2021研究生考試數(shù)學(xué)一真題及答案解析

聯(lián)立可得工'(1,1)聯(lián)立可得工'(1,1)=0,《(1,1)=cinY(3)設(shè)函數(shù)/(》)=±骼在'1+X7(A)。=T,b=0,c= .6(C)a=-1,6=-l,c=——.6【答案】A.【解析】根據(jù)麥克勞林公式有、sinx/(X)=,2=1+X1,#(1,1)=f；(\.\)dx+^(1,\)dy=dyf故正確答案為C.=0處的3次泰勒多項(xiàng)式為ox+bx?+◎?,則7(B)a=l,b=0,c=—.6(D)。=-1,6=-l,c=2.6V-3 ,-1 、 ， 7, ,x +o(x3)?[1一廠+o(/)]=x x3+o(x3)6 6工'(1,1)+加/)=1，/'(1,1)+2欣,1)2021考研數(shù)學(xué)真題及答案解析數(shù)學(xué)(-)一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上.)，e*-1 「(1)函數(shù)/(x)= ，在x=0處[l,x=0(A)連續(xù)且取極大值. (B)連續(xù)且取極小值.(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0. (D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0.【答案】D.ex-1【解析】因?yàn)閘im/(x)=lim——=1=/(0),故/(外在x=0處連續(xù)；TOC\o"1-5"\h\zx->0 xtOx/_]_]*因?yàn)閘im"幻二——=lim匕二二=、，故/'(0)=1,正確答案為D.1。 x-0 1。x-0 1。x22 2(2)設(shè)函數(shù)可微，且/(x+l,e*)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2Inx,則4(1,1)=(A)t/r+力. (B)dx-dy. (C)dy. (D)-dy.【答案】C.[解析】f\x+1,ex)+e'fXx+l,ex)=(x+l)2+2x(x+1) ①(x,x2)+2xf^(x,x2)=4xInx+2x ②x=0[x=1 ……分別將八，帶入①②式有y=0Iy=1

7故a=l,b=0,c=-q,本題選A.(4)設(shè)函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則=(A)limf/'隹」也)與斗.言\2n)2n …vIn)n(C).邙傳平. (D)呵力仔)2…yy2nJn di\2nJn【答案】B.【解析】由定積分的定義知，將(0,1)分成〃份，取中間點(diǎn)的函數(shù)值，則［'f(x)dx=lim￡/［^―5-1-,即選B.Jo八/“TOOhl，(2n)n(5)二次型/(a02，七)=(玉+》2)2+*2+七)2-(七一七)2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為(A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. (D)l,2.【答案】B.［解析］/(X］,,X3)=a+X2『+(X2+/)2—(/一XA=^-X2+^-X\X2+^X2X3+2須/‘0 1 1、所以4= 1 2 1 .故特征多項(xiàng)式為J 1 0>4-1—1

\AE-A\=-1-2-1=(2+l)(2-3)A-1-1A令上式等于零，故特征值為-1，3,0,故該二次型的正慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指數(shù)為1.故應(yīng)選B.記夕i=q, =a2-kfll,p3=a3-Z1A-4A若四,%A兩兩正交，則4依次為(D)TOC\o"1-5"\h\z51 51(D)(A)—. (B).22 22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知Pl=aPl=a2［?2^|］因㈤A=?3故/叵?=故/叵?=2［無(wú)㈤2巴㈤【色，02]故選A.2(7)設(shè)48為〃階實(shí)矩陣，下列不成立的是(A0\(A)r;=(A0\(A)r;=2rp)AtA)')(ABA\ /、?(0”產(chǎn)⑷(B)r(D)rBAAB=2r(i4)=2r(/)【答案】c.,(AO\ r ~【解析】(A"0=八(/)+〃(47)=2/(/).故71正確.[j (AO\OT=[0^J=r(j)+r(/4r)=2r(j).(C)BA的列向量不一定能由A的列線性表示.0At0At=r(A)+r(Ar)=2r(A).(D)B4的行向量可由A的行線性表示，r本題選C.(8)設(shè)力，8為隨機(jī)事件，且0<尸(8)<1,下列命題中不成立的是(A)若P(*B)=P(A)，則P(A|5)=P(A).(B)若尸(川8)>尸(4),則尸(彳舊)〉尸(彳)(C)若P(A\B)>P(AI5),則P(A\B)>P(A).(D)若P(/l|4U8)> 1ZU8),則P(A)>P(B).【答案】D.【解析】P(A\AUB)【解析】P(A\AUB)=P(/(/U8))

