1.2　不等關(guān)系及簡(jiǎn)單不等式的解法

1.2

不等關(guān)系及簡(jiǎn)單不等式

的解法-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234151.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則>=<-3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?

.

(3)可加性:a>b?a+c

b+c;a>b,c>d?a+c

b+d.

(4)可乘性:a>b,c>0?ac

bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac

bd.

(5)可乘方:a>b>0?an

bn(n∈N,n≥1).

a>c>

>

>

>

>

>

-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}?

?

-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法

{x|x≠a}{x|x<b或x>a}{x|a<x<b}?2-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)a>b?ac2>bc2.(

)(3)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)(5)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)×

√×

×

√-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.已知a,b∈R,下列結(jié)論正確的是(

)答案解析解析關(guān)閉當(dāng)a=1,b=-2時(shí),A不正確,B不正確,C不正確;對(duì)于D,a>|b|≥0,則a2>b2,故選D.答案解析關(guān)閉D-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.若a>b,則(

)A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a3-b3>0 D.|a|>|b|答案解析解析關(guān)閉取a=2,b=1,滿足a>b,但ln(a-b)=0,3a>3b,排除A,B;∵y=x3是增函數(shù),a>b,∴a3>b3,故C正確;取a=1,b=-2,滿足a>b,但|a|<|b|,排除D.故選C.答案解析關(guān)閉C-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.已知全集為R,集合A=,B={x|x2-6x+8≤0},則A∩(?RB)=(

)A.{x|0≤x<2或x>4}B.{x|0<x≤2或x≥4}C.{x|0≤x<2}D.{x|2≤x≤4}答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-11-知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1(1)已知a1,a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M<N B.M>N C.M=N D.不確定A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c思考比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小常用的方法有哪些?BB-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:

(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法一)由題意可知a,b,c都是正數(shù).易知當(dāng)x>e時(shí),f'(x)<0,即f(x)單調(diào)遞減.因?yàn)閑<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得比較大小常用的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法.(1)作差法的一般步驟:①作差;②變形;③定號(hào);④下結(jié)論.變形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.(2)作商法一般適用于分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式,作商只是思路,關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形,從而使結(jié)果能夠與1比較大小.(3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.提示:當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式正負(fù)不確定且為多項(xiàng)式形式時(shí),常用作差法比較大小;當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式均為正且均為冪的乘積式時(shí),常用作商法比較大小.-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)已知a,b是實(shí)數(shù),且e<a<b,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則ab與ba的大小關(guān)系是

.

ab>ba

A-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是(

)A.a2>a>-a2>-a B.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a(2)若a>b>0,c<d<0,則一定有(

)思考判斷多個(gè)不等式是否成立的常用方法有哪些?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得判斷多個(gè)不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性質(zhì),逐個(gè)驗(yàn)證;方法二是用特殊值法,即舉反例排除.而常見(jiàn)的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考:(1)不等式兩邊都乘一個(gè)代數(shù)式時(shí),要注意所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0;(2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變;(3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若a>1>b>-1,則下列不等式恒成立的是(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)下列命題正確的是(

)A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ac>bc,則a>bD.若a>b,c>d,則a-c>b-d答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向一

不含參數(shù)的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+3<0的解集為

.

思考如何求解不含參數(shù)的一元二次不等式?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向二

分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向三

含參數(shù)的一元二次不等式例5解關(guān)于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.思考解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí),分類討論的依據(jù)是什么?解

由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.當(dāng)a>1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|1<x<a},當(dāng)a=1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為?,當(dāng)a<1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|a<x<1}.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí),要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正,再根據(jù)判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況,并求出相應(yīng)方程的兩個(gè)根,最后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫(xiě)出不等式的解集.2.解分式不等式時(shí),切忌直接去分母,一般先通過(guò)移項(xiàng)、通分,將或高次不等式.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)43.解含參數(shù)的一元二次不等式要分類討論,分類討論的依據(jù)是:(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)先討論是等于0,小于0,還是大于0,再將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的大小關(guān)系.(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知集合A={x|x2-2x-3<0},B=,則A∩B=(

)A.{x|1<x<3} B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0或0<x<3} D.{x|-1<x<0或1<x<3}-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>3的解集為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.解:若a=0,則原不等式等價(jià)于-x+1<0,解得x>1;-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4當(dāng)a=1時(shí),原不等式的解集為?;

-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向一

在R上恒成立求參數(shù)范圍例6若一元二次不等式

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則k的取值范圍為(

)A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0)思考一元二次不等式在R上恒成立的條件是什么?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向二

在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)范圍例7設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.思考解決在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題有哪些方法?-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4當(dāng)m=0時(shí),-6<0恒成立;當(dāng)m<0時(shí),g(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1)?m-6<0,所以m<6.所以m<0.-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考向三

給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題例8已知對(duì)任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是

.

思考如何求解給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是2.不等式在某區(qū)間上恒成立問(wèn)題的求解方法:設(shè)f(x)=ax2+bx+c.(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等價(jià)于集合A是不等式解集B的子集,通過(guò)求不等式的解集,并研究集合的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.(2)函數(shù)最值法:已知二次函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?[f(x)]min=m≥a;f(x)≤a恒成立?[f(x)]max=n≤a.(3)分離參數(shù)法:先將參數(shù)與變量分離,轉(zhuǎn)化為f1(