《高等數(shù)學(xué)》 二考試大綱

《高等數(shù)學(xué)》（二）考試大綱課程編號(hào)：040201課程類別：公共必修總學(xué)時(shí)數(shù)：75-85學(xué)分?jǐn)?shù)：4.5一、考試對(duì)象本科理工科學(xué)生二、考試目的《高等數(shù)學(xué)》課程考試旨在考察一元微積分學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重考察學(xué)生對(duì)于基本概念和定理的理解與掌握、熟練的基本運(yùn)算能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決簡單的實(shí)際問題的能力，以及一定程度的抽象思維能力和邏輯推理能力。本門課程考核要求由低到高共分為“了解”、“掌握”、“熟練掌握”三個(gè)層次。其含義：了解，指學(xué)生能懂得所學(xué)知識(shí)，能在有關(guān)問題中認(rèn)識(shí)或再現(xiàn)它們；掌握，指學(xué)生清楚地理解所學(xué)知識(shí)（例如定理的條件與結(jié)論，公式的表述與使用范圍等），并且能在基本運(yùn)算和簡單應(yīng)用中正確地使用它們；熟練掌握，指學(xué)生能較為深刻理解所學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上能夠準(zhǔn)確、熟練地使用它們進(jìn)行有關(guān)推導(dǎo)和計(jì)算，以及分析解決較為簡單的實(shí)際問題。三、考試方法和考試時(shí)間1、考試方法：（校統(tǒng)考閉卷筆試）2、記分方式：百分制，滿分為100分3、考試時(shí)間：120分鐘4、試題總數(shù)：26題5、命題的指導(dǎo)思想和原則命題的總的指導(dǎo)思想是：全面考查學(xué)生對(duì)本課程的基本原理、基本概念和主要知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)、理解和掌握的情況。命題的原則是：題目數(shù)量多、份量小，范圍廣，最基本的知識(shí)一般要占60%左右，稍微靈活一點(diǎn)的題目要占20%左右，較難的題目要占20%左右。其中絕大多數(shù)是中小題目，即使大題目也不應(yīng)占分太多，應(yīng)適當(dāng)壓縮大題目在總的考分中所占的比例?？陀^性的題目應(yīng)占比較重的份量。6、題目類型（1）單項(xiàng)選擇題（在下列各小題的備選答案中，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的題號(hào)填入題干的括號(hào)內(nèi)。少選、多選不給分。每題2分，共20分）（2）填空題（每空3分，共15分）（3）計(jì)算題（八題，共46分）（4）應(yīng)用題（兩題，共15分）（5）證明題（每題4分，共4分）7、各類題目的特點(diǎn)及考試的目的(1)選擇題。是從一個(gè)問題的若干個(gè)答案中選出正確的答案。這類題目是把正確答案與相近的答案或似是而非的答案并列，它具有簡單、明確、客觀的特點(diǎn)。它是既容易得分，又容易丟分的題目。這類題目不需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)死記硬背，但對(duì)基本結(jié)論要理解準(zhǔn)確。用這類題目進(jìn)行考試的目的，主要是考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)理解的準(zhǔn)確程度。(2)填空題。一般來說有填寫內(nèi)容較少，而且十分準(zhǔn)確，并具有答案的唯一性特點(diǎn)。這是比較容易得分的題目。所填寫的內(nèi)容多半是一些基本原理的結(jié)論、條件；名詞概念的簡單解釋；表示一定意義的公式、字母；客觀規(guī)律等。用這類題目進(jìn)行考試的目的，主要是考查學(xué)生對(duì)一些最基本的知識(shí)能否做到少而精地理解、掌握和記憶。（3）計(jì)算題。要求根據(jù)相關(guān)定律、定理和公式，對(duì)所給出的數(shù)值或量進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算，得出正確答案。主要考查學(xué)生基本的計(jì)算技能以及一定的推理判斷能力和邏輯思維能力等。(4)應(yīng)用題。要求根據(jù)已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)知識(shí)，給出解答。主要考查學(xué)生基本的知識(shí)應(yīng)用能力及基本的計(jì)算技能。(5)證明題。要求根據(jù)已知條件，求證結(jié)論的成立。這類題目主要是考查學(xué)生對(duì)一些定理、命題和公式的掌握與運(yùn)用能力，綜合性強(qiáng)，有一定難度。這類題目的隱含條件不易發(fā)現(xiàn)，但往往又是解題的關(guān)鍵。8、答題要求同學(xué)們拿到考卷以后，首先要把各類題目的意思和要求弄清楚，切忌看錯(cuò)題目，所答非所問。對(duì)于各類題目的回答要求如下：（1）對(duì)于選擇題，要求選擇要正確，不可多選或漏選。（2）對(duì)于填空題，要求填寫要準(zhǔn)確，無需解釋。（3）計(jì)算題。要求解題思路清楚，步驟完整，格式規(guī)范化。這類題一般按演算步驟記分，如果計(jì)算結(jié)果不對(duì)，但演算步驟對(duì)了，仍可得一定分?jǐn)?shù)。計(jì)算題有很多題型，不同的題型有不同的解題方法。（4）應(yīng)用題。要求寫出已知條件，建立模型，求解答案。如果模型建立錯(cuò)誤，不得分。模型求解過程中的計(jì)算錯(cuò)誤，可酌情扣分。（5）證明題。答題時(shí)要求找出已知條件和求證結(jié)果之間的關(guān)系，找出推導(dǎo)的定理、公式、命題，再根據(jù)這些定理、公式、命題進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)的方法一般有論證、反證和數(shù)學(xué)歸納法。證明題有一定證明技巧，一定要靈活運(yùn)用。證明過程中，要求逐步地、條理清楚地寫出推導(dǎo)過程并注明所運(yùn)用的定理、命題。這類題一般按演算步驟記分。四、考試內(nèi)容、要求（一）、向量代數(shù)和空間解析幾何考試內(nèi)容:向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算向量的混合積兩向量垂直和平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程及其求法平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程?？荚囈螅?.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。3.掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4.掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。5.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。6.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。人了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。