定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)04290

選修2-2 選修2-2 第一章第七節(jié)《定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)教師：祁磊教學(xué)年級(jí)：高二年級(jí)課題名稱：定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用教材版本：人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2授課時(shí)間：40分鐘應(yīng)用型的課題是培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。教學(xué)構(gòu)思本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景、熱身訓(xùn)練、問(wèn)題探究、抽象歸納，鞏固練習(xí)、應(yīng)用提升等探究性活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，使學(xué)生們掌握定積分解題的規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過(guò)程與方法。以學(xué)生發(fā)展為本。教學(xué)

理念新型的師生關(guān)系；新型的教學(xué)目標(biāo)；新型的教學(xué)方式；新型的呈現(xiàn)方式。定積分的應(yīng)用是在學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的幾何意義之后,教材

分析對(duì)定積分知識(shí)的總結(jié)和升華，通過(guò)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題，初步感受定積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系。四.教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能目標(biāo)】通過(guò)本節(jié)課的探究，學(xué)生能夠應(yīng)用定積分解決不太規(guī)則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想和方法?！具^(guò)程與方法目標(biāo)】探究過(guò)程中通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想，加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的基本思路和方法?！厩楦?、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)】探究式的學(xué)習(xí)方法能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的濃厚興趣；探究式的學(xué)習(xí)過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維習(xí)慣和方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索和實(shí)踐的精神；探究過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美育的滲透，用哲學(xué)的觀點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生自主探究。五.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)定積分的價(jià)值?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】如何恰當(dāng)選擇積分變量和確定被積函數(shù)。教學(xué)方法是“問(wèn)題誘導(dǎo)一一啟發(fā)討論一一探索結(jié)果”、“直觀觀察一一抽象歸納一一總八.教學(xué)方法結(jié)規(guī)律”的一種研究性教與學(xué)的方法，過(guò)程中注重“誘、思、探、練”的結(jié)合，從而引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。采用激發(fā)興趣、主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究地學(xué)習(xí)，形成師生互動(dòng)的教學(xué)氛圍。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生（一）課前準(zhǔn)備:復(fù)習(xí)定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的幾何意義復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。激發(fā)學(xué)生油畫(huà)圖片欲和探索問(wèn)：橋拱的面積如何求解呢?欲，設(shè)下懸念，以激發(fā)激發(fā)學(xué)生油畫(huà)圖片欲和探索問(wèn)：橋拱的面積如何求解呢?欲，設(shè)下懸念，以激發(fā)（二） 情景引入:展示精美的大橋油畫(huà)，講述古代數(shù)學(xué)家的故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積【課件展示】課題：定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)生的探積的關(guān)系,索激情，為后面作開(kāi)墊。（三）新課講授:【熱身訓(xùn)練】練習(xí)1.計(jì)算rJ4-x2dx2學(xué)生的探積的關(guān)系,索激情，為后面作開(kāi)墊。（三）新課講授:【熱身訓(xùn)練】練習(xí)1.計(jì)算rJ4-x2dx2.計(jì)算—2兀J2sinxdx_2復(fù)習(xí)定積分的幾何【學(xué)生活動(dòng)】思考口答意義【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習(xí)答案?