有限元第四章-一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論課件

第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論；有限元解的收斂性以及單元精度問題；本章的主要對(duì)象是函數(shù)：真實(shí)解是一個(gè)函數(shù)；基函數(shù)是一組函數(shù)；試探函數(shù)是某一類函數(shù)；有限元解是某類函數(shù)中使πP

取最小值的那一個(gè)函數(shù)。本章中：“元素”指的就是函數(shù)；“空間”就是具有某種性質(zhì)的函數(shù)的集合，即函數(shù)空間。第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論§4-1線性空間（向量空間）1.線性空間的定義滿足下列條件的空間E為線性空間(1)

x,y,zE有如下“加法”運(yùn)算（i）（ii）（iii）存在“零元素”

q

E

xE有（iv）

x

E

存在逆元素

–xE使(2)設(shè)Ｅ中的元素與實(shí)數(shù)域的元素有“數(shù)乘”運(yùn)算，即

x,y

E，a,b

K(實(shí)數(shù)域）（i）（ii）（iii）（iv）若Ｋ為實(shí)數(shù)域則Ｅ稱為實(shí)線性空間，Ｋ為復(fù)數(shù)域則Ｅ稱為復(fù)線性空間?！?-1線性空間（向量空間）1.線性空間的定義滿足例１C[a,b]

若、是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則也是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。故定義在[a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)線性空間。記作C[a,b]。

例２L2

（a,b）若、是（a,b）上平方可積的函數(shù)，即、存在則所以也是（a,b）上平方可積的函數(shù)。所有（a,b）上平方可積的函數(shù)組成一個(gè)線性空間，記作L2

(a,b)

。例３C1[a,b]若、、、在[a,b]上連續(xù)，則也在（a,b）上連續(xù)。所有函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)都在（a,b）上連續(xù)的函數(shù)組成一種線性空間，記作C1[a,b]。例１C[a,b]若、是[a,例４Rn

n維歐氏空間是線性空間，R2（二維平面）,R3（三維空間）是n維歐氏空間的特例。例５Pn(x)[a,b]定義在[a,b]上的n次多項(xiàng)式Pn(x)[a,b]C[a,b] 構(gòu)成線性空間。

2線性空間的維數(shù)(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)為線性空間Ｅ的n個(gè)元素（i）若存在不全為零的常數(shù)使得

則稱線性相關(guān)；

(ii)若僅當(dāng)才成立，則稱線性無關(guān)。(2)線性空間的維數(shù)若線性空間Ｅ滿足（i）任意n+1個(gè)元素一定線性相關(guān)。（ii）存在著n個(gè)線性無關(guān)的元素。則稱線性空間Ｅ的維數(shù)為n。例１若線性無關(guān)，則所有形式為

的試探函數(shù)組成n維線性空間。而所有形式為

的位移場(chǎng)則組成2n維線性空間。例２由于可以找出任意多個(gè)線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)（）所以Ｃ空間為無限維線性空間。Ｌ2空間也是無限維線性空間。例４Rnn維歐氏空間是線性空間，R2（二維3.線性空間的模（范數(shù)）（１）模的定義

當(dāng)線性空間E中的任意一個(gè)元素x可用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記作‖x‖（表示“大小”或“長(zhǎng)度”）稱為E空間為模線性空間或賦范線性空間，實(shí)數(shù)‖x‖稱為?；蚍稊?shù)。模的性質(zhì)如下：

(i)‖x‖≥0,僅當(dāng)x≡0時(shí)‖x‖=0(ii)對(duì)任一常數(shù)α有:‖αx‖=∣α∣?‖x‖(iii)對(duì)任意

x、y∈E有:

‖x+y‖≤‖x‖＋‖y‖（此式又稱三角不等式）?！瑇‖----------元素x

的“大小”，‖x-y‖--------兩個(gè)元素x、y之間的“距離”。

當(dāng)‖u-uh‖→0，設(shè)真實(shí)解為u，有限元解為uh，有限元解收斂于真實(shí)解。模的定義不同，收斂的意義也不同。3.線性空間的模（范數(shù)）（１）模的定義當(dāng)線例１在平面(Ｒ２)內(nèi)，向量x（x1,x2）可以有下列三種模的定義:例２設(shè)x,y

E則，IIx-y

II

可以表示這兩個(gè)元素的“接近程度”，若在R2空間中的兩個(gè)元素，x(1,1),

y(2,4)可以有如下模的定義:x

(1,1)

3y(2,4)圖４－１１在實(shí)數(shù)域內(nèi)，模與絕對(duì)值是等價(jià)的。例１在平面(Ｒ２)內(nèi)，向量x（x1,x2）可以有（２）兩種常用的模

①

一致模

若u∈C[a,b]，則u

必在[a,b]上取到最大值和最小值，故:②L2模若u∈L2(a,b)則存在，L2模定義為：按一致模收斂是一致收斂，按L2模收斂則是平均收斂。（２）兩種常用的模①一致模若u∈C[a,§4-2內(nèi)積空間（酉空間）１.內(nèi)積對(duì)于線性空間Ｅ

的每一對(duì)元素u、v

定義一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，稱為u、v

的內(nèi)積，記作（u、v），且滿足:(i)

（u、v）＝（v、u）（對(duì)稱性）(ii)對(duì)任一常數(shù)α有(αu,v)=α(u,v)（齊次性）(iii)對(duì)于u1、u2、v∈E有(u1+u2,v)=(u1,v)+(u2,v)

（可加性）(iv)(u,u)≥0僅當(dāng)u≡0時(shí)(u,u)=0。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。例

u(x),v(x)

C2[a,b]

至少存在以下四種形式的內(nèi)積：其中r(x)是[a,b]上的給定函數(shù)?！?-2內(nèi)積空間（酉空間）１.內(nèi)積對(duì)于線性空間Ｅ的每２.內(nèi)積模

在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)積來定義元素的模在內(nèi)積空間Ｅ中，u與v之間的距離可用內(nèi)積模表示3.正交性

