彈性力學(xué)4課件

Chap.4應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

Relationshipofstressesandstraines§4.1廣義Hooke定律應(yīng)力、應(yīng)變分析之后，就要解決應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系問題，這是解決彈性力學(xué)問題不可缺少的物內(nèi)一點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變分量是相互對(duì)應(yīng)的，互為函數(shù)關(guān)系。則由連續(xù)性設(shè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式關(guān)系式即胡克定律在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此又稱作(Hooke)定律

其中系數(shù)Cmn(m,n=1,2,…,6)稱為彈性常數(shù),共36個(gè)均勻性、線彈性范圍內(nèi)，函數(shù)應(yīng)是線性的；無初應(yīng)力，無常數(shù)項(xiàng)。即（1）§4.2彈性變形過程中的能量·靜力絕熱彈性體廣義Hooke定律(1)外力做功可轉(zhuǎn)變成物內(nèi)的變形能；(2)溫變可使物體有熱量輸入輸出由能量守恒定律，δt時(shí)間間隔內(nèi)物體總能量改變(變形能增量δE+動(dòng)能δK)=外力功δU+δQ傳熱機(jī)械能當(dāng)量量靜力下δK=0絕溫下δQ=0

則能量改變(變形能增量δE)=δU外力功=δU1體力功+δU2面力功體力功面力功設(shè)面力邊界方向余弦(l,m,n)代入應(yīng)力邊界條件應(yīng)用Green公式按位移合并同類項(xiàng)代入平衡方程,幾何方程即因能量E為物體狀態(tài)的單質(zhì)函數(shù)，故δW必為全微分δU1令δW=δE=δU=δU1+δU2亦即也稱為Green公式結(jié)論證明完全各向異性彈性體只有彈性常數(shù)[6+(36-6)/2]=21個(gè)靜力絕熱完全各向異性彈性體廣義Hooke定律（2）則由（1）有同理有C14=C41等，即Cij=Cji等，(i,j=1~6)二、正交同性體廣義Hooke定律正交同性彈性體各點(diǎn)沿兩個(gè)正交方向彈性常數(shù)相同的物體稱為。

沿正交方向兩軸互換彈性常數(shù)不變

(1)y,z軸互換彈性常數(shù)不變則由方程(3)

第1式,有σx=C11εx+C12εz+C13εyC12=C13自然成立(2)x,y軸互換彈性常數(shù)不變(3)x,z軸互換彈性常數(shù)不變綜合，有C22=C33=C11,正交各向同性體廣義Hooke定律共減少了6個(gè)彈性常數(shù)為9-6=3個(gè)廣義Hooke定律可寫為（4）由解唯一性與方程(3)第1式比較第2式,有σz=C12εx+C22εz+C23εy與方程(3)第3式比較C22=C33第3式,有σy=C13εx+C23εz+C33εyC12=C13與方程(3)第2式比較同上第4式,有τxz=C44γxz與方程(3)第6式比較C44=C66得C44=C55=C66第6式,有τxy=C66γxy與上同理有C22=C11,C23=C13，C55=C66自然成立C12=C23=C13其獨(dú)立的彈性常數(shù)僅為C11，C12和C44為了簡化分析，先將坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)角j

。新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下所示：

xyzx'

l1=cos

j

m1=sin

j

n1=0y'l2=-sin

j

m2=cosj

n2=0z'

l3=0m3=0n3=1三、各向同性體廣義Hooke定律各向同性彈性體各點(diǎn)彈性常數(shù)各個(gè)方向相同的物體彈性常數(shù)與坐標(biāo)軸的選取和方位無關(guān)各向同性彈性體彈性常數(shù)只有2個(gè)據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變分量坐標(biāo)變換公式，可得

γx′y′兩式代入(4)第4式則得又又由(4)第1、2式兩式比較，得=2C44=C11-C12其中各向同性體廣義Hooke定律（5）其應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

l，m稱為拉梅Lamé彈性常數(shù)。令=2C44或?qū)懽鲝埩勘磉_(dá)式§4.4各向同性體彈性系數(shù)間關(guān)系·體積變形定律1.單向拉伸(設(shè)x方向)有σx≠0，σy=σz=0.由(5)有三式相加代入第1式(6)得又則代入第3式(7)由(6)(7)解得(8)Lamé彈性常數(shù)工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系E為彈性模量又稱為Young模量G為切變彈性模量；v為橫向變形系數(shù)簡稱poisson比

2.三向均壓應(yīng)力（靜水壓）狀態(tài)σx=σy=σz=-σ.τxy=τyz=τzx=0.由(5)有三式相加其中(9)為體積受壓彈性模量代入(8)(5)前三式相加并整理，得體積變形定律3.三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)σx，σy，σz>0由上式得由(9)式得由(7)式得即各系數(shù)的取值范圍綜合起來各向同性體廣義Hooke定律或本章基本要求：1.了解各種彈性體的廣義Hooke