（二）、多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容:多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念全微分存在的必要條件和充分條件全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度的概念及其計(jì)算空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函數(shù)極值和條件極值的概念多元函數(shù)極值的必要條件二元函數(shù)極值的充分條件極值的求法拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用考試要求:1.理解多元函數(shù)的概念。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3.理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5.掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。7.了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。（三）、多元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容:二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分的關(guān)系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件已知全微分求原函數(shù)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分的關(guān)系高斯（GauSS）公式斯托克斯（STOKES）公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用考試要求:1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。2.掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。4.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。5.掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑元關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)6.了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分，會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分，且能夠建立曲面積分與曲線積分的聯(lián)系。7.了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。8.會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分，求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。（四）、無窮級(jí)數(shù)考試內(nèi)容:常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法比值審斂法、根值審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理絕對(duì)收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)問內(nèi)的基本性質(zhì)簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法函數(shù)可展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件麥克勞林（Maclaurin）展開式冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用函數(shù)的傅里葉（FOurier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷（Dlrichlei）定理函數(shù)在[一L，L]上的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)在[-L，L]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)考試要求:1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2.掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂性。3.會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和根值審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。4.會(huì)用交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理。5.了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7.掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)問內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。9.了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10.了解一些函數(shù)的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。11.了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用。12.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在[－L，L]上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，L]上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。（五）、常微分方程考試內(nèi)容:常微分方程的概念微分方程的解、通解、初始條件和特解變量可分離的方程齊次方程一階線性方程伯努利（BER——noulli）方程全微分方程可用簡單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Eu1er）方程包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組微分方程的冪級(jí)數(shù)解法微分方程（或方程組）的簡單應(yīng)用問題考試要求：1.了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。2.掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。3.會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程。4.會(huì)用降階法解一些方程（略）5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。8.了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。五、試題結(jié)構(gòu)（內(nèi)容、題型、分?jǐn)?shù)分配）序號(hào)題型考試內(nèi)容分?jǐn)?shù)分配備注1選擇