內(nèi)積空間與一般線性空間的不同之處是可以用內(nèi)積來定義兩個(gè)元素之間的正交關(guān)系，函數(shù)之間的“正交”。若（u、v）＝０則稱u、v正交。模及正交性涵義取決于內(nèi)積的定義。

例１

若積分存在，可定義內(nèi)積則模的定義而u、v

正交的含義為：例如，在[0,π]上當(dāng)m≠n時(shí)sinmx與sinnx正交。２.內(nèi)積模在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)積來定義元素的模例２若ρ>0且積分存在而u、v

正交則意味著內(nèi)積模即通常理解的u、v以ρ為權(quán)正交。4.Schwarz不等式

設(shè)u、v

是內(nèi)積空間的兩個(gè)元素，t為任一實(shí)數(shù)，則tu-v

也是內(nèi)積空間的一個(gè)元素，顯然，它自身的內(nèi)積上式對(duì)任何實(shí)數(shù)

t都成立的充分必要條件是：即或Schwarz不等式對(duì)于a、b兩個(gè)向量Euclid空間的三角不等式例２若ρ>0且積分存在而u、v正交則意味著內(nèi)積模即5.收斂性與完備性（1）收斂性（賦范線性空間），若存在則，稱為點(diǎn)列的強(qiáng)極限，讀作：強(qiáng)收斂于，模的定義不同收斂的涵義不同。（2）完備性若E

空間中的每一個(gè)元素列收斂于

E

中的一個(gè)元素，則稱空間E

是完備的。

Hilbert空間---完備的內(nèi)積空間。Banach空間---完備的賦范線性空間。是Hilbert空間的子空間。是的子集。

5.收斂性與完備性（1）收斂性（賦范線性空間），若存在則，

許多數(shù)學(xué)物理問題的解存在于某一類函數(shù)空間中。換句話來說為了得到有意義的解，必需明確解的存在空間。即對(duì)組成解的函數(shù)的類型作一限定。值得注意的是，如果限制的過于嚴(yán)格會(huì)將一些解排除在外，限制過寬可能導(dǎo)致解無意義。

有限元解的存在空間為索伯列夫空間，是Hilbert空間的子空間。許多數(shù)學(xué)物理問題的解存在于某一類函數(shù)空間中?！?-3索伯列夫空間HK１.HK

空間的定義及實(shí)例廣義導(dǎo)數(shù)

當(dāng)k為非負(fù)整數(shù)時(shí)，HK(Ω)表示在定義域Ω內(nèi)，函數(shù)本身以及直到k階導(dǎo)數(shù)都平方可積的函數(shù)全體。

（１）若u(x)∈H1(0,L)，則積分xuu1u2u3u4u5x5x4x3x2x10圖4-2對(duì)于圖4-2所示的分段線性插值函數(shù)u(x)而言，顯然上兩式成立。在點(diǎn)x2、x3、x4

處，按通常的意義u’

不存在，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。補(bǔ)充定義：取兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的平均值作為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（廣義導(dǎo)數(shù)）。定義了廣義導(dǎo)數(shù)的空間就是完備的線性空間

在通過結(jié)點(diǎn)時(shí)不連續(xù)，有限跳躍量，在結(jié)點(diǎn)處為δ—函數(shù)。δ—函數(shù)本身可積，但平方不可積。結(jié)論：對(duì)于分段線性插值的函數(shù)u(x)而言：u∈H1(0,L)，但uH2(0,L)。§4-3索伯列夫空間HK１.HK空間的定義及實(shí)例（２）設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域，將Ω分成若干三角形的片（單元），取各三角形的項(xiàng)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值對(duì)單元內(nèi)的位移場(chǎng)進(jìn)行分片線性插值。函數(shù)u(x,y)在Ω上連續(xù)，且積分

x圖4-3y存在在單元邊界和結(jié)點(diǎn)處：?jiǎn)卧吔缟先∵吔鐑蓚?cè)的平均值，在結(jié)點(diǎn)處取包圍這個(gè)結(jié)點(diǎn)各單元的加權(quán)平均值（按各單元所占有的角度加權(quán)）為一δ函數(shù)結(jié)論：二維分片線性插值的函數(shù)u，有u∈H1(Ω)，但uH2(Ω)。（２）設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域，x圖4-3y存在在單元邊界和結(jié)點(diǎn)（３）在研究梁的彎曲時(shí)以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值作為結(jié)點(diǎn)參數(shù)，采用分段三次Hermite插值來構(gòu)造試探函數(shù)v(x)(圖4-4)。v(x)、v’(x)在

[0,L]上連續(xù)xvx1x2x3x4圖4-4存在在結(jié)點(diǎn)處：v’’’為一δ函數(shù)，平方以后不可積。結(jié)論：對(duì)于分段三次Hermite插值的函數(shù)v(x)有vH2(a,b)，但uＨ3(a,b)。＊HK空間中所提到的導(dǎo)數(shù)，都是指廣義導(dǎo)數(shù)。如果通常意義下的導(dǎo)數(shù)存在，它將與廣義導(dǎo)數(shù)完全一致。＊任何一個(gè)HK空間都是無限維線性空間。H2(Ω)是H1(Ω)的子空間；H３(Ω)是H２(Ω)的子空間又是H１Ω)的子空間。H０(Ω)只要求函數(shù)本身平方可積，與L2(Ω)是一回事。＊一般說來，用分片插值多項(xiàng)式定義的函數(shù)，在單元內(nèi)部的可微性都比較好。在整個(gè)區(qū)域上的可微性主要取決于插值函數(shù)在穿過單元邊界時(shí)的性質(zhì)。（３）在研究梁的彎曲時(shí)xvx1x2x3x4圖4-4存在在結(jié)點(diǎn)２.索伯列夫空間的模

