初等數論 質數模的同余式_第1頁
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文檔簡介

§4．質數模的同余式首先考慮質數模同余式p定理1f(x((o

f()-

a ,

(1)n n1 0證明：由多項式的帶余試除法知有二整系數多項式qx及rx使fx(xpx)qxrx且rxp1xxpxp.因此（1）與rx0modp等價。定理2設k≤n，而x≡a(modp) (i=1,2…,k)是(1)的k個不同解，則對任ix來說，f(x)ak證明：由多項式帶余除法得f(x)(x

n ) )f

(x)(mod p), (2)f x(xa)f1 1

xrk其中f1

x是首項系數為an

的n-1次多項式而r是一常數.由假設，fa1

0modp.故r0(modp).因此對任何整數x都有fxxaf1 1

xmodp. xai

i2,3,...,k得0fai

i

af1 1

modp但a不api1,2,......kp是質數，故i 1f1 i

0modpi2,...,k由此，顯然可以用歸納法證明我們的定理定理3 (1)對任何整數x來說，(2)(Wilson定理)xp 1(xx2)(x(pp).定理4 同余式(1)的解數不超過它的次數.證明：我們用反證法。設（1）的解數不超過n個，則（1）至少有n+1個解，設為xai

p pp,in1.由定理2得;fxan

xa1

xa2

...xan

modp由于fan1

0modpan

a1

a...a2

a0modpnpan

不p,故有一ai

使得a an1

0modp，這與假設矛盾。補充例子：解同余方程：(3x112x85x410(mod7)；4x203x122x73x20(mod5)。解：(原同余方程等價于3x55x42x210(mod7)，用x=0，1，2，3代入知后者無解； (原同余方程等價于2x42x33x20(mod5)，將x=0，1，2 代入，知后者有解x(mod5)。判定2x3x23x10(mod5)是否有三個解；x62x54x230(mod5)是否有六個解？解：2x3x23x1 0(mod5)等價于x33x24x3 0(mod5)又x5x=(x33x24x3)(x23x5)+(6 x212x15)其中r(

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