48與a相交但不垂直 D.AB//a【解析】因?yàn)樗?(一1,1,-2),"=(2,-2,4),所以“=一2蒜，所以〃〃矗，所以AB_La.故選A題組B能力提升練

8、已知點(diǎn)尸是平行四邊形ABCO所在的平面外一點(diǎn)，如果福=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),~AP=(-1,2,-1).對于結(jié)論：①4尸，48；②4PLA。；③方是平面ABCZ)的法向量；④說.其中正確的是(填序號).【解析】由于力?方=-1*2+(—l)X2+(-4)X(—1)=0,-4P-AD=4X(-l)+2X2+0X(-l)=0,所以①②③正確，~BD=~AD~~AB=(2,3,4), 故④錯(cuò)誤.答案：①@③9、若a=(x,2y—I,一/)是平面a的一個(gè)法向量，且b=(—1,2,1),c=(3, —2)均與平面a平行，則向量a=.o r9a*b=09 —x+4y—彳=0, 52，【解析】由題意，知c即， 4解得，『GcfL+y=0, ［尸卷所以"=(一專,26'"I)'10、如圖，在四棱錐P-A5C7)中，平面上48_L平面45CD,△以8是邊長為1的正三角形，4BC。是菱形，ZABC=60°,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是45的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的一個(gè)法向量.【解析】如圖，連接尸尸，CF.因?yàn)槭瑸?8的中點(diǎn)，所以PFLAB,又因?yàn)槠矫嫒?_1_平面ABCD,平面AASn平面A8a尸產(chǎn)U平面A48,所以尸EL平面A8CD.因?yàn)锳B=BC,ZABC=60°,所以△A5C是等邊三角形，(如圖所示).所以CFLAB.(如圖所示).以廣為坐標(biāo)原點(diǎn)，BF,CF,尸尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

由題意得尸(0,0,0),《0,0,明，。(一1,乎，0),《。,坐,。),《。,坐,明.所以選=((),(，?，而=(-1,孚，0)設(shè)平面DE尸的一個(gè)法向量為m=(x,y,Z),即＜m即＜m麗=0,z=y,所以亞x=2y，令y=2,則*=巾，z=-2.所以平面DE尸的一個(gè)法向量為機(jī)=(5，2,一2)(答案不唯一).11、在如圖所示的多面體中，Ef_L平面AE8,AE±EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn)，求證：48〃平面DEG.gc【證明】?.?￡尸_1_平面4￡8,AEU平面AE8,BEU平面4E8,：.EF±AE,EF±BE.：.EB,EF,EA兩兩垂直.以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EF,EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得，4(0,0,2),"(2,0,0),0(0,2,2),G(2,2,0),.*.￡￡)=(0,2,2),EG=(2,2,0),/1B=(2,O,-2).設(shè)平面。EG的法向量為"=(x,y,z),EDn=0,EDn=0,則，tEGn=0,即嚴(yán)2z=。，（2x+2j=0,令y=l,得z=—1,x=—1,貝!]〃=（一1,1,—1）,AAB/i=-24-0+2=0,即叁Li.

T平面DEG,二48〃平面DEG.12、如圖，在三棱柱ABC—4181G中，側(cè)棱垂直于底面，AB±BC,E,F分別為4G和BC的中點(diǎn).求證：G尸〃平面4BE.C 【證明】如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8C,BA,所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=a,AB=b,BBt=c,則8(0,0,0)則8(0,0,0),4(0,*,0),CM,c),心0,0),fig,*c).所以壽=(0,—M)?f(ab\4E=g，-亍c>設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為〃=(x,ytz),〃?施=0,叫_,n-AE=0,-by=0,即儲b即儲b.5》-?+以=0,令x=2,則y=0,z=—?即〃=(2,0,又正方=(一：,0,-c),所以"0?=0,又GRl平面48E,所以G尸〃平面A8E.題組c培優(yōu)拔尖練13、如圖，在四棱錐尸-A5C3中，底面A8C。是正方形，側(cè)棱P0J?底面A5C。，PD=DC,E為PC的中點(diǎn)，EF_L5P于點(diǎn)足求證:⑴姑〃平面EDB：(2)PB_L平面EFD.

證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖，設(shè)DC=PD=l,則P(0,0,l),4(1,0,0),0(0,0,0),8(1,1,0),=(1,1,-1),D￡=(0,I，￡), I，設(shè)F(x,y,z),則7?=(x,y9z-D,Vef±pb9.?.x+Q一號-0-；)=0,即x+y-z=0.①又???喬〃福，可設(shè)/=2"鬲，Ax=2,j=x,z-1=一幺?②由①②可知,x=；,y=；,z=去??』=G'T‘I)(1)設(shè)“1=(X1,yi,Z1)為平面EO5的一個(gè)法向量，則有?iDE=0, 2y,+2z,=0,, 即<——> 11JirEB=0, [xi+方L]Zi=0,X|=Z|,Ji="Zb取力=一1,則〃尸(一1,1,一1).丁鉗=(1,0,—1),工下彳〃1=0.又丁24a平面￡。優(yōu)工PA〃平面EDB.(2)設(shè)〃2=(X2,J2,Z2)為平面EPD的一個(gè)法向量，則有住2—％2+/2=。,if。..X2=~Z2,"ly2=-Z2-取Z2=l,則"2=(-1,—1,1).：J~PB//n2,；.PBL平面EFD.14、如圖，已知平面8CG8i是圓柱的軸截面(經(jīng)過圓柱的軸的截面)，8c是圓柱底面的直徑，。為底面圓

心，E為CG的中點(diǎn)，A是底面圓周上異于B,C的一點(diǎn)，4是上底面圓周上異于H，G的一點(diǎn)，且AA_L平面ABC,AB=AC=AAi=49求證：3]O_L平面AEO.【證明】由題意可知48,AC,/L4i兩兩互