設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域當(dāng)u∈H1(Ω)時(shí)，模的定義為：當(dāng)u∈H2(Ω)時(shí)，定義如此定義模的意義：若u為位移函數(shù)，則在討論收斂性時(shí)，若收斂一定意味著函數(shù)本身（位移）的收斂性，也包括了函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)（自然包括了應(yīng)力）的收斂性。

２.索伯列夫空間的模設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域當(dāng)u∈H1(３.索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身）

當(dāng)Ω為一平面二維區(qū)域時(shí)，半模的定義下：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)上兩式定義的半模描述了某一階廣義導(dǎo)數(shù)的“大小”。

４.能量模和能量?jī)?nèi)積

彈性體的變形能總是非負(fù)的，可以用一非負(fù)實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)。如果所加的位移約束條件使整個(gè)系統(tǒng)不能做剛體運(yùn)動(dòng)，那么只有在系統(tǒng)的位移恒為零時(shí)總變形能才等于零。在這種情況下就允許我們把變形能作為一種模的定義（能量模），并且由此受到啟發(fā)去定義能量?jī)?nèi)積。借用了數(shù)學(xué)上的模與內(nèi)積的概念，可以抽象的表達(dá)總勢(shì)能函數(shù)及分析解的性質(zhì)。３.索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身）當(dāng)Ω為一平將u,v的能量?jī)?nèi)積寫成D(u,v)u的能量模對(duì)于的軸向受拉桿（圖4-5），有Lf(x)x,u0圖4-5vx圖4-6

對(duì)于彈性基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)支梁（圖4-6），若支承剛度為k(x),則能量?jī)?nèi)積和能量模的平方分別為當(dāng)k≡0時(shí)，梁彎曲變形能能量?jī)?nèi)積能量模的平方將u,v的能量?jī)?nèi)積寫成D(u,v)u的能量模對(duì)于的Ωx,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問題

分別表達(dá)兩種不同的位移場(chǎng)能量模的平方能量?jī)?nèi)積Ωx,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問題分別表達(dá)兩種不同的位移場(chǎng)

外力f

在位移場(chǎng)u

上作的功也可表示為內(nèi)積形式(f,u)勢(shì)能駐值條件

這里u

泛指一般的位移場(chǎng)，而

f

則泛指一般外載荷。這樣借助能量?jī)?nèi)積和能量模的概念，我們就可以暫時(shí)擺脫問題的具體物理背景，而理論分析得到的結(jié)論將適用于任何一個(gè)具體的問題（橢圓型方程邊值問題）。

系統(tǒng)的總勢(shì)能寫成：泛定方程邊界條件初始條件偏微分方程的定解問題外力f在位移場(chǎng)u上作的功也可表示為§4-4插值逼近的誤差分析hP2(x)x1A1A2x2x3A3圖4-81.一維情況單元e為長(zhǎng)h

的區(qū)間，設(shè)真解u

∈H3(0,h)

A1、A2、A3

為曲線u(x)上的三個(gè)點(diǎn)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條二次曲線p2(x.)xu(x)u0研究以p2(x)

代替u(x)

造成的誤差

誤差函數(shù):在[0,h]上連續(xù)x1E(x)xx2x*1x30x*2圖4-9必存在兩個(gè)點(diǎn)x1*,

x2*

,x1<x1*<x2<x2*<x3

(圖4-9)使得x**xx*10x*2圖4-10因此又可以找到一點(diǎn)x**,

x1*<x**<x2*

(圖4-10)使得§4-4插值逼近的誤差分析hP2(x)x1A1A2x2x利用Schwarz不等式，則進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的半模與函數(shù)u

的三次導(dǎo)數(shù)半模之間的關(guān)系類似有放大積分區(qū)間函數(shù)u

對(duì)x

的三次導(dǎo)數(shù)的半模的平方利用Schwarz不等式，則進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的重要結(jié)論：（1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，有可能提高精度，但要受到函數(shù)本身（真解）可微性的限制。當(dāng)u∈HK(e)、(k≥2)

時(shí)采用k―1次多項(xiàng)式可以達(dá)到最高的精度(函數(shù)本身的誤差為hk(e))。再增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，精度當(dāng)然不會(huì)降低，但也未必能夠提高。當(dāng)u∈H1(e)時(shí)一般采用線性插值。（2）函數(shù)本身的精度最好，導(dǎo)數(shù)的精度低于函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，精度越低。2.一般情況若函數(shù)（真解）u

∈HK(e),(k≥2)。在單元內(nèi)用一個(gè)多項(xiàng)式逼近函數(shù)u；插值多項(xiàng)式記作πk―1u。其中下標(biāo)k―1

意味著插值多項(xiàng)式完全到k―1

次;重要結(jié)論：（1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，增加插值多項(xiàng)式次當(dāng)k≥2時(shí)有(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)當(dāng)k≥3時(shí)有

（2）當(dāng)u∈H3(e)時(shí)，可以采用二次插值多項(xiàng)式，提高收斂速度。當(dāng)u∈H1(e)時(shí)前述誤差估計(jì)式不能直接用，但仍可采有線性插值，函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的收斂性可以加以證明，但收斂速度可能較慢。

其中h

為單元直徑，即單元內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的最大距離，對(duì)三角形為最長(zhǎng)邊，對(duì)矩形為對(duì)角線。C

代表與u

和、h

無關(guān)、只與單元形狀（對(duì)三角元指內(nèi)角，對(duì)矩形元指長(zhǎng)寬比）有關(guān)的常數(shù)。

（1）當(dāng)u∈H2(e)時(shí)，采用完全到一次項(xiàng)的多項(xiàng)式，當(dāng)h→0時(shí)函數(shù)誤差為Ο(h2)階，一階導(dǎo)數(shù)誤差為Ο(h)階。

有限元解的誤差不僅取決于插值多項(xiàng)式次數(shù)，而且有賴于真實(shí)解的可微性（實(shí)際的位移場(chǎng)的平緩性）。當(dāng)k≥2時(shí)有(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)當(dāng)§4-5廣義解的可微性角點(diǎn)１.有限元解的容許空間橢圓型方程邊值問題的總勢(shì)能函數(shù)為：

