次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定課件

二次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定

報(bào)告人：張銳

指導(dǎo)教授：井元偉教授

2009年5月20日二次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定1主要內(nèi)容引言

1二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立

2主要結(jié)果

3仿真研究

45結(jié)語(yǔ)

主要內(nèi)容引言1二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2引言二次規(guī)劃問題廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，無論是工程應(yīng)用、經(jīng)濟(jì)生活還是現(xiàn)代管理科學(xué)，優(yōu)化計(jì)算都起著關(guān)鍵作用。在現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算中,經(jīng)常需要進(jìn)行實(shí)時(shí)優(yōu)化計(jì)算。傳統(tǒng)的優(yōu)化計(jì)算技術(shù)因耗時(shí)過多而不能滿足此類優(yōu)化計(jì)算的需要。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有內(nèi)在的大規(guī)模并行運(yùn)算和快速收斂等特性，解決優(yōu)化問題的運(yùn)算時(shí)間比傳統(tǒng)算法快出很多。

引言二次規(guī)劃問題廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，無論是工程應(yīng)3引言神經(jīng)優(yōu)化計(jì)算的研究進(jìn)展1982年，Hopfield提出了著名的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

，引進(jìn)了能量函數(shù)的概念，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于優(yōu)化問題奠定了基礎(chǔ)。1986年，由Tank和Hopfield首次提出了解決線性規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。Kennedy和Chua為保證網(wǎng)絡(luò)收斂提出一個(gè)改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)模型，其中的能量函數(shù)是不精確的罰函數(shù)。只有當(dāng)罰參數(shù)趨于無窮大時(shí)，才可獲得優(yōu)化問題的近似解，且當(dāng)罰參數(shù)過大時(shí)，電路亦難以實(shí)現(xiàn)。引言神經(jīng)優(yōu)化計(jì)算的研究進(jìn)展4引言為避免罰函數(shù)存在的缺陷，文獻(xiàn)[4]給出了由兩個(gè)子系統(tǒng)組成的網(wǎng)絡(luò)模型，但該模型的解軌跡在最優(yōu)解附近攝動(dòng)，不能保證網(wǎng)絡(luò)的輸出為精確度較好的解?；趯?duì)偶和映射理論，Xia等人先后提出了原始-對(duì)偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，求解線性和二次規(guī)劃問題，但網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在電路實(shí)現(xiàn)中仍需要大量參數(shù)。以上研究都是在神經(jīng)元傳輸和瞬時(shí)響應(yīng)無時(shí)延的情況下進(jìn)行的。

引言為避免罰函數(shù)存在的缺陷，文獻(xiàn)[4]給出了由兩個(gè)子5引言時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究意義：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路實(shí)現(xiàn)中，時(shí)滯是不可避免的，時(shí)滯的存在可以導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，這是目前研究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的一個(gè)主要原因。時(shí)滯的存在能夠改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，從而可以利用人為引入的時(shí)滯來達(dá)到改變網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)行為的目的。所以，研究帶有時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題更具有實(shí)際價(jià)值

引言時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究意義：6引言

文獻(xiàn)[13-14]利用常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了二次規(guī)劃最優(yōu)解求解問題。考慮到時(shí)變時(shí)滯在電路實(shí)現(xiàn)中的普遍存在性，本文提出了一種變時(shí)滯Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二次規(guī)劃問題最優(yōu)解的求解方法。利用不等式技術(shù)和LMI技術(shù)，得到了全局指數(shù)穩(wěn)定的兩個(gè)條件。所得到的穩(wěn)定判據(jù)能夠適應(yīng)慢變時(shí)滯和快變時(shí)滯兩種情況，具有適用范圍寬、保守性小和易于驗(yàn)證等特點(diǎn)。通過幾個(gè)注釋說明和數(shù)值仿真示例驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性。引言文獻(xiàn)[13-14]利用常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)7二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立考慮如下二次規(guī)劃問題：

(1)其中：為設(shè)計(jì)變量，為半正定矩陣，，，。并且假設(shè)可行域?yàn)榉强占稀?/p>

定義Lagrange函數(shù)為：其中：為L(zhǎng)agrange乘子。

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立考慮如下二次規(guī)劃問題：8二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立根據(jù)KKT條件可知:是二次規(guī)劃問題(1)的解，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得滿足如下條件：

