基于直觀想象素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與思考-以指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)為例

基于直觀想象素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與思考-以“指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例

Summary：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》解讀對高中生明確指出需要加強六大核心學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。對于高一新生而言，數(shù)學(xué)無疑是復(fù)雜而抽象的。單純地講某一方面的學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)只會讓學(xué)生顯得枯燥無味，筆者希望通過學(xué)生易于操作的學(xué)習(xí)方式來引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考，潛移默化下加強學(xué)生的六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者發(fā)現(xiàn)，直觀想象在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中具有重要的地位，它與其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密不可分，在實際教學(xué)中，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，在新的教育局勢下，基于學(xué)科核心素養(yǎng)培育的教學(xué)實踐對學(xué)生個體未來的可持續(xù)發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義，筆者將以“指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例，以“直觀想象”能力素養(yǎng)作為主要對象，由點及面，最終全面落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，分享筆者在教學(xué)中的實踐與思考。Keys：直觀想象；核心素養(yǎng)；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)實踐1.教學(xué)設(shè)計1.1教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第四章4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一節(jié)，該節(jié)課是在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過直觀感知、類比觀察、操作確認(rèn)、推理論證進行學(xué)習(xí)，促進學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的發(fā)展。教學(xué)重點：會畫指數(shù)函數(shù)的圖象、得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。1.2教學(xué)目標(biāo)解析1)學(xué)生能夠通過類比冪函數(shù)的研究過程，按照“概念——圖象——性質(zhì)”的方向進行研究。落實邏輯推理素養(yǎng)；2)學(xué)生能運用描點法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象；用圖象來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，落實直觀想象及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；3)學(xué)生能夠結(jié)合實例，體會從特殊到一般的研究問題的方法，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體性。4)學(xué)生能夠利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)比較大小關(guān)系，落實數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；5)學(xué)生能夠通過數(shù)形結(jié)合，通過應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象解決實際問題，進一步由圖象理解指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，落實數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。1.3學(xué)生學(xué)情分析高一的學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了函數(shù)的概念、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，以及冪函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生有了一定的類比模仿能力，能夠自主通過列表、描點、連線畫圖，有一定的自主探究學(xué)習(xí)能力，所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)主要采取小組合作探究的方式進行學(xué)習(xí)，但學(xué)生類比學(xué)習(xí)的經(jīng)驗不夠豐富，較難主動從直觀圖形中提出問題的意識和能力，觀察也不夠全面，思維也不夠縝密，因此指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的探索需要學(xué)生的合作與老師的適當(dāng)引導(dǎo)。教學(xué)難點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納及應(yīng)用。突破難點的手段：教師需要在教學(xué)過程中善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的興奮點，從學(xué)生會畫的圖象出發(fā)，以問題導(dǎo)向，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，積極評價，不斷鼓勵他們說出觀察到的知識點，借助幾何直觀與動態(tài)演示，從學(xué)生已有的認(rèn)知水平與基礎(chǔ)入手，在以學(xué)生學(xué)習(xí)為主體的前提下加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。1.4教學(xué)實踐過程設(shè)計1)回歸舊知：指數(shù)函數(shù)的概念：一般的，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域為R2)創(chuàng)設(shè)問題情境我們接下來要研究什么？你能類比冪函數(shù)的研究過程說一下研究函數(shù)的一般步驟和方法嗎？答：函數(shù)概念——函數(shù)圖象——函數(shù)性質(zhì)”?！驹O(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生回顧以往研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的內(nèi)容和方法，提出研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究內(nèi)容和研究方法，為接下來其他函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定類比數(shù)學(xué)思想方法。3)課堂探索新知【小組合作探究一】：指數(shù)函數(shù)的圖象問題1：請用描點法畫出問題2：觀察右圖中的圖象，它們有什么關(guān)系？