滿足強(qiáng)制性邊界條件和協(xié)調(diào)條件、且使總勢(shì)能取駐值（最小值）的u稱為在Ritz意義下的廣義解。二階問題：

D(u,u)

可能包括u

和u

的一階導(dǎo)數(shù)，為使πP存在必須要求u∈H1(Ω)。H1(Ω)稱為二階問題的容許空間。而四階問題的容許空間則是H２(Ω)。

u的能量?！?-5廣義解的可微性角點(diǎn)１.有限元解的容許空間2.廣義解可微性(解函數(shù)的平滑性)三方面的因素：材料性質(zhì)不連續(xù)、載荷不連續(xù)以及角點(diǎn)。(1)材料性質(zhì)不連續(xù)

假設(shè)求解區(qū)域Ω由兩種材料組成，材料分界線Г１是一光滑曲線。

只要在劃分單元時(shí)使Г１作為單元邊界，那么這種材料性質(zhì)的不連續(xù)雖然降低了廣義解在整個(gè)區(qū)域Ω上的可微性，卻不會(huì)降低在單元內(nèi)的可微性。(圖4-11)圖4-11Г１0yx(2)載荷不連續(xù)圖4-12一維二階問題（桿拉伸），允許內(nèi)部載荷為集中力二維二階問題（膜、平面應(yīng)力）不允許在Ω內(nèi)施加集中力（過分奇異）。二維四階問題（板彎曲）允許施加集中力。

取載荷不連續(xù)處作為單元邊界，這種不連續(xù)性就不致降低單元內(nèi)廣義解的可微性。2.廣義解可微性(解函數(shù)的平滑性)三方面的因素：材料性(3)角點(diǎn)FEDCBA(a)P2P1(c)P(b)圖4-13Ｐ(d)角點(diǎn)是指邊界上不光滑的點(diǎn)。在角點(diǎn)附近往往伴隨著應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力變化急劇。

采用逐步加密的單元網(wǎng)格，這種網(wǎng)格在奇點(diǎn)附近的單元取的很小，但只采用低階插值多項(xiàng)式；

在奇點(diǎn)附近的單元上假定具有某種奇異項(xiàng)的位移場(chǎng)（即，采用與遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)的單元不同的單元）。

在劃分單元時(shí)使分界線為單元邊界；取角點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，但是單元內(nèi)假設(shè)的多項(xiàng)式形式的插值函數(shù)仍然不能很好地逼近角點(diǎn)附近急劇變化的應(yīng)力場(chǎng)。

(3)角點(diǎn)FEDCBA(a)P2P1(c)P(b

在角點(diǎn)Ｐ附近挖出一個(gè)小扇形區(qū)，?。袨闃O點(diǎn)，則在極坐標(biāo)下泊松方程的形式為

薄膜問題

設(shè)角點(diǎn)附近的邊界為直線，沿此邊界施加

u=0

的邊界條件，扇形夾角φ＝απ(0<α≤2)代入方程可定出uk(r)

則u可能包含如下形式的奇異項(xiàng)

設(shè)位移函數(shù)為Ｐ在角點(diǎn)Ｐ附近挖出一個(gè)小扇形區(qū)，?。袨闃O點(diǎn)，則在第二種情況下，奇異性最嚴(yán)重的當(dāng)然是k=1的項(xiàng)扇形角φ

可能包含的奇異項(xiàng)

可能包含的奇異項(xiàng)

的可微性估計(jì)在第二種情況下，奇異性最嚴(yán)重的當(dāng)然是k=1的項(xiàng)扇形角φ２π（a）Pφφ(b)圖4-14在φ>π即出現(xiàn)凹角時(shí)，u不在屬于H2。φ=2π時(shí)，具有的奇異性，對(duì)應(yīng)的位移項(xiàng)為：平面應(yīng)力場(chǎng)的裂紋尖端存在著類似的情況（圖4-14(a)）對(duì)于固定——自由邊界的分界點(diǎn)上，通過對(duì)稱延拓，不難看出，與內(nèi)角為２φ的自由邊界相當(dāng)（圖4-14（b））

對(duì)于凹角（特別是對(duì)于裂紋），采用大致均勻的單元網(wǎng)格即使是采用高次插值多項(xiàng)式也不會(huì)在奇點(diǎn)附近取得較好的逼近效果（因?yàn)樵谄纥c(diǎn)附近，真實(shí)解與多項(xiàng)式相甚遠(yuǎn)），而且這種誤差會(huì)傳播到不包含奇導(dǎo)性的其他單元。在裂紋附近的單元中采用除完全的一次項(xiàng)外還可以增加相當(dāng)于的項(xiàng)的插值方式。

２π（a）Pφφ(b)圖4-14在φ>π即出現(xiàn)凹角時(shí)，u不§4-6協(xié)調(diào)位移單元的收斂性和誤差估計(jì)uShuhH1πu0圖4-151.有限元空間Sh

對(duì)于任何實(shí)際需要用有限元分析的問題首先要做到:(i)將區(qū)域Ω劃分為m個(gè)單元（在平面情況下可以是三角元或矩形元）。(iii)選擇每個(gè)單元內(nèi)的插值多項(xiàng)式。多項(xiàng)式滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求，且多項(xiàng)式的系數(shù)要能由單元所包括的結(jié)點(diǎn)參數(shù)唯一確定。(ii)配置好每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)，選擇好每個(gè)結(jié)點(diǎn)參數(shù)。對(duì)于二階問題總以結(jié)點(diǎn)函數(shù)值為結(jié)點(diǎn)參數(shù)，以下我們僅限于討論二階問題。

得到一組基函數(shù)φ1、φ2、…φn。它們滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求；每個(gè)基函數(shù)只在一個(gè)結(jié)點(diǎn)上為１，在其余結(jié)點(diǎn)上為零。