其中:為的梯度。令：則解決問題(1)的Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為：

，，(2)(3)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立根據(jù)KKT條件可9二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立時(shí)變時(shí)滯Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：其中：，時(shí)滯滿足，。

注1：在文獻(xiàn)[13-14]中，研究的是定時(shí)滯的Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解問題(1)。但是，定時(shí)滯是變時(shí)滯的理想化，所以本文建立的變時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)(4)來求解問題(1)更具有實(shí)際意義。

(4)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立時(shí)變時(shí)滯Lagrange10二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是網(wǎng)絡(luò)(4)的一個(gè)平衡點(diǎn)。為了方便，我們對(duì)網(wǎng)絡(luò)(4)做變換，則式(4)等價(jià)變換成：其中：，。

定義1：在區(qū)間上，對(duì)于任意有限的，如果存在標(biāo)量，，使得成立，則稱系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。(5)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是網(wǎng)絡(luò)(4)的一個(gè)11二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是一個(gè)在上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)于和，當(dāng)時(shí)有如下引理：引理1：若不等式成立，則有成立。引理2：給定任意對(duì)稱正定矩陣，標(biāo)量，向量函數(shù)，則有如下不等式成立二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是一個(gè)12二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立引理3：假設(shè),和為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且，則對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的向量和，有如下不等式成立:二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立引理3：假設(shè),和13主要結(jié)果定理1：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，使得如下LMI成立：則系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。其中：(6)

主要結(jié)果定理1：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，14主要結(jié)果證明：考慮如下Lyapunov泛函：其中：沿著網(wǎng)絡(luò)(5)的軌跡對(duì)求導(dǎo)，并根據(jù)引理2，有下式成立

(7)

(11)

(12)主要結(jié)果證明：考慮如下Lyapunov泛函：(7)15主要結(jié)果得到

其中如式(6)中所定義，且下面討論網(wǎng)絡(luò)(5)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。由式(13)可以得到：其中

(13)

(14)

主要結(jié)果得到(13)(14)16主要結(jié)果對(duì)式(14)兩邊求積分，得到

另外，從式(7)可知：其中

因此利用引理1，可知(15)

主要結(jié)果對(duì)式(14)兩邊求積分，得到(15)17主要結(jié)果利用式(7)和引理3，可得令則由式(15)可得

由定義1可知系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。主要結(jié)果利用式(7)和引理3，可得18主要結(jié)果注2：定理1是通過LMI方法得到的依賴時(shí)滯上界的指數(shù)穩(wěn)定條件，且穩(wěn)定條件通過MATLAB的LMI工具箱很容易得到驗(yàn)證。注3：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定性的研究中，許多文獻(xiàn)都是在Lyapunov泛函中增加一個(gè)指數(shù)因子的方法來證明的，且指數(shù)收斂率是通過求解一個(gè)超越方程得到的。與之不同，我們沒有引入指數(shù)因子，而是利用引理1來證明指數(shù)穩(wěn)定性的。指數(shù)穩(wěn)定證明過程被簡(jiǎn)化了，且指數(shù)收斂率也容易獲得。注4：式(6)不限定，也就是說定理1可應(yīng)用到快時(shí)變時(shí)滯，也可應(yīng)用到慢時(shí)變時(shí)滯。

主要結(jié)果注2：定理1是通過LMI方法得到的依賴時(shí)滯上界的指數(shù)19主要結(jié)果定理2：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，正定對(duì)稱矩陣，以及適當(dāng)維數(shù)矩陣，，，，使得如下LMI成立：(16)

主要結(jié)果定理2：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，20主要結(jié)果則系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定。其中：(17)

(18)

,,，,主要結(jié)果(17)(18),,，,21主要結(jié)果證明：選取Lyapunov泛函與定理1中的相同。利用Leibniz-Newton公式，對(duì)于任意的適當(dāng)維數(shù)矩陣，，有如下等式成立：對(duì)于任意的正定對(duì)稱矩陣

(20)

(21)

(22)主要結(jié)果證明：選取Lyapunov泛函與定理1中的相同。(22主要結(jié)果對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)矩陣，滿足如下等式：沿著網(wǎng)絡(luò)(5)的軌跡對(duì)求導(dǎo)，得到：

其中由式(16)-(18)，可知。余下證明部分與定理1相似。證畢。

(23)主要結(jié)果對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)矩陣，滿足如下等式：23仿真研究

