2021版高考數(shù)學(xué)：圓的方程含答案

/20D——4,25D——4,25E——亍25+5D+F=0,'1—D+F=O,解得l9+9—3D+3E+F=0,所以A,B,C三點確定的圓的方程為,25x2+y2—4x—-37一5=0.因為D(a,3)也在此圓上，所以a2+9一4a一25一5=0.所以a=7或a=—3(舍去).即a的值為7.]2.已知a$R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a—0表示圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是.(—2,—4)5[由已知方程表示圓，則a2=a+2,解得a=2或a=—1.當(dāng)a=2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.當(dāng)a=一1時，原方程為x2+y2+4x+8y一5=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+4)2=25，表示以(一2,—4)為圓心，半徑為5的圓.]:?「考點2與圓有關(guān)的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法形如尸匸b形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.x_a形如t=ax+by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.形如m=(x—a)i+(y—b)i形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2—4x+1=0.求丫的最大值和最小值；x求y—x的最大值和最小值；求x2+y2的最大值和最小值.［解］原方程可化為(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心，肩為半徑的圓.(i)y的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,y所以設(shè)X=k，即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時，=\‘3，解k2+l得k=±j3(如圖1).所以X的最大值為、最小值為一冷3.圖1圖2圖3y—x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，

縱截距b取得最大值或最小值，此時|2—0+"=\厲，解得b=—2±禍(如圖2).所以y—x的最大值為一2+乙；'6,最小值為一2—°J6.x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，x2+y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3).又圓心到原點的距離為錯誤!=2,所以x2+y2的最大值是(2+馮3)2=7+4\；3,x2+y2的最小值是(2—■\,'3)2=7—

與圓有關(guān)的斜率型、截距型、距離型最值問題一般根據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.已知點A(—1,0),B(0,2)，點P是圓C：（x—1）2+y2=1上任意一點，則APAB面積的最大值與最小值分別是（）1,D.21A.2,2-*B.2+乎,1,D.21C.\：54—.''5B［由題意知IABI=錯誤！=錯誤！，lAB：2x-y+2=0,由題意知圓C的圓心坐標(biāo)為（1,0）,???圓心到直線lAB的距離d=|2—±21=^.AB#4+15S^PAB的最小值為27X［字—1］=2—舟］利用對稱性求最值求解形如IPMI+IPNI(其中M,N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離.“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.已知圓C]：(x—2)2+(y—3)2=1,圓C2：(x—3)2+(y—4)2=9,M,N分別是圓C1，C上的動點，P為x軸上的動點，則IPMI+IPNI的最小值為()A.'2—4B「j!7—1C.6—2羽D.“：/17A[(圖略)P是x軸上任意一點，則IPMI的最小值為IPC1I-1,同理IPNI的最小值為IPC2I-3,則IPMI+IPNI的最小值為IPC1I+IPC2I-4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2，-3).所以IPC1I+IPC2I=IPC1/I+IPC2I^IC1/C2I=5V2,即IPMI+IPNI=IPC1I+IPC2I—425叮2-4.]本題在求解中要立足了兩點：（1）減少動點的個數(shù)，借助圓的幾何性質(zhì)化圓上任意一點到點（a,b）的距離的最大（?。┲禐閳A心到點（a，b）的距離加（減）半徑問題；（2）“曲化直”，即借助對稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和的最值問題解決.［教師備選例題］TOC\o"1-5"\h\z⑴設(shè)點P是函數(shù)y=—錯誤!圖象上的任意一點，點Q坐標(biāo)為(2a,a—3)(a$R),則PQI的最小值為.(2)已知A(0,2)，點P在直線x+y+2=0上，點Q在圓C：x2+y2—4x—2y=0上，則IPAI+IPQI的最小值是.(1)\/5—2(2)2冷5［(1)函數(shù)y=—錯誤!的圖象表示圓(x—l)2+y2=4在x軸及下方的部分，令點Q的坐標(biāo)為(x,y),fx—2a,x則［y=a—3得y=2"3，即x—2y—6=0,作出圖象如圖所示，由于圓心(1,0)到直線x—2y—6=0的距離d=錯誤!=錯誤!>2，所以直線x—2y—6=0與圓(x—1)2+y2=4相離，因此IPQI的最小值是5—2.(2)因為圓C:x2+y2—4x—2y=0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r=\/5的圓.設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為A'(m，n)，故卜2—0,山+。+口+卜2—0,n—2、m—01，[m=—4,解得]Qln=—2,故A'(—4,—2).連接A'C交圓C于Q(圖略)，由對稱性可知IPAI+IPQI=LVPI+IPQI三IA‘QI=LVCl—r=2\^.](20xx?上饒模擬)一束光線從點A(—3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x—2)2+(y—3)2=1上的最短路徑的長度是()A.4B.5C.5\\'2—1D.2禍—1C[根據(jù)題意，設(shè)A'與A關(guān)于x軸對稱，且A(—3,2),貝UA'的坐標(biāo)為(一3,—2)，又由A'C=\：‘25+25=5冷勺，則A'到圓C上的點的最短距離為5、：/2—1.故這束光線從點A(—3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C:(x—2)2+(y—3)2=1上的最短路徑的長度是5叮2—1,故選C.]:?考點3與圓有關(guān)的軌跡問題求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解.(20xx?衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(—1,0),B(3,0).求：直角頂點C的軌跡方程；直角邊BC的中點M的軌跡方程.［解］(1)法一：設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線，所以yH0.因為AC丄BC,所以kACkBC=~1,

又kAcx+rkBC又kAcx+rkBCyX^3,所以yy=x+1x—3化簡得x2+y2—2x—3=0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2+y2—2x—3=0(yH0).法二：設(shè)AB的中點為D,由中點坐標(biāo)公式得D(l,0),由直角三角形的性質(zhì)知ICDI=2|AB|=2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x—1)2+y2=4(yH0).⑵設(shè)M(x，y)，C(x0,y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標(biāo)公式得x=2,y=2，所以x°=2x—3,y°=2y.由⑴知，點C的軌跡方程為(x—1)2+y2=4(yH0),將x0=2x—3,y0=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4，即(x—2)2+y2=1.因此動點M的軌跡方程為(x—2)2+y2=1(yH0).此類問題在解題過程中，常因忽視對特殊點的驗證而造成解題失誤.［教師備選例題］已知過原點的動直線l與圓C］：x2+y2—6x+5=0相交于不同的兩點A,B.⑴求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程.［解］(1)由x2+y2—6x+5=0得(x—3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).

⑵設(shè)M(x,y),因為點M為線段AB的中點，yy所以C］M丄AB，所以kC1M?kAB=-1,當(dāng)xH3時可得?丄=~1,整理得11abx~3x+y2=4.又當(dāng)直線l與x軸重合時，M點坐標(biāo)為(3,0),代入上式成立.設(shè)直線l的方程為y=kx，與x2+y2—6x+5=0聯(lián)立，消去y得：(1+k2)x2—6x+5=0.49令其判別式2=(—6)2—4(1+k2)X5=0,得k2=5，此時方程為5x2—6x+5=5050,解上式得x=3,3￥x—2丿+y2因此3<xW3.3￥x—2丿+y2設(shè)定點M(-3,4)，動點N在圓x2+y2=4上運動，以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡.［解］如圖，設(shè)P(x,y),N(x0,y0),_(xy則線段OP的中點坐標(biāo)為-,-,V22丿線段MN的中點坐標(biāo)為(xO—3yO+41^^，丁.因為平行