我們把形如u

=∑uiφi

（其中φi為定義的基函數(shù)，ui

任意常數(shù)）的函數(shù)全體稱為由基函數(shù)φ1、φ2、…φn張成的有限元空間，記作Sh。

Πu—以精確的結(jié)點(diǎn)參數(shù)值進(jìn)行插值所得到的分片插值函數(shù)。Sh

是一個(gè)有限維空間。uh

—有限元解，結(jié)點(diǎn)參數(shù)由δπP=0

定出，一般僅是近似值?！?-6協(xié)調(diào)位移單元的收斂性和誤差估計(jì)uShuhH1πu２.有限元解的投影關(guān)系(4-6-1)(4-6-2)(4-6-3)的勢(shì)能駐值條件可表示為：對(duì)任意

有

二階問題的真實(shí)解u

可以表述為：尋找一個(gè)u∈H1(Ω),

使得對(duì)任何δu∈H1(Ω)（記作δu∈H1(Ω)）都有

有限元解uh

則可表述為：尋找一個(gè)uh∈Sh，使得對(duì)

δu∈Sh

都有將（4-6-1）與（4-6-2）相減（4-6-3）表明：真實(shí)解u與有限元解uh

之差與Sh的任一元素在能量?jī)?nèi)積的意義下正交。（圖4-15）。換句話說：uh

是u在Sh上的投影。uShuhH1πu0圖4-15即在能量模意義下，uh是Sh

的所有元素中與u

“最接近”的一個(gè)元素。２.有限元解的投影關(guān)系(4-6-1)(4-6-2)(4對(duì)于πu

（由結(jié)點(diǎn)的精確值構(gòu)造的試探函數(shù)）有(4-6-4)證明如下：(4-6-5)所以有由于

上式說明了這樣的事實(shí)：πu（精確的結(jié)點(diǎn)參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在能量模的意義下并不比uh（由近似的結(jié)點(diǎn)參數(shù)值構(gòu)成的插值函數(shù)）在整個(gè)求解域內(nèi)更好（圖4-16）。圖4-16xuh

x1ux2x30對(duì)于πu（由結(jié)點(diǎn)的精確值構(gòu)造的試探函數(shù)）有(4-6-4３.收斂性證明

設(shè)真實(shí)解u

∈HK(Ω)，各單元的分片插值多項(xiàng)式完全到k－１次（k－1次稱為有限元空間Sh

的次數(shù)），有限元解為uh。對(duì)于二階問題，能量模最多同時(shí)包括函數(shù)及函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。對(duì)每個(gè)單元ei

都有(4-6-6)(4-6-7)誤差的能量模估計(jì):(4-6-8)(4-6-9)當(dāng)h→0時(shí)‖u-uh‖→0

函數(shù)的精度高于導(dǎo)數(shù)的精度

３.收斂性證明設(shè)真實(shí)解u∈HK(Ω)，有限元第四章-一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論課件35第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論；有限元解的收斂性以及單元精度問題；本章的主要對(duì)象是函數(shù)：真實(shí)解是一個(gè)函數(shù)；基函數(shù)是一組函數(shù)；試探函數(shù)是某一類函數(shù)；有限元解是某類函數(shù)中使πP

取最小值的那一個(gè)函數(shù)。本章中：“元素”指的就是函數(shù)；“空間”就是具有某種性質(zhì)的函數(shù)的集合，即函數(shù)空間。第四章一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論§4-1線性空間（向量空間）1.線性空間的定義滿足下列條件的空間E為線性空間(1)

x,y,zE有如下“加法”運(yùn)算（i）（ii）（iii）存在“零元素”

q

E

xE有（iv）

x

E

存在逆元素

–xE使(2)設(shè)Ｅ中的元素與實(shí)數(shù)域的元素有“數(shù)乘”運(yùn)算，即

x,y

E，a,b

K(實(shí)數(shù)域）（i）（ii）（iii）（iv）若Ｋ為實(shí)數(shù)域則Ｅ稱為實(shí)線性空間，Ｋ為復(fù)數(shù)域則Ｅ稱為復(fù)線性空間。§4-1線性空間（向量空間）1.線性空間的定義滿足例１C[a,b]

若、是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則也是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。故定義在[a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)線性空間。記作C[a,b]。

例２L2

（a,b）若、是（a,b）上平方可積的函數(shù)，即、存在則所以也是（a,b）上平方可積的函數(shù)。所有（a,b）上平方可積的函數(shù)組成一個(gè)線性空間，記作L2

(a,b)

。例３C1[a,b]若、、、在[a,b]上連續(xù)，則也在（a,b）上連續(xù)。所有函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)都在（a,b）上連續(xù)的函數(shù)組成一種線性空間，記作C1[a,b]。例１C[a,b]若、是[a,例４Rn

n維歐氏空間是線性空間，R2（二維平面）,R3（三維空間）是n維歐氏空間的特例。例５Pn(x)[a,b]定義在[a,b]上的n次多項(xiàng)式Pn(x)[a,b]C[a,b] 構(gòu)成線性空間。

2線性空間的維數(shù)(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)為線性空間Ｅ的n個(gè)元素（i）若存在不全為零的常數(shù)使得

則稱線性相關(guān)；

(ii)若僅當(dāng)才成立，則稱線性無關(guān)。(2)線性空間的維數(shù)若線性空間Ｅ滿足（i）任意n+1個(gè)元素一定線性相關(guān)。（ii）存在著n個(gè)線性無關(guān)的元素。則稱線性空間Ｅ的維數(shù)為n。例１若線性無關(guān)，則所有形式為

的試探函數(shù)組成n維線性空間。而所有形式為

的位移場(chǎng)則組成2n維線性空間。例２由于可以找出任意多個(gè)線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)（）所以Ｃ空間為無限維線性空間。Ｌ2空間也是無限維線性空間。例４Rnn維歐氏空間是線性空間，R2（二維3.線性空間的模（范數(shù)）（１）模的定義

