初等數(shù)論 質(zhì)數(shù)模的同余式_第1頁(yè)
初等數(shù)論 質(zhì)數(shù)模的同余式_第2頁(yè)
初等數(shù)論 質(zhì)數(shù)模的同余式_第3頁(yè)
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§4．質(zhì)數(shù)模的同余式首先考慮質(zhì)數(shù)模同余式p定理1f(x((o

f()-

a ,

(1)n n1 0證明：由多項(xiàng)式的帶余試除法知有二整系數(shù)多項(xiàng)式qx及rx使fx(xpx)qxrx且rxp1xxpxp.因此（1）與rx0modp等價(jià)。定理2設(shè)k≤n，而x≡a(modp) (i=1,2…,k)是(1)的k個(gè)不同解，則對(duì)任ix來(lái)說(shuō)，f(x)ak證明：由多項(xiàng)式帶余除法得f(x)(x

n ) )f

(x)(mod p), (2)f x(xa)f1 1

xrk其中f1

x是首項(xiàng)系數(shù)為an

的n-1次多項(xiàng)式而r是一常數(shù).由假設(shè)，fa1

0modp.故r0(modp).因此對(duì)任何整數(shù)x都有fxxaf1 1

xmodp. xai

i2,3,...,k得0fai

i

af1 1

modp但a不api1,2,......kp是質(zhì)數(shù)，故i 1f1 i

0modpi2,...,k由此，顯然可以用歸納法證明我們的定理定理3 (1)對(duì)任何整數(shù)x來(lái)說(shuō)，(2)(Wilson定理)xp 1(xx2)(x(pp).定理4 同余式(1)的解數(shù)不超過(guò)它的次數(shù).證明：我們用反證法。設(shè)（1）的解數(shù)不超過(guò)n個(gè)，則（1）至少有n+1個(gè)解，設(shè)為xai

p pp,in1.由定理2得;fxan

xa1

xa2

...xan

modp由于fan1

0modpan

a1

a...a2

a0modpnpan

不p,故有一ai

使得a an1

0modp，這與假設(shè)矛盾。補(bǔ)充例子：解同余方程：(3x112x85x410(mod7)；4x203x122x73x20(mod5)。解：(原同余方程等價(jià)于3x55x42x210(mod7)，用x=0，1，2，3代入知后者無(wú)解； (原同余方程等價(jià)于2x42x33x20(mod5)，將x=0，1，2 代入，知后者有解x(mod5)。判定2x3x23x10(mod5)是否有三個(gè)解；x62x54x230(mod5)是否有六個(gè)解？解：2x3x23x1 0(mod5)等價(jià)于x33x24x3 0(mod5)又x5x=(x33x24x3)(x23x5)+(6 x212x15)其中r(

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