P(AUB)P⑷P(A)+P(B)-P(AB)隔M|J8)=P(lQU8))=P(M)=P(B)-P(AB)P(A\JB)P(A\JB)P(A)+P(B)-P(AB)因?yàn)槭?力|4118)>尸(1|4118),固有P(4)>P(8)—尸(48),故正確答案為D.⑼設(shè)(乂片),(占心),…為來(lái)自總體/從,〃2嗎2,云;0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令TOC\o"1-5"\h\z。=〃1一〃2,亍=1￡匕,丫,七匕/=又一丫，則",=1n,=12 2(A)。是。的無(wú)偏估計(jì)，“小吧生-n2 2(B)。不是6的無(wú)偏估計(jì)，￡>(。)=巧％v1n(C)。是e的無(wú)偏估計(jì)，.⑻=*圣2附%.v7 n(D)。不是6的無(wú)偏估計(jì)，研=4士瓜二型血'' n【答案】C.【解析】因?yàn)閤,y是二維正態(tài)分布，所以滅與F也服從二維正態(tài)分布，則其-「也服從二維正態(tài)分布，即E?=E{X-F)=E(X)一E(F)=〃]一〃2=。，

。(。)=D(X-力=D(X)+D(Y)-cov(X,力=①十，一”。。2,故正確答案為C.(10)設(shè)%,,%2...,%16是來(lái)自總體N(〃,4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：①(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?=｛滅2其中又二-1-?',,則〃=11.5時(shí)，該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率為(D)1-0(2)(A)l(D)1-0(2)(C)l-0(1.5) ?【答案】B.__]【解析】所求概率為P{X<11}%~7V(11.5,-),?=1-0(1)故本題選B.二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.)尸dx(11)f = .J。x2+2%+2TT【答案】-4【解析】，x2【解析】，x2+2x+2J。(x+l)2+l(12)設(shè)函數(shù)(12)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程<y=4(t-\)e'+t2,x>Qdx2【答案】3.My.?力4k+2，Jy(4e'+4fe'+2)(2e'+l)-(4冶+2f)2e'【解析】由上=—■——.得一4=1 J―㈠ dx2e'+\dx2 (2e'+1)3將(=0帶入得(13)歐拉方程x2y"+9'-4y=0滿足條件y(l)=1,y'(\)=2得解為y=.【答案】x2.【解析】令x=e',則孫'=蟲(chóng),//=鼻一空，原方程化為匕-4y=o,特征方程為dtdxdx dx~A2-4=0,特征根為4=2,4=一2,通解為^=。1'+。252'=。儼2+。2/2,將初始條件火1)=1,/(1)=2帶入得。1=1,。2=0,故滿足初始條件的解為y=F.(14)設(shè)Z為空間區(qū)域［(x,y,z)\x2+4y2<4,0<z<2］表面的外側(cè)，則曲面積分X1dydz+y2dzdx+zdxdy=.【答案】47r.

【解析】由高斯公式得原式二JJJ(2x+2y+l)dP= JJdxdy=4tt.Q D(15)設(shè)4=%為3階矩陣，4為代數(shù)余子式，若Z的每行元素之和均為2,41+421+/31= '3【答案】2T【解析】A1Aa=2a,2=2T【解析】A1Aa=2a,2=2,a=,則4的特征值為Hl

T對(duì)應(yīng)的特征向量為A\\+41+41=]?&+“21+41412+422+”32、43+/23+43)(16)甲乙兩個(gè)盒子中各裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中,再?gòu)囊液兄腥稳∫磺?令x,y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則x與y的相關(guān)系數(shù).【答案】5'(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)、'01>’01、【解答】聯(lián)合分布率(x,y)?31]_3,x?11y?11、105510><22>J2yTOC\o"1-5"\h\zcov(%,r)=—,DX=-,DY=-,^ =-20 4 4 ^5三、解答題(本題共6小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(17)(本題滿分10分)1+fe4 1求極限lim—% ；—.-0ex-1 sinx【答案】2【解析】解:sinx【答案】2【解析】解:sinx=limxtOsinx-1-iefdtJ。(ex-l)sinx又因?yàn)椤付×?￡(1+/+0(/))^=》+，》3+。(1),故(x X'+o(x^))(l+x+—+o(x'))—x—x-+o(x?)原式=lim - i0 X2^X2+O(X2)]=lim^——； =-.AO廠2