當(dāng)線性空間E中的任意一個(gè)元素x可用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記作‖x‖（表示“大小”或“長(zhǎng)度”）稱為E空間為模線性空間或賦范線性空間，實(shí)數(shù)‖x‖稱為?；蚍稊?shù)。模的性質(zhì)如下：

(i)‖x‖≥0,僅當(dāng)x≡0時(shí)‖x‖=0(ii)對(duì)任一常數(shù)α有:‖αx‖=∣α∣?‖x‖(iii)對(duì)任意

x、y∈E有:

‖x+y‖≤‖x‖＋‖y‖（此式又稱三角不等式）。‖x‖----------元素x

的“大小”，‖x-y‖--------兩個(gè)元素x、y之間的“距離”。

當(dāng)‖u-uh‖→0，設(shè)真實(shí)解為u，有限元解為uh，有限元解收斂于真實(shí)解。模的定義不同，收斂的意義也不同。3.線性空間的模（范數(shù)）（１）模的定義當(dāng)線例１在平面(Ｒ２)內(nèi)，向量x（x1,x2）可以有下列三種模的定義:例２設(shè)x,y

E則，IIx-y

II

可以表示這兩個(gè)元素的“接近程度”，若在R2空間中的兩個(gè)元素，x(1,1),

y(2,4)可以有如下模的定義:x

(1,1)

3y(2,4)圖４－１１在實(shí)數(shù)域內(nèi)，模與絕對(duì)值是等價(jià)的。例１在平面(Ｒ２)內(nèi)，向量x（x1,x2）可以有（２）兩種常用的模

①

一致模

若u∈C[a,b]，則u

必在[a,b]上取到最大值和最小值，故:②L2模若u∈L2(a,b)則存在，L2模定義為：按一致模收斂是一致收斂，按L2模收斂則是平均收斂。（２）兩種常用的模①一致模若u∈C[a,§4-2內(nèi)積空間（酉空間）１.內(nèi)積對(duì)于線性空間Ｅ

的每一對(duì)元素u、v

定義一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，稱為u、v

的內(nèi)積，記作（u、v），且滿足:(i)

（u、v）＝（v、u）（對(duì)稱性）(ii)對(duì)任一常數(shù)α有(αu,v)=α(u,v)（齊次性）(iii)對(duì)于u1、u2、v∈E有(u1+u2,v)=(u1,v)+(u2,v)

（可加性）(iv)(u,u)≥0僅當(dāng)u≡0時(shí)(u,u)=0。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。例

u(x),v(x)

C2[a,b]

至少存在以下四種形式的內(nèi)積：其中r(x)是[a,b]上的給定函數(shù)?！?-2內(nèi)積空間（酉空間）１.內(nèi)積對(duì)于線性空間Ｅ的每２.內(nèi)積模

在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)積來定義元素的模在內(nèi)積空間Ｅ中，u與v之間的距離可用內(nèi)積模表示3.正交性

內(nèi)積空間與一般線性空間的不同之處是可以用內(nèi)積來定義兩個(gè)元素之間的正交關(guān)系，函數(shù)之間的“正交”。若（u、v）＝０則稱u、v正交。模及正交性涵義取決于內(nèi)積的定義。

例１

若積分存在，可定義內(nèi)積則模的定義而u、v

正交的含義為：例如，在[0,π]上當(dāng)m≠n時(shí)sinmx與sinnx正交。２.內(nèi)積模在內(nèi)積空間，可以直接利用內(nèi)積來定義元素的模例２若ρ>0且積分存在而u、v

正交則意味著內(nèi)積模即通常理解的u、v以ρ為權(quán)正交。4.Schwarz不等式

設(shè)u、v

是內(nèi)積空間的兩個(gè)元素，t為任一實(shí)數(shù)，則tu-v

也是內(nèi)積空間的一個(gè)元素，顯然，它自身的內(nèi)積上式對(duì)任何實(shí)數(shù)

t都成立的充分必要條件是：即或Schwarz不等式對(duì)于a、b兩個(gè)向量Euclid空間的三角不等式例２若ρ>0且積分存在而u、v正交則意味著內(nèi)積模即5.收斂性與完備性（1）收斂性（賦范線性空間），若存在則，稱為點(diǎn)列的強(qiáng)極限，讀作：強(qiáng)收斂于，模的定義不同收斂的涵義不同。（2）完備性若E

空間中的每一個(gè)元素列收斂于

E

中的一個(gè)元素，則稱空間E

是完備的。

Hilbert空間---完備的內(nèi)積空間。Banach空間---完備的賦范線性空間。是Hilbert空間的子空間。是的子集。

5.收斂性與完備性（1）收斂性（賦范線性空間），若存在則，

許多數(shù)學(xué)物理問題的解存在于某一類函數(shù)空間中。換句話來說為了得到有意義的解，必需明確解的存在空間。即對(duì)組成解的函數(shù)的類型作一限定。值得注意的是，如果限制的過于嚴(yán)格會(huì)將一些解排除在外，限制過寬可能導(dǎo)致解無意義。

有限元解的存在空間為索伯列夫空間，是Hilbert空間的子空間。許多數(shù)學(xué)物理問題的解存在于某一類函數(shù)空間中?！?-3索伯列夫空間HK１.HK

空間的定義及實(shí)例廣義導(dǎo)數(shù)

當(dāng)k為非負(fù)整數(shù)時(shí)，HK(Ω)表示在定義域Ω內(nèi)，函數(shù)本身以及直到k階導(dǎo)數(shù)都平方可積的函數(shù)全體。

（１）若u(x)∈H1(0,L)，則積分xuu1u2u3u4u5x5x4x3x2x10圖4-2對(duì)于圖4-2所示的分段線性插值函數(shù)u(x)而言，顯然上兩式成立。在點(diǎn)x2、x3、x4

處，按通常的意義u’

