廣州市高一下學期期末數(shù)學試題(共2套,含答案)

=2X2,2_,25)由已知得罰又因為b--..'3,所以/+L-3二牙電二??3又因為’’所以acW6,當且僅當于匚二立時，ac取得最大值11；73V7此時Eg20.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n^N*).求證數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，并求an；(口)已知集合A=｛x|x2+aW(a+1)x｝，問是否存在實數(shù)a,使得對于任意的n^N*都有Sn^A?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列遞推式.【分析】(I)先由條件構(gòu)造等式(a-1)Sn1=a(an1-1)與已知條件作差求出數(shù)列｛aj的遞推公式，再對數(shù)列｛an｝的遞推公式變形即可證數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，再代入等比數(shù)列的通項公式即可求出an；(口)先對a分情況討論分別求出對應(yīng)的集合A和Sn，再分別看是否滿足對于任意的nGN*都有SnGA.進而求出a的取值范圍.【解答】解：(I)當n=1時，V(a-1)S1=a(a1-1)，Aa1=a(a>0)n22時，由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)得(a-1)Sn1=a(an1-1).?.(a-1)an=a(an-an〕)，變形得：=a(n三2)nnn-1an-l故｛an｝是以a1=a為首項，公比為a的等比數(shù)列，.?.an=an(n)(1)當a=1時，A=｛1｝，Sn=n，只有n=1時SnGA，a=1不適合題意a>1時，A=｛x|1WxWa｝,S2=a+a2>a,.°.S2A，即當a>1時，不存在滿足條件的實數(shù)a當0VaV1時，A=｛x|aWxW1｝而Sn=a+a2+...an=T因此對任意的nWN*,要使Sn￡A,只需0VaV1,解得0<aW寺綜上得實數(shù)a的范圍是(0,寺］.已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+a+3,若函數(shù)y=f(x)在［-1,1］上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍；若函數(shù)y=f(x),xG［t,4］的值域為區(qū)間D,是否存在常數(shù)t,使區(qū)間D的長度為7-2t?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由(注：區(qū)間［p,q］的長度為q-p).【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).【分析(1)由題意可得-a-3=x2-4x在［-1,1］上有解，求得y=x2-4x在［-1,1］的最值，即可得到所求a的范圍；(2)對t討論，分t^2,t=0,0VtV2,tVO,運用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，結(jié)合區(qū)間的長度，解方程即可得到所求t的值.【解答】解：(1)函數(shù)y=f(x)在［-1,1］上存在零點，可得：x2-4x+a+3=0即-a-3=x2-4x在［-1,1］上有解，由y=x2-4x在［-1,1］上遞減，可得最小值為-3,最大值為5.即有-3W-a-3W5，解得-8WaW0；(2)函數(shù)y=f(x),xG［t,4］,當t±2時，區(qū)間［t,4］為增區(qū)間，即有函數(shù)的值域為［t2-4t+a+3,a+3］,__由a+3-(t2-4t+a+3)=7-2t,解得t=3+iP(3-；邁舍去);當t=0時，f(x)在［0,2］遞減，(2,4］遞增，可得最小值為-1,最大值為3.3-(-1)=4工7-2t；當tVO時，f(t)>f(4),f(x)在［t,4］的最小值為a-1,最大值為f(t)=t2-4t+a+3,由t2-4t+a+3-a+1=7-2t,即t2-2t-3=0,解得t=-1(3舍去)；當0VtV2時，f(t)Vf(4),f(x)在［t,4］的最小值為a-1,最大值為f(4)=a+3,3由a+3-a+1=7-2t，即7-2t-4=0,解得t=.綜上可得，存在常數(shù)t=3+】2,-1或〒，使區(qū)間D的長度為7-2t.已知數(shù)列｛an｝滿足條件：對任意的nGN*，點(1,n2)在函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+_+anxn(nGN*)2k2的圖象上，g(x)=',數(shù)列｛bn｝滿足％=三,bn+1=g(bn),nGN*,求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項公式；試比較f(寺)與bn的大小(其中nGN*)【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合.【分析】(1)將點(1,n2)代入函數(shù)解析式，求得Sn=n2,n±2時，由an=Sn-Sn_1,即可求得an=2n-1,驗證當n=1成立，由題意可知bn+1=,構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求得｛bn｝的通項公式；(2)將x=寺代入f(x)的解析式，利用“錯位相減法"求得f(寺)的解析式，與(1)所求的bn的通項公式,當n=1時,比較大小,當n±2,分別求得f(寺)與bn的極限值,即可比較大小.【解答】解：(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,

則Sn=a1+a2+a3+^+an=f(1)=n2,當n=1時，a]=S]=1,...當n±2時，an=Sn-Sn_1=n2-(n-1)22n-1,*.*n^2時，an=2n-1對于n=1也同樣適用，an=2n-1，nGN*.bn+1=g(bn)=匕+1，n丄1丄、丄1.??b-1=五a-1)，b-1=7cn+l2&1占???數(shù)列｛古-1｝是以寺為首項，號為公比的等比數(shù)列,]1-1=W)n，??也=-2數(shù)列｛an｝通項公式為an=2n-1，｛bn｝的通項公式叫二孑亍-;1111丄(2)f()=可+3乂孑+5乂￡+...+(2n-1)兩邊都乘以寺，可得寺f(￡)=(￡)2+3(￡)3+5(專)4+...+(2n-1)(號)n+1，兩式相減，得號f(號)=(號)+2(號)2+2(寺)3+...+2(寺)n-(2n-1)(寺)n+1,Ifl-(丄嚴一1]122*」，、1寸-(2n-1)(亍)n+1，31=空-(2n+3)(可)n+1，則f(亍)=3-(2n+3)(寺)n,nGN*bn=