能否利用函數(shù)的圖象，畫出的圖象？結(jié)論：1.圖象關(guān)于y軸對稱；作函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱所得的圖象為的圖象底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生擁有一定的自主作圖能力，但缺乏探索的思路，以問題導(dǎo)向的方式指引學(xué)生通過特殊指數(shù)函數(shù)的圖象，觀察并歸納出指數(shù)函數(shù)圖象的特點，從特殊圖象歸納出底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，并進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，因為點（x，y）與點（-x，y）關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)上任意一點關(guān)于軸對稱的點都在函數(shù)的圖象上，根據(jù)這種對稱性，就可以利用一個函數(shù)的圖象，畫出另一個函數(shù)的圖象，比如利用函數(shù)的圖象，作關(guān)于軸對稱即可畫出的圖象。使學(xué)生體驗從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與整體性，發(fā)展學(xué)生直觀想象與邏輯推理能力?！拘〗M合作探究二】：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問題3：我們要研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能否直接由上面的兩種特殊的指數(shù)函數(shù)的圖象來直接歸納指數(shù)函數(shù)的圖象？答案：不能，特殊性不能推出一般性，但是可以通過特殊的實例來猜想指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)。問題4：探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們需要借助幾何畫板來畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，請同學(xué)們觀察的取值的不同，它所對應(yīng)的圖象的形狀是什么樣子的？可分為幾類？學(xué)生通過直觀觀察可以看到指數(shù)函數(shù)的圖形大致可分為兩類，一類是單調(diào)遞增且的取值是在的時候，一類是單調(diào)遞減且是在的時候。由此可初步讓學(xué)生先直觀畫出畫出兩類指數(shù)函數(shù)圖象。追問：（1）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的圖象位置、公共點、變化趨勢、定義域、值域和單調(diào)性如何？當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的情況又如何？比較與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，看看它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？將探索的結(jié)果填入下表?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生通過觀察幾何畫板所畫的圖，隨著的不同取值，直觀地比較不同指數(shù)函數(shù)的圖象，歸納它們的共同特征，并數(shù)形結(jié)合地抽象出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理核心素養(yǎng)?！拘〗M合作探究三】：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用例1：比較下列各題中兩個值的大小.；(2)；(3)學(xué)生小組進行討論，部分學(xué)生能很快觀察到(1)中兩個數(shù)的共同特點是同底不同指，由于有先前冪函數(shù)中利用單調(diào)性比較大小關(guān)系的做題前提，部分學(xué)生很快就能通過類比分析得出的結(jié)果，但是學(xué)生的解題格式還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，在引發(fā)學(xué)生分析結(jié)束后，老師需要給予例題示范過程，加強做數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性，隨之再由學(xué)生完成(2)題，而對于（3），學(xué)生會發(fā)現(xiàn)沒辦法直接用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷，需要老師引導(dǎo)學(xué)生通過直觀畫圖。分別畫出兩個圖象，并在圖象上分別標(biāo)出自變量為0.3和3.1時所對應(yīng)的兩個函數(shù)值和的位置，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察這兩個數(shù)的大小關(guān)系，并從圖象的角度提煉出可以利用函數(shù)y=和y=的單調(diào)性，以及“當(dāng)時，”這條性質(zhì)把它們的大小關(guān)系聯(lián)系起來。從而得出判斷不同底不同指的兩個數(shù)的方法?！驹O(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)后的第一次對性質(zhì)的應(yīng)用，為了加強學(xué)生的自主探究性，需要給足學(xué)生思考的空間，并鼓勵引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析，并且加強對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的培養(yǎng)，通過具體圖象直觀深刻掌握用構(gòu)造函數(shù)法解決同底不同指的兩個數(shù)比較大小及用搭橋比較法解決不同底不同指的兩個數(shù)比較大小。進一步深化指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用。練習(xí)：比較下列各題中兩個值的大?。?）（3）【設(shè)計意圖】促進學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識，并學(xué)會辨析在比較兩個數(shù)的大小中是選用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性還是冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷。從而拓寬比較兩個數(shù)大小關(guān)系的知識體系與方法。例2：如圖4.2-7.某城市人口呈指數(shù)增長.（1）根據(jù)圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）；（2）該城市人口從80萬人開始，經(jīng)過20年會增長到多少萬人?分析：（1）因為該城市人口呈指數(shù)增長，而同指數(shù)函數(shù)的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當(dāng)?shù)狞c計算倍增期.（2）要計算20年后的人口數(shù)，關(guān)鍵是要找到20年與倍增期的數(shù)量關(guān)系.解：（1）觀察圖4.2-7.發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過20年約為10萬人，經(jīng)過40年約為20萬人，即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，所以該城市人口每翻一-番所需的時間約為20年.（2）因為倍增期為20年，所以每經(jīng)過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經(jīng)過20年，該城市人口大約會增長到160萬人.【設(shè)計意圖】例2是針對指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用題，體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)與實際生活緊密結(jié)合的特點，體驗數(shù)學(xué)來自于生活，又服務(wù)于生活。