不存在，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。補(bǔ)充定義：取兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的平均值作為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（廣義導(dǎo)數(shù)）。定義了廣義導(dǎo)數(shù)的空間就是完備的線性空間

在通過結(jié)點(diǎn)時(shí)不連續(xù)，有限跳躍量，在結(jié)點(diǎn)處為δ—函數(shù)。δ—函數(shù)本身可積，但平方不可積。結(jié)論：對(duì)于分段線性插值的函數(shù)u(x)而言：u∈H1(0,L)，但uH2(0,L)?！?-3索伯列夫空間HK１.HK空間的定義及實(shí)例（２）設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域，將Ω分成若干三角形的片（單元），取各三角形的項(xiàng)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值對(duì)單元內(nèi)的位移場(chǎng)進(jìn)行分片線性插值。函數(shù)u(x,y)在Ω上連續(xù)，且積分

x圖4-3y存在在單元邊界和結(jié)點(diǎn)處：?jiǎn)卧吔缟先∵吔鐑蓚?cè)的平均值，在結(jié)點(diǎn)處取包圍這個(gè)結(jié)點(diǎn)各單元的加權(quán)平均值（按各單元所占有的角度加權(quán)）為一δ函數(shù)結(jié)論：二維分片線性插值的函數(shù)u，有u∈H1(Ω)，但uH2(Ω)。（２）設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域，x圖4-3y存在在單元邊界和結(jié)點(diǎn)（３）在研究梁的彎曲時(shí)以結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值作為結(jié)點(diǎn)參數(shù)，采用分段三次Hermite插值來構(gòu)造試探函數(shù)v(x)(圖4-4)。v(x)、v’(x)在

[0,L]上連續(xù)xvx1x2x3x4圖4-4存在在結(jié)點(diǎn)處：v’’’為一δ函數(shù)，平方以后不可積。結(jié)論：對(duì)于分段三次Hermite插值的函數(shù)v(x)有vH2(a,b)，但uＨ3(a,b)。＊HK空間中所提到的導(dǎo)數(shù)，都是指廣義導(dǎo)數(shù)。如果通常意義下的導(dǎo)數(shù)存在，它將與廣義導(dǎo)數(shù)完全一致。＊任何一個(gè)HK空間都是無限維線性空間。H2(Ω)是H1(Ω)的子空間；H３(Ω)是H２(Ω)的子空間又是H１Ω)的子空間。H０(Ω)只要求函數(shù)本身平方可積，與L2(Ω)是一回事。＊一般說來，用分片插值多項(xiàng)式定義的函數(shù)，在單元內(nèi)部的可微性都比較好。在整個(gè)區(qū)域上的可微性主要取決于插值函數(shù)在穿過單元邊界時(shí)的性質(zhì)。（３）在研究梁的彎曲時(shí)xvx1x2x3x4圖4-4存在在結(jié)點(diǎn)２.索伯列夫空間的模

設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域當(dāng)u∈H1(Ω)時(shí)，模的定義為：當(dāng)u∈H2(Ω)時(shí)，定義如此定義模的意義：若u為位移函數(shù)，則在討論收斂性時(shí)，若收斂一定意味著函數(shù)本身（位移）的收斂性，也包括了函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)（自然包括了應(yīng)力）的收斂性。

２.索伯列夫空間的模設(shè)Ω為一平面二維區(qū)域當(dāng)u∈H1(３.索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身）

當(dāng)Ω為一平面二維區(qū)域時(shí)，半模的定義下：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)上兩式定義的半模描述了某一階廣義導(dǎo)數(shù)的“大小”。

４.能量模和能量?jī)?nèi)積

彈性體的變形能總是非負(fù)的，可以用一非負(fù)實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)。如果所加的位移約束條件使整個(gè)系統(tǒng)不能做剛體運(yùn)動(dòng)，那么只有在系統(tǒng)的位移恒為零時(shí)總變形能才等于零。在這種情況下就允許我們把變形能作為一種模的定義（能量模），并且由此受到啟發(fā)去定義能量?jī)?nèi)積。借用了數(shù)學(xué)上的模與內(nèi)積的概念，可以抽象的表達(dá)總勢(shì)能函數(shù)及分析解的性質(zhì)。３.索伯列夫空間的半模（積分中不含函數(shù)自身）當(dāng)Ω為一平將u,v的能量?jī)?nèi)積寫成D(u,v)u的能量模對(duì)于的軸向受拉桿（圖4-5），有Lf(x)x,u0圖4-5vx圖4-6

對(duì)于彈性基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)支梁（圖4-6），若支承剛度為k(x),則能量?jī)?nèi)積和能量模的平方分別為當(dāng)k≡0時(shí)，梁彎曲變形能能量?jī)?nèi)積能量模的平方將u,v的能量?jī)?nèi)積寫成D(u,v)u的能量模對(duì)于的Ωx,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問題

分別表達(dá)兩種不同的位移場(chǎng)能量模的平方能量?jī)?nèi)積Ωx,uy,v圖4-7平面應(yīng)力問題分別表達(dá)兩種不同的位移場(chǎng)

外力f

在位移場(chǎng)u

上作的功也可表示為內(nèi)積形式(f,u)勢(shì)能駐值條件

這里u

泛指一般的位移場(chǎng)，而

f

則泛指一般外載荷。這樣借助能量?jī)?nèi)積和能量模的概念，我們就可以暫時(shí)擺脫問題的具體物理背景，而理論分析得到的結(jié)論將適用于任何一個(gè)具體的問題（橢圓型方程邊值問題）。

系統(tǒng)的總勢(shì)能寫成：泛定方程邊界條件初始條件偏微分方程的定解問題外力f在位移場(chǎng)u上作的功也可表示為§4-4插值逼近的誤差分析hP2(x)x1A1A2x2x3A3圖4-81.一維情況單元e為長(zhǎng)h

的區(qū)間，設(shè)真解u

∈H3(0,h)

A1、A2、A3

為曲線u(x)上的三個(gè)點(diǎn)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條二次曲線p2(x.)xu(x)u0研究以p2(x)

