2022年全國乙卷數學模擬試題及答案

高三文科數學考生注意：.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。.本試卷，題范圍：高*范圍。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。.已知集合A={e|z2—2z—8>0},則CrA=C.(—2,4) DC.(—2,4) D,[-2,4]C.2+3i D.2—3iB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件.已知復數z滿足與+2—31=0,則乏=A.3+2i B.3-2i.已知力:7+5>3,4：7>1且y>2,則q是。的A.充分不必要條件C.充要條件.已知直線2l?=0為雙曲線C，一1的一條漸近線，則。的離心率為A.75 B.5/3 C.哼 D.乙 O.已知S“為等比數列{右}的前〃項和，若恁=8,S3=24,則公比q=D.—■或1o6.若tana=2,貝IJI-2sin-a6.若tana=2,貝IJI-2sin-a1+sin2aB.-3D.37.古希7.古希臘數學家帕普斯通過在矩形ABCD中構造內接直角三角形AEF(/AEF=90。),證明了三角公式cos(a—/?)=cosacos0+sinasin0(其中NDAE=a,/EAF=S),如圖所示.若AD=2&,a=60°,￡=30°,AF=a,EF=b/lJAD=A.4a+b B.——b

.某校舉行運動會期間，將學校600名學生編號為001,002,003,…，600,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且在第一段中隨機抽得的號碼為009.將這600名學生分別安排在看臺的A,B,C三個區(qū),001號到130號在A區(qū)，131號到385號在8區(qū)，386號到600號在C區(qū)，則樣本中屬于三個區(qū)的人數分別為A.10,21,19 B.10,20,20 C.11,20,19 D,11,21,18.已知函數/(z)=cos(2z—g),先將其圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向右平移,個單位長度，得到g(z)的圖象，則A.g(z)的最小正周期是3 B.g(f)=4C.g(z)的圖象關于點(7T,0)對稱 D.g(z)在(0,兀)上單調遞增.如圖，在正四面體ABCD中,E,F分別為棱的中點，則直線BE與CF所成角的余弦值為H.如圖，已知拋物線C：/=2”■(力>0)的焦點為F,直線/與C相交于A,8兩點，與》軸相交于E點.已知|AF|=7,|BF|=3,若△AEF,48EF的面積分別為S,5,且含=3,則拋物線C的方程為A.y2=2xb.y=4j?y2=6/y2=8xh r..已知a—l=lna,b-e=ln—,c―7t=ln—，其中a,b,cS(0,+8)且 則e reA.a<Zc<Zb B.c<Za<Zb C.a<Zb<Zc D.c<Zb<Za二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。仔一y&l，.已知x.y滿足Ji+y>0,則之=1+2丁的最小值為.f為奇數，.已知數列｛4｝的通項公式為人=4 一4 則其前1。項和等于 .l2%n為偶數，.已知函數/(/)=?(%—1)(1—2)(1一3),則曲線了=/O)在點(3,/(3))處的切線方程為..如圖，在三棱銖P-ABC中,PA,平面ABCNABC=g,AP=AB=3,3C=6,人腎■…則三棱錐P—ABC外接球的表面積為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。.（本小題滿分12分）山東為我國最大的“菜園子”和“菜籃子”，蔬菜產量占全國的12%,居全國第一位;農產品出口達到1150.3億元，占全國的22%,連續(xù)20多年領跑全國.壽光、蘭陵、章丘等作為代表的蔬菜生產和流通基地為保證人們的菜籃子做出了重要貢獻.