（18）（本題滿分12分）設(shè)%(x)=e-m+—!—x"i(〃=l,2,…)，求級(jí)數(shù)S>"(x)的收斂域及和函數(shù).〃(〃+1) n=i【答案】S（x）=<+(1-x)ln(1-x)+X,【答案】S（x）=<【解析】s（x）￡（x）=￡〃=【解析】s（x）￡（x）=￡〃=||?=|+—!—x"",，收斂域（0,1］，5。）=￡"曲=，47戶€（0,1］〃二1 1一0CD 1 8 ??+l0C?W+1S2(x)=Z--^x"+1=X-——ZJ=-xln(l-x)-ln(l-x)-x]+ n=1nM=in+1=(l-x)ln(l-x)+x,xg(0,1)S2(l)=limS2(x)=lx->r +(1-x)ln(1-x)+x,xe(0,1)S(x)=S(x)=2+4y2后,x=,（19）（本題滿分12分）Y*+2u--z6" ,求。上的點(diǎn)到xoy坐標(biāo)面距離的最大值.4x+2y+z=30【答案】66【解析】設(shè)拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,九〃)=z?+丸12+2/一z-6)+〃(4x+2y+z-30)Lx=2x2+4w=0Ly=4y2+2〃=0L.=2z-2+m=0x2+2y2—z=64x+2y+z=30解得駐點(diǎn):(4,1,12),(-8,-2,66)C上的點(diǎn)(-8,-2,66)到xoy面距離最大為66.(20)(本題滿分12分)設(shè)DuR2是有界單連通閉區(qū)域，1(D)=^-x2-y2)dxdy取得最大值的積分區(qū)域記為D,.D⑴求/（A）的值.⑵計(jì)算J明,其中eq是。的正向邊界.x2⑵計(jì)算J明,其中eq是。的正向邊界.x2+4y2【答案】-n.【解析】（1）由二重積分的幾何意義知：Z（D）=jj（4-x2-^2）Jcr,當(dāng)且僅當(dāng)4-X?-/在。上D大于0時(shí)，/（D）達(dá)到最大，故2：/+/44且/（口|）=（："，］：（4一/2）廠心=8%.⑵補(bǔ)。2：》2+”2=/（廠很?。?。2的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?，?4廠+y)dx+(4ye“""廠-x)dy(xex+4v-\-y)dx-\-(4yex+4v-x)dy(xe'+y)rfr+(4j，'4'-x)dy陰+5D2x2+4y2dD2=——-erJxdx+4ydy——-erJydx-xdy=—JJ-2Ja——n.rsd2 raz)2 rd2(21)(本題滿分12分)'a1-r已知力=1a-1.「1-1a>(1)求正交矩陣P，使得PTAP為對(duì)角矩陣;(2)求正定矩陣C,使得。2=(。+3)E-A.【答案】(1)P=【解析】：(2)C【答案】(1)P=【解析】：(2)C=1-355-31A-a-1(1)由 -1A-a11得4=q+2,4=4=a—1當(dāng)4=a+2時(shí)'2-1((a當(dāng)4=a+2時(shí)'2-1((a+2)E-A)=-12J1當(dāng)4=4=4一1所'-1-1((a-\)E-A)=-1-10101、10,j1、的特征向量為%=171耳1耳131=\73-31a-k2-J鼾

zrk

-p令1](111r00、00I一正I正01%1忑2需.-八0的特征向量為。20;%+2則PtAP=A=nP'CPPTCP=4 =pTCP= 24 2(5 、--1-1n、 3T 5 1故C=P2PT=-1--.3 3I2) .15I33；(22)(本題滿分12分)在區(qū)間(0,2)上隨機(jī)取一點(diǎn)，將該區(qū)間分成兩段,丫,令z=LX(1)求X的概率密度：(2)求Z的概率密度.(3