代替u(x)

造成的誤差

誤差函數(shù):在[0,h]上連續(xù)x1E(x)xx2x*1x30x*2圖4-9必存在兩個(gè)點(diǎn)x1*,

x2*

,x1<x1*<x2<x2*<x3

(圖4-9)使得x**xx*10x*2圖4-10因此又可以找到一點(diǎn)x**,

x1*<x**<x2*

(圖4-10)使得§4-4插值逼近的誤差分析hP2(x)x1A1A2x2x利用Schwarz不等式，則進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的半模與函數(shù)u

的三次導(dǎo)數(shù)半模之間的關(guān)系類似有放大積分區(qū)間函數(shù)u

對(duì)x

的三次導(dǎo)數(shù)的半模的平方利用Schwarz不等式，則進(jìn)一步可得到誤差函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)的重要結(jié)論：（1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，有可能提高精度，但要受到函數(shù)本身（真解）可微性的限制。當(dāng)u∈HK(e)、(k≥2)

時(shí)采用k―1次多項(xiàng)式可以達(dá)到最高的精度(函數(shù)本身的誤差為hk(e))。再增加插值多項(xiàng)式次數(shù)，精度當(dāng)然不會(huì)降低，但也未必能夠提高。當(dāng)u∈H1(e)時(shí)一般采用線性插值。（2）函數(shù)本身的精度最好，導(dǎo)數(shù)的精度低于函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，精度越低。2.一般情況若函數(shù)（真解）u

∈HK(e),(k≥2)。在單元內(nèi)用一個(gè)多項(xiàng)式逼近函數(shù)u；插值多項(xiàng)式記作πk―1u。其中下標(biāo)k―1

意味著插值多項(xiàng)式完全到k―1

次;重要結(jié)論：（1）適當(dāng)增加單元內(nèi)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，增加插值多項(xiàng)式次當(dāng)k≥2時(shí)有(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)當(dāng)k≥3時(shí)有

（2）當(dāng)u∈H3(e)時(shí)，可以采用二次插值多項(xiàng)式，提高收斂速度。當(dāng)u∈H1(e)時(shí)前述誤差估計(jì)式不能直接用，但仍可采有線性插值，函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的收斂性可以加以證明，但收斂速度可能較慢。

其中h

為單元直徑，即單元內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的最大距離，對(duì)三角形為最長(zhǎng)邊，對(duì)矩形為對(duì)角線。C

代表與u

和、h

無關(guān)、只與單元形狀（對(duì)三角元指內(nèi)角，對(duì)矩形元指長(zhǎng)寬比）有關(guān)的常數(shù)。

（1）當(dāng)u∈H2(e)時(shí)，采用完全到一次項(xiàng)的多項(xiàng)式，當(dāng)h→0時(shí)函數(shù)誤差為Ο(h2)階，一階導(dǎo)數(shù)誤差為Ο(h)階。

有限元解的誤差不僅取決于插值多項(xiàng)式次數(shù)，而且有賴于真實(shí)解的可微性（實(shí)際的位移場(chǎng)的平緩性）。當(dāng)k≥2時(shí)有(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)當(dāng)§4-5廣義解的可微性角點(diǎn)１.有限元解的容許空間橢圓型方程邊值問題的總勢(shì)能函數(shù)為：

滿足強(qiáng)制性邊界條件和協(xié)調(diào)條件、且使總勢(shì)能取駐值（最小值）的u稱為在Ritz意義下的廣義解。二階問題：

D(u,u)

可能包括u

和u

的一階導(dǎo)數(shù)，為使πP存在必須要求u∈H1(Ω)。H1(Ω)稱為二階問題的容許空間。而四階問題的容許空間則是H２(Ω)。

u的能量模§4-5廣義解的可微性角點(diǎn)１.有限元解的容許空間2.廣義解可微性(解函數(shù)的平滑性)三方面的因素：材料性質(zhì)不連續(xù)、載荷不連續(xù)以及角點(diǎn)。(1)材料性質(zhì)不連續(xù)

假設(shè)求解區(qū)域Ω由兩種材料組成，材料分界線Г１是一光滑曲線。

只要在劃分單元時(shí)使Г１作為單元邊界，那么這種材料性質(zhì)的不連續(xù)雖然降低了廣義解在整個(gè)區(qū)域Ω上的可微性，卻不會(huì)降低在單元內(nèi)的可微性。(圖4-11)圖4-11Г１0yx(2)載荷不連續(xù)圖4-12一維二階問題（桿拉伸），允許內(nèi)部載荷為集中力二維二階問題（膜、平面應(yīng)力）不允許在Ω內(nèi)施加集中力（過分奇異）。二維四階問題（板彎曲）允許施加集中力。

取載荷不連續(xù)處作為單元邊界，這種不連續(xù)性就不致降低單元內(nèi)廣義解的可微性。2.廣義解可微性(解函數(shù)的平滑性)三方面的因素：材料性(3)角點(diǎn)FEDCBA(a)P2P1(c)P(b)圖4-13Ｐ(d)角點(diǎn)是指邊界上不光滑的點(diǎn)。在角點(diǎn)附近往往伴隨著應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力變化急劇。

采用逐步加密的單元網(wǎng)格，這種網(wǎng)格在奇點(diǎn)附近的單元取的很小，但只采用低階插值多項(xiàng)式；

在奇點(diǎn)附近的單元上假定具有某種奇異項(xiàng)的位移場(chǎng)（即，采用與遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)的單元不同的單元）。

在劃分單元時(shí)使分界線為單元邊界；取角點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，但是單元內(nèi)假設(shè)的多項(xiàng)式形式的插值函數(shù)仍然不能很好地逼近角點(diǎn)附近急劇變化的應(yīng)力場(chǎng)。

(3)角點(diǎn)FEDCBA(a)P2P1(c)P(b

在角點(diǎn)Ｐ附近挖出一