為了解近年來山東的蔬菜生產狀況，統(tǒng)計了近6年山東蔬菜年產量（萬噸）如下表：年份201620172018201920202021年份代碼/123456年產量y（萬噸）803481338192818184358801（1）根據表中數據，建立》關于，的線性回歸方程&=叫+￡；5用最簡分數表示）（2）根據（1）中的線性回歸方程，預測今年（2022年）山東蔬菜的年產量.附:①對于一組數據（匕，V），（&），…，",，%），其回歸直線y=bt+a的斜率和截距的最小二乘估它（0—f）（y—了）計分別為：，=~~ ,￡=夕一方.S（z,-F）2f=16②參考數據：X（。一2）（y—y）=2365..（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,8c,c=2asinCeosB+26sinCeosA,且sinCgsinB.（1）求角。的大??；（2）若，且△ABC的面積為4乃，求AC邊上的中線BD的長..（本小題滿分12分）如圖,三棱柱ABC-A出G各棱長均為2,NGCA=全O（1）求證:ACLBG；⑵若心與平面八所成的角為言，求三棱柱八BC-ABC的體積..（本小題滿分12分）已知橢圓。：（+畜=1（。>0>0）,四點（一反正），（0,—6）,（1,一1），（1,'1）中恰有三點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）若點F為C的左焦點，點P為C上位于第一象限的一點,M,N為）軸上的兩個動點（點M在。軸上方），滿足PM，PN,FM，F(xiàn)N,線段PN交,軸于點Q.求證：（翱為定值..（本小題滿分12分）設函數/（z）=alnx一~^+l（aGR）.（1）求函數f（z）的單調區(qū)間；（2）當時，證明：0+1*（1—）Ve/lnx.（二）選考題:共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系My中，直線I的方程為悟工+?—4乃=0；以（）為極點軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且曲線C的極坐標方程為p=4cos9.（1）求C的直角坐標方程和參數方程；（2）若直線/與C交于A,8兩點,P為C上異于A的一點，求APAB面積的最大值..（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知不等式|h|十|工一3|45的解集為[a,6]（1）求a,b的值；（2）若m>0,7?>0，bin+〃+a=0,求證：m高三文科數學參考答案、提示及評分細則DA={j:\x2—2z—8>0}=<①|N<—2,或i>4），所以CrA=1―2,4］故選D.B由題意得2=_2+、=.（一泊!〈一!?=京普=3+2「所以z=3-2i.故選B.1 iX（-1） 1A若h>1且y>2,則1+y〉3,反之則不然，故g是力的充分不必要條件.故選A.C由題意知方=2,所以e=Jl+（,y=Jl+}=空.故選C.C因為&3=8,S3=24,所以a3=8,ai+ti2=16,即ai/=8,ai（l-g）=16,所以1~~q=2/,解得q—當或q—1.故選C「A1-2§甘丁=sin7-cos2a—2sin，=cos2a—sin2a=cosa—sina=1—tana= 1_將沖、，… 1+sin2asin2a+cos2a+2sinacosa（sina+cosa）~cosq+sinq1+tana3*J'?A在直角三角形ADF中，DF=2,AF=4；在直角三角形AEF中,EF=2；在直角三角形CEF中，CF=1,CE=^.綜上,F是CD上靠近C的三等分點,E是BC的中點.—? ? ? ? 9 ? —? —? —? 1 ? 1—? —? ? 1 —? —? 1^-：AF=AD+DF=AD+-^AB,EF=EC+CF=^AD--^八3,兩式聯(lián)立消去人3,得人。=卷入尸+￡尸=房<1+4O o 乙 乙故選A.法二:以A為原點,AB所在直線為1軸建立宜角坐標系.則4(0,0),60,2&)*以3,乃)汨(2,2點)，設俞=；1亦+"話，得(0,2回=乂2,2⑶+/(-1,&),解得；1=:,〃=1,檢=得#+諾=得。+無故選A.D由題意知抽樣間隔為鑼=12.因為在第一段中隨機抽得的號碼為009,故所有抽到的號碼為124+9UVS=0,1,2,…,49),根據條件列出不等式即可解得A區(qū)抽中11人,B區(qū)抽中21人,C區(qū)抽中18人.故選D.D由題意知g(工)=-cos7,其最小正周期為2北，g(m)=—cos-y 其單調遞增區(qū)間為C2^7r,7r+2^］（^eZ）.j<（7r）=l^O,feABC均錯.D正確.故選D.C連接AE,取AE的中點G,連接FG,CG,則FG〃BE,所以/CFG為BE與CF所成的角，設正四面體ABCD的棱長為2,則AE=BE=CF=偌，F(xiàn)G=岑，CG=#,所以o_._3._JL3+ ??cosZCFG=——-~吉=*.故選C.2X73

B如圖，過A,B分別作C的準線的垂線分別交y軸于點M,N,因為C的準線為了=一號,所以|AM|=|AF|一1=7一號,|BN|=|BF|一號=3，所以魯=44科=44批L L L, 4 02 |七匕| 251、72=-^=3,解得。=2,故。的方程為/=4-故選B.D由題意可知,a—l=lna—In1,/>—e=ln6—Ine,c-7t=lnc、-In兀,所以a—lna=l—In1,6—In6=e—Ine,c-Inc=六一In兀.令/(1)=n—In則/(a)=f(1),f(b)=f(e),f(c)=f(Q;又f(j?)=1-十=7,則八工)在〈°」)上單調遞減，在(L+8)上單調遞增，如圖所示；因為l〈e<k,所以 ，所以f(a)V/(6)V/(c),又bWe,crn,且八工)在〈0,1)上單調遞減,所以cVYa.故選D.-4畫出可行域(如圖陰影部分)，當直線尸一￡才+.經過點人(得,一得)時,z乙 乙 乙 乙 乙取得最小值，最小值為一~1409數列｛4,｝的前10項中有5個奇數項,5個偶數項.且5個奇數項成以1為首項,4早又4+*豐=45+寧1409.為公差的等差數列,5早又4+*豐=45+寧1409.6工一'—18=0法1：設g(z)=zQ-l)(工一2),則f(z)=(_r-3)g(z),所以/(才)=g(z)+(j-3)g'(工)，所以/⑶=g(3)=3X2Xl=6,又-3)=0,故所求切線方程為y=6Q-3),即為6工一》—18=0.法2：/(3)=0,/(i)=「①(7—3)JL(1—1)(/-2)I=(三—31)(合一3z+2),則/(1)=(合一31)'(/—34十2)+(j?2—3z)(/2—3.丁+2)'=(2彳-3)(/—31+2)+(21一3)(合一3①)=(27—3)(2jt2—6①+2),所以/(3)=(2X3—3)(2X32—6X3+2)=6,故所求切線方程為丁=6(z—3)，即為6z-y-18=0.547r法1：因為PAJ_平面ABCBCU平面ABC所以PA±BC,PA±AC,PA±AB,XZABC2=方■，所以BCJ_AB,因為PAP|AB=A,PA,ABU平面PAB.所以BC_L平面PAB,又PBU平 \/戶、面PAB,所以BCJ_PB,取PC的中點O,連接OA,OB,則OA=OB=OC=()P=3PC,故。為\\/三棱錐P-ABC外接球的球心.而PC=/PB2+BG=/PA2+AB2+Br= 加=/豆=36.故三棱錐P-ABC的外接球O的半徑為歲,所以球O的表面積為4kx(邛)2=54n.法2：根據題意三棱銖P-ABC可以擴展為如圖的長方體*則PC為長方體的對角線,也是三棱錐P-ABC外接球的直徑.因為AP=AB=3,BC=6,所以PC= (以下同法1).6TOC\o"1-5"\h\z解：(D由題意知￡=3.5,斤=8296,Z(&一力2=17.5, 2分t=lz_i?I(Z,-f)<y-y)_2365_946 /八0— 6 —177—7， 4分*=］「， -- 946 - 八又〃=了一切=8296一半X3.5=7823, 6分所以、關于，的線性回歸方程為&=號％+7823. 7分(2)當年份為2022年時，年份代碼r=7, 8分所以&=呼乂7+7823=8769. 10分所以可預測2022年山東蔬菜的年產量為8769萬噸. 12分解：（1）因為c=2asinCeosB+26sinCeosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinCeosB+2sinBsinCeosA, 2分因為sinC￥0,所以sinAcosB+sinBcosA=y,所以sin（A+B）=-^"，即sinC=~^, 4分又sinC&sinB,所以cW仇所以OVCV},所以C=*. 