考慮形如式(1)的二次規(guī)劃問題，其中：

該優(yōu)化問題具有唯一平衡點(diǎn)

若采用Lagrange網(wǎng)絡(luò)模型(3)來求解優(yōu)化問題，因?yàn)榫哂腥齻€(gè)特征值，神經(jīng)系統(tǒng)(3)將呈現(xiàn)周期解，見圖1，顯然系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不是穩(wěn)定的。仿真研究考慮形如式(1)的二次規(guī)劃問題，其中：24仿真研究

圖1：時(shí)的模型(5)的狀態(tài)軌跡

仿真研究圖1：時(shí)的模型(5)的狀態(tài)軌跡25仿真研究

現(xiàn)考慮網(wǎng)絡(luò)模型(5)，當(dāng)指數(shù)收斂速率為，為單位矩陣時(shí)，在時(shí)通過LMI求解本文定理2可得到LMIs中的各個(gè)矩陣。

狀態(tài)軌跡如圖2所示，由圖形中的狀態(tài)軌跡可知，網(wǎng)絡(luò)收斂到最優(yōu)解。

按照文獻(xiàn)[13]中的定理3計(jì)算得到的最大時(shí)滯上界為，文獻(xiàn)[14]中的定理1要求。顯然，本文的結(jié)果顯著改進(jìn)了文獻(xiàn)[13-14]中的結(jié)果。

仿真研究現(xiàn)考慮網(wǎng)絡(luò)模型(5)，當(dāng)指數(shù)收斂速率為26仿真研究

圖2：時(shí)的模型(5)的狀態(tài)軌跡

仿真研究圖2：時(shí)的模型(5)的狀態(tài)軌27結(jié)語(yǔ)

本文，提出了一種等式約束下二次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到兩種穩(wěn)定結(jié)果，所得結(jié)果具有能夠適應(yīng)快/慢時(shí)變時(shí)滯，保守性小和易于驗(yàn)證等特點(diǎn)。數(shù)值例子驗(yàn)證所提方法的有效性。結(jié)語(yǔ)本文，提出了一種等式約束下二次規(guī)劃問28謝謝謝謝29二次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定

報(bào)告人：張銳

指導(dǎo)教授：井元偉教授

2009年5月20日二次規(guī)劃問題的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定30主要內(nèi)容引言

1二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立

2主要結(jié)果

3仿真研究

45結(jié)語(yǔ)

主要內(nèi)容引言1二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)31引言二次規(guī)劃問題廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，無論是工程應(yīng)用、經(jīng)濟(jì)生活還是現(xiàn)代管理科學(xué)，優(yōu)化計(jì)算都起著關(guān)鍵作用。在現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算中,經(jīng)常需要進(jìn)行實(shí)時(shí)優(yōu)化計(jì)算。傳統(tǒng)的優(yōu)化計(jì)算技術(shù)因耗時(shí)過多而不能滿足此類優(yōu)化計(jì)算的需要。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有內(nèi)在的大規(guī)模并行運(yùn)算和快速收斂等特性，解決優(yōu)化問題的運(yùn)算時(shí)間比傳統(tǒng)算法快出很多。

引言二次規(guī)劃問題廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，無論是工程應(yīng)32引言神經(jīng)優(yōu)化計(jì)算的研究進(jìn)展1982年，Hopfield提出了著名的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

，引進(jìn)了能量函數(shù)的概念，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于優(yōu)化問題奠定了基礎(chǔ)。1986年，由Tank和Hopfield首次提出了解決線性規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。Kennedy和Chua為保證網(wǎng)絡(luò)收斂提出一個(gè)改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)模型，其中的能量函數(shù)是不精確的罰函數(shù)。只有當(dāng)罰參數(shù)趨于無窮大時(shí)，才可獲得優(yōu)化問題的近似解，且當(dāng)罰參數(shù)過大時(shí)，電路亦難以實(shí)現(xiàn)。引言神經(jīng)優(yōu)化計(jì)算的研究進(jìn)展33引言為避免罰函數(shù)存在的缺陷，文獻(xiàn)[4]給出了由兩個(gè)子系統(tǒng)組成的網(wǎng)絡(luò)模型，但該模型的解軌跡在最優(yōu)解附近攝動(dòng)，不能保證網(wