2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題（解析版）

絕密★本科目考試啟用前2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4.己知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.6.設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當(dāng)，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，另一方面，時對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當(dāng)，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D8.若，則（）A.40 B.41 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.9.已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B10.在中，．P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?；故答案為?2.已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：13.若函數(shù)的一個零點(diǎn)為，則________；________．【答案】①.1②.【解析】【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，14.設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【答案】①.0（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），115.己知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論序號是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).三、解答題共6小愿，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，小問2詳解】因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫剩暨x①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.18.在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．（1）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）0.4（2）（3）丙【解析】【分析】(1)由頻率估計概率即可(2)求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【小問1詳解】由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4【小問2詳解】設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴【小問3詳解】丙奪冠概率估計值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.19.已知橢圓：的一個頂點(diǎn)為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【小問1詳解】解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對任意的，有．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.21.已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）證明見解析．（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗(yàn)證不行即可．小問1詳解】，，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．【小問2詳解】若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．【小問3詳解】，若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個負(fù)數(shù)（恰21個），這表明中僅一個負(fù)的，沒有0，且這個負(fù)的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有