-2兀fsinxdx=O【學(xué)生活動(dòng)】本環(huán)節(jié)安排學(xué)生討論，自主發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題方向一一定積分跟面【熱身訓(xùn)練】練習(xí)3.用定積分表示陰影部分面積培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展、聯(lián)系的哲學(xué)【熱身訓(xùn)練】練習(xí)3.用定積分表示陰影部分面積培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展、聯(lián)系的哲學(xué)思想解決問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生由X為積分變量的定積分類型來(lái)發(fā)現(xiàn)以丫為積分變量的另一種定積分類型。問(wèn)題【得出結(jié)論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種類型【板書(shū)】配合學(xué)生探究的進(jìn)展書(shū)寫(xiě)推理的過(guò)程【課件展示】圖1選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為圖2選擇丫為積分變量，曲邊梯形面積為【問(wèn)題探究】【課件展示】探究由曲線所圍平面圖形的面積解答思路y血培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于嘗試、敢于創(chuàng)新的精神。【學(xué)生活動(dòng)】思考、探究、討論【展示結(jié)論】選修2-2 選修2-2 第一章第七節(jié)X10X10A曲邊形面積A=Ai-A2卜、I1a通過(guò)探究,發(fā)現(xiàn)并掌曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）握數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過(guò)程與方法【教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)】探索到的結(jié)論一定可行嗎？這就需要通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。22【例題實(shí)踐】例1.計(jì)算由曲線y=X與y=X所圍圖形的面積.【師生活動(dòng)】探究解法的過(guò)程.1.找到圖形----畫(huà)圖得到曲邊形.2.曲邊形面積解法----轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線.3.定積分表示曲邊梯形面積----確定積分區(qū)間、被積函數(shù).4.計(jì)算定積分.【板書(shū)】根據(jù)師生探究的思路板書(shū)重要分析過(guò)程【課件展示】解答過(guò)程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積2=X2得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為X解方呈組?\y=訂以dx-j0x2dx-1+yt-1OOABC—S曲邊梯形OABD鞏固了學(xué)生的作圖能力，在尋找曲邊梯形的過(guò)程中提咼了學(xué)生的想象能力。完成了般理論和具體問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合，初步達(dá)到了識(shí)記-囪旦13 '0 33=1~3的目標(biāo)，突顯了教學(xué)選修2-2 選修2-2 第一章第七節(jié)【例題實(shí)踐】例2.計(jì)算由y=X-4與y-2x所圍圖形的面積.【師生活動(dòng)】討論探究解法的過(guò)程1.找到圖形----畫(huà)圖得到曲邊形.2.曲邊形面積解法----轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線.3.定積分表示曲邊梯形面積----確定積分區(qū)間、被積函數(shù).問(wèn)題：表示不出定積分.探討：X為積分變量表示不到，那換成丫為積分變量呢?4.計(jì)算定積分.【板書(shū)】根據(jù)師生探究的思路板書(shū)重要分析過(guò)程.【課件展示】解答過(guò)程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積Jy2=x解方程組I2得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-2）及（8,4）卜=X選y為積分變量1 41 2■-S=5（2+8）咒6—打-y2dy=18【抽象歸納】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)例題探究的過(guò)程來(lái)歸納【教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)】幫助學(xué)生修改、提煉，強(qiáng)調(diào)注意注意選擇y型積分變量時(shí),要把函數(shù)變形成用y表示X的函數(shù).【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟:1.畫(huà)草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積.3.根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量.（注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示X的函數(shù)）4.確定被積函數(shù)和積分區(qū)間.5.計(jì)算定積分，求出面積.重點(diǎn)。使學(xué)生懂得如何靈活選擇積分變量，確定被積函數(shù)，通過(guò)該題突破教學(xué)難點(diǎn)。探索到的結(jié)果通過(guò)實(shí)踐，學(xué)生都得到了一些解題心得，及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象歸納，便是探究的階段小結(jié)，得到解題的一般方法?！眷柟叹毩?xí)】一般方法。練習(xí)4.計(jì)算由曲線y=V2x與y=X-4及x軸所圍平面圖形的面積.