6分（2）由（1）知C="1,又B=?^,所以6=c,A=孕， 8 分又SAABcu-^AsinA=-1"c2sin與=4悟，所以c=4,c=-4（舍）. 10 分在△ABD中,AD=?=4r=2,由余弦定理得BD1=AB2+AIy-2AB?ADcos冬=16+4+8=28,所以BD=2/? 12分(1)證明:取AC的中點D,連接BD,CD,GA,則BDJ_AC, 1分因為CG=CA=2，NCCA=g,所以△ACC為等邊三角形， 2分又D為AC的中點.所以CDJ_AC, 3分因為。1。03。=。.0。］。(2平面8“；，所以八(：_|_平面8/%；, 4分又BC,U平面BDC；,所以AC±BC,. 5分(2)解：由(1)知AC_L平面BDG,又ACU平面ABC,所以平面平面ABC, G 平面BDGn平面ABC=BD,故過C1作平面ABC的垂線，垂足為E,則E一定在直線 飛ABD上，因為BG與平面ABC所成的角為［■，所以NGBD=4 8分由題意知CiD=BD=悟,所以NCDB=學，TOC\o"1-5"\h\z所以BG=JbD2+GD2-2BD?CDeos§=J3+3—2X例X伍X（一-與）=3, 10 分所以GE=BGsiny=y.（或:由題意知CiD=BD=&，所以NGDE=奇，所以GE=GDsin號=&Xg=普）所以V=S&wc?C,E=yX2X2Xsin-1x-1-=^. 12分⑴解:因為四點（一瓶⑸，（0,一宿），（1,一方），（1,得）中恰有三點在橢0^上,且兩點（1,—1）,（1,￡）關于工軸對稱，所以（1,—1）,（1,。）在橢圓。上,所以±+白=1. 2分a-46-若點（一悟，回也在c上,則看+卷=1,與上式聯(lián)立，無解，故（一悟，同不在C上,所以點（0,-偌）在C上，所以b=R，所以a=2,所以橢圓C的方程為1+￥=1. 4分（2）證明：設M（0,m）（加＞0），N（0,〃），P（劭，加）（30＞0,外＞0）.由題意知F（—1,0）,所以「防=（—JCq,“一、0）,PN=（_Xo，〃一加）,FM=（1,）,FZ=（1,72）, 6 分因為PM_LPN,FM_LFN,所以前?前=0,前?FN=0,即忌+（m-y（））（n—y（））=0?1+mn=09 8 分所以4--*%+加〃一（6+〃）皿+?=0,71=一《，所以y什3（m—，）yo—9=0,7解得“=荷，或》o=-3〃"舍）. 10分由〃=一\＜。得點N在y軸的負半軸上，3所以隔=尚=7^0=3（定值）. 12分⑴解：/q)的定義域為(0,+8)/。)=?+1=號匕 1分當a>0時.//(工)>0在(0,+8)上恒成立,則"z)的單調遞增區(qū)間為〈0,+8).沒有單調遞減區(qū)間； 2分當aVO時，當hC(0，一《)時，/(1)>0;當才6(一十，+8)時)(hXO, 3分貝V⑴的單調遞增區(qū)間為(0,一十)，單調遞減區(qū)間為(一看,+8). 4分(2)證明：由(1)可知，當。=一1時,的單調遞增區(qū)間為(0,1).單調遞減區(qū)間為(1,+8)；所以/(x)<f(l)=O,BP-lnx--++140,所以In工31—(r>0)(當且僅當l=1時取等號)所以當hG(0,1)時，lni>l-- 6分所以要證當了6(0,1)時，(工+1)2(1--只需證當xE(0,1)時，(遼+1)2(1—)<er(1—,即證爐〈(l+1)2. 7分方法1：令g(z)=e-(h+1*(0VzVl),則g'(z)=er-2(x+l),令/?(h)=g'(_r)=e'—2(z+1)，則h>Cjt'>=er—2,令，=e*-2=0,得>r=ln2, 8分當OVzVln2時,，(了)VO,/i(z)在(O,ln2)上單調遞減,當In2<x<l時,，(〈了)在(In2,D上單調遞增，/i(x)niin=/i(ln2)=eln2—2(ln2+l)=-2ln2<0, 9分XA<0)=e°-2=-l<0,A(l)=e-4<0,所以在工6(0,1)時"(工)=/〈7)〈0恒成立,所以8