高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題下課件

(5)兩平面平行的判定①定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)α∥β.②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.(5)兩平面平行的判定1例1、7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD．A1AB1BC1CD1DGEF例1、7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平2例2、10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn).求證：平面D1EF∥平面BDG.例2、10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，3(6)兩平面垂直的判定①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.(6)兩平面垂直的判定4例3、已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn).（1）證明平面PED⊥平面PAB；例3、已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，5例4、在四面體中ABCD，，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：直線EF//面ACD（II）求證：面EFC⊥面BCDBCAFDE例4、在四面體中ABCD，6六、直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.六、直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩7七、存在性和唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過(guò)平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過(guò)兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).七、存在性和唯一性定理8九、射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.九、射影及有關(guān)性質(zhì)9高考題練習(xí)1．（本小題滿分12分）如圖：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F(xiàn)為棱BB1上一點(diǎn)，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。（I）若D為BC的中點(diǎn)，E為AD上不同于A、D的任意一點(diǎn)，證明EF⊥FC1；高考題練習(xí)1．（本小題滿分12分）102.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；·B1PACDA1C1D1BOH·2.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方113如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。

(I)證明平面EDB；

(II)證明平面EFD；

3如圖，在四棱錐中，底面AB124、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；4、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)135、已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分別為AD和CC1的中點(diǎn)，O1為下底面正方形的中心。（Ⅰ）證明：AF⊥平面FD1B1；5、已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，146、04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=根號(hào)2，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；（II）求證AM⊥平面BDF；6、04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的157、06（17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，底面ABCD，且，M、N分別為PC,PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證；

7、06（17）如圖，在四棱錐168、07（20）在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，，且，M是AB的中點(diǎn)．（I）求證：；8、07（20）在如圖所示的幾何體中，179、08(20)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，角BCF=角CEF=90度,AD=根號(hào)3,EF=2。（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；9、08(20)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相18預(yù)測(cè)題定向提高練習(xí)預(yù)測(cè)（1）線面平行+線面垂直已知線段矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB,PC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面PAD；（II）當(dāng)時(shí)，求證：平面PCD。預(yù)測(cè)題定向提高練習(xí)預(yù)測(cè)（1）線面平行+線面垂直19預(yù)測(cè)（2）線面平行+線面垂直如圖，已知正三棱柱中，，點(diǎn)D為A1C1的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面AB1D；（II）求證：平面AB1D。C1B1A1DC預(yù)測(cè)（2）線面平行+線面垂直C1B1A1DC20預(yù)測(cè)(3)線線垂直+線面平行如圖，在四棱錐中，（Ⅰ）求證：；（II）試在線段PB上找一點(diǎn)M，使平面PAD，并說(shuō)明理由。PDCB預(yù)測(cè)(3)線線垂直+線面平行PDCB21預(yù)測(cè)（4）線面垂直+線面平行+線面角如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面ABCD，，且PD與底面ABCD所成的角為45度。（Ⅰ）求證：平面PDC；（II）已知E為棱AB的中點(diǎn)，問(wèn)在棱PD上是否存在一點(diǎn)Q，使EQ平行于平面PBC?若存在，寫(xiě)出點(diǎn)Q的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，試說(shuō)明理由。預(yù)測(cè)（4）線面垂直+線面平行+線面角22PDCBAPDCBA23(5)兩平面平行的判定①定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)α∥β.②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.(5)兩平面平行的判定24例1、7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD．A1AB1BC1CD1DGEF例1、7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平25例2、10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn).求證：平面D1EF∥平面BDG.例2、10、如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，26(6)兩平面垂直的判定①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.(6)兩平面垂直的判定27例3、已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn).（1）證明平面PED⊥平面PAB；例3、已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，28例4、在四面體中ABCD，，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：直線EF//面ACD（II）求證：面EFC⊥面BCDBCAFDE例4、在四面體中ABCD，29六、直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.六、直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩30七、存在性和唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過(guò)平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過(guò)兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).七、存在性和唯一性定理31九、射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.九、射影及有關(guān)性質(zhì)32高考題練習(xí)1．（本小題滿分12分）如圖：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F(xiàn)為棱BB1上一點(diǎn)，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。（I）若D為BC的中點(diǎn)，E為AD上不同于A、D的任意一點(diǎn)，證明EF⊥FC1；高考題練習(xí)1．（本小題滿分12分）332.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；·B1PACDA1C1D1BOH·2.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方343如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。

(I)證明平面EDB；

(II)證明平面EFD；

3如圖，在四棱錐中，底面AB354、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；4、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)365、已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分別為AD和CC1的中點(diǎn)，O1為下底面正方形的中心。（Ⅰ）證明：AF⊥平面FD1B1；5、已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，376、04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=根號(hào)2，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；（II）求證AM⊥平面BDF；6、04（19）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的387、06（17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，底面ABCD，且，M、N分別為PC,PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證；

7、06（17）如圖，在四棱錐398、07（20）在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，，且，M是AB的中點(diǎn)．（I）求證：；8、07（20）在如圖所示的幾何體中，409、08(20)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，角BCF=角CEF=90度,AD=根號(hào)3,EF=2。（Ⅰ）求證：A