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生分組合作完成趁學(xué)生們【成果展示】邀請(qǐng)同學(xué)們把自己的成果展示給大家，發(fā)現(xiàn)這道題目有多種解還沉浸在成功的喜答方法，過(guò)程中解決學(xué)生在解題過(guò)程中暴露出來(lái)的各種問(wèn)題。悅之中，探索欲望高漲的時(shí)候,適時(shí)給學(xué)生擴(kuò)大成A:S=s—S2B:S=S1+S2C:【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生分組合作完成趁學(xué)生們【成果展示】邀請(qǐng)同學(xué)們把自己的成果展示給大家，發(fā)現(xiàn)這道題目有多種解還沉浸在成功的喜答方法，過(guò)程中解決學(xué)生在解題過(guò)程中暴露出來(lái)的各種問(wèn)題。悅之中，探索欲望高漲的時(shí)候,適時(shí)給學(xué)生擴(kuò)大成A:S=s—S2B:S=S1+S2C:S=S1—S2【師生活動(dòng)】此題為一=丄（4+8）天4+f4-^dx228——1題多解，解體的大方向分為選 X做積分變量和選丫做就感的機(jī)會(huì)。所以準(zhǔn)備了鞏固在于鞏固解題方法、由一題多積分變量.解鍛煉學(xué)生的發(fā)散遇到一題多解時(shí)，你會(huì)想到什么?生的發(fā)散思維找最簡(jiǎn)單的解法.思維以次題為例，如何尋找最簡(jiǎn)解法?我們熟悉X做積分變量的類型;做輔助線時(shí)，盡量將曲邊形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合的圖形.【鞏固練習(xí)】兀練習(xí)5?計(jì)算由曲線y二sinx與y=cosx及x=0、_所圍平面圖形的面積.體現(xiàn)了對(duì)稱的思想【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考【成果展示】邀請(qǐng)一位同學(xué)把自己的成果展示給大家【師生活動(dòng)】解答思路清晰，表達(dá)正確問(wèn)：此題還有其他解法嗎?答：= 所以只算一個(gè)S,取2倍就可以了.JI-r【教師點(diǎn)評(píng)】做的漂亮，解題時(shí)要注意發(fā)現(xiàn)題目的特征，聯(lián)系我們以前的知識(shí)將問(wèn)題化簡(jiǎn)后再解答，提高效率.【應(yīng)用提升】如圖，一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b.求證：拋物線拱的面積【師生活動(dòng)】探究解題方法1.建立平面直角坐標(biāo)系確定拋物線方程2.求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟和分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析思考問(wèn)題的嚴(yán)密性，在此過(guò)程中進(jìn)行了數(shù)學(xué)美育的滲透。把本節(jié)課的探究活動(dòng)推向高潮，解決了前面設(shè)下的懸念的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了生活中的實(shí)際問(wèn)題與抽象數(shù)學(xué)的完美結(jié)合。問(wèn)：如何建立平面直角坐標(biāo)系會(huì)使得拋物線方程的求解簡(jiǎn)單答:以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)y原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立求解拋物線方程.【成果展示】投影學(xué)生練習(xí)如圖建立平面直角坐標(biāo)系,0x答:以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)y原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立求解拋物線方程.【成果展示】投影學(xué)生練習(xí)如圖建立平面直角坐標(biāo)系,0xh（?「h）可設(shè)拋物線方程為鞏固定積則有_h…（2）2鞏固定積則有_h…（2）2解得-bj，所以拋物線方程為4h2yp.分解題的【教師點(diǎn)評(píng)】在投影中與全班同學(xué)一起點(diǎn)評(píng)學(xué)生的練習(xí)基本方法2y=-ax (aA0),代拋物線上一點(diǎn)（一,-h）入方程,2和步驟。（四）.互動(dòng)小結(jié)問(wèn)：本節(jié)課我們做了什么探究活動(dòng)呢?答：用定積分解曲邊形面積。問(wèn)：如何用定積分解決曲邊形面積問(wèn)題呢?課堂小結(jié),目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生和步驟。（四）.互動(dòng)小結(jié)問(wèn)：本節(jié)課我們做了什么探究活動(dòng)呢?答：用定積分解曲邊形面積。問(wèn)：如何用定積分解決曲邊形面積問(wèn)題呢?課堂小結(jié),目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與梳理知識(shí)【師生活動(dòng)】探究、并在投影中完成該題問(wèn)：所求圖形有什么特點(diǎn)?答：左右對(duì)稱；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上與學(xué)生共同完成「. b設(shè)一半的面積為S,則有2S=2伍h+弘尹）dx=2[bh+(-馬x3)|計(jì)……=2bh

L2I3b2小」3的過(guò)程，培的過(guò)程，培答：1.畫(huà)草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積.養(yǎng)學(xué)生在探究之后探究之后3.根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量.（注意選擇y型積分變量時(shí),教學(xué)過(guò)要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)）確定被積函數(shù)和積分區(qū)間.計(jì)算定積分，求出面積.問(wèn)：解答曲線