使學(xué)生學(xué)習(xí)“有用的數(shù)學(xué)”。4)課后小組深化合作探究活動問題1：底數(shù)大小問題的探究老師將幾何畫板的具體操作教會學(xué)生，讓學(xué)生借助幾何畫板，在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象，并觀察指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)的關(guān)系？并歸納出指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小如何根據(jù)圖象判斷？結(jié)論：當(dāng)時，隨著的增大，的圖象越靠近軸。當(dāng)時，隨著的減少，的圖象越靠近軸。練習(xí)：已知的圖象如右圖所示，請將按照從小到大排序_____________________問題2：平移問題通過幾何畫板演示，觀察如何由的圖象快速畫出及的圖象？結(jié)論：向右（左）平移的單位可得到的圖象；向上（下）平移的單位可得到的圖象；練習(xí)：下列哪個是的圖象（）問題3：定點問題的探究已知函數(shù)過定點，則過什么定點？結(jié)論：只需令底數(shù)的指數(shù)為0，即可得到定點，即過定點練習(xí)：函數(shù)的圖象恒過定點（）B.C.D.【設(shè)計意圖】通過設(shè)置課后探究活動，借助幾何畫板等現(xiàn)代媒體技術(shù)，提高學(xué)生課后探究的自主性，延伸課堂知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)平臺不僅僅局限于課堂，更進一步加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用。更深層次提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，從而更進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。2.教學(xué)實踐思考基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計與實踐，以適合學(xué)生自主探究的環(huán)節(jié)，以問題層層導(dǎo)入的方式啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，通過類比分析，經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象的思維過程，學(xué)生們充分參與到知識的形成過程中，學(xué)習(xí)效果顯著，學(xué)習(xí)積極性增強，真正實現(xiàn)以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，并以此帶動學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培育。2.1教學(xué)目標(biāo)導(dǎo)向明確，指向核心素養(yǎng)的培養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)明確清晰，為教師的教和學(xué)生的學(xué)提供了清晰的方向指引，既重視了數(shù)學(xué)知識與技能的落實，又強調(diào)了數(shù)學(xué)思想方法的滲透以及落實學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價值。2.2問題導(dǎo)學(xué)指向明確，豐富學(xué)生活動經(jīng)驗整一節(jié)課的每個環(huán)節(jié)都是通過問題引領(lǐng)的方式，一步步指引學(xué)生有梯度地對每一知識點進行自主探究，結(jié)合學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，根據(jù)他們已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，合理設(shè)置問題導(dǎo)入情境，設(shè)計探究環(huán)節(jié)，注重指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的歸納的思維過程的引導(dǎo)，不斷豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗。2.3教學(xué)內(nèi)容設(shè)計有效，注重思維過程的形成教師在鉆研教材的時候，需要對教材做合理的處理，知識的產(chǎn)生過程需要順其自然，也就是每一個環(huán)節(jié)都需要順理成章，不能生搬硬套。學(xué)生學(xué)習(xí)過程過渡自然，才能對所學(xué)的知識更加深刻。比如在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，需要畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，學(xué)生是先畫出了兩種特殊函數(shù)的圖象，學(xué)生更容易從圖象上直觀觀察到這兩個函數(shù)是關(guān)于軸對稱的，而并非觀察到一般指數(shù)函數(shù)的圖象變化趨勢，因此，在活動探究一最終指向的知識內(nèi)容是底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱這一思維過程的產(chǎn)生。隨后再通過幾何畫板對的不同取值進行圖象的動畫演示，學(xué)生才能直觀觀察到指數(shù)函數(shù)的圖象變化趨勢分為兩類。進一步順理成章得出指數(shù)函數(shù)的一般圖象及相關(guān)性質(zhì)。教師就應(yīng)該基于教材，設(shè)計“思維過程的教學(xué)”，以恰時、恰點的問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，努力使學(xué)生經(jīng)歷完整的“獲得具體對象的圖象特征——指數(shù)函數(shù)的一般圖象——研究性質(zhì)——應(yīng)用拓展”過程，在這個過程不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2.4借助直觀手段提煉課后研究課題，延伸知識獲取平臺課堂的時間是有限的，但是知識的學(xué)習(xí)是無止境的，如果學(xué)生獲取知識的平臺只局限于課堂與老師的教與學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與核心素養(yǎng)不能很好地得到進一步提升。教師需要在課堂的學(xué)習(xí)內(nèi)容之中提煉研究課題，借助多媒體等直觀手段，讓學(xué)生利用課后以小組合作的形式完成課題的探究，深化課堂知識的理解，使學(xué)生知識的獲取平臺更加多樣化。更進一步地提升學(xué)生的思維能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者覺得基于直觀想象能夠改變原有事物的抽象狀態(tài)，使之具體化、形象化，使學(xué)生在進行數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不再只是面臨著復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號，而是通過簡單直觀的圖形，加強了數(shù)學(xué)問題的可視化程度，并且也可以通過直觀想象推動數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)。所以筆者會繼續(xù)鉆研教材，將直觀想象落到實處，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。[本文是廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2019年度課題“直觀想象素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究”（課題編號:201912008）階段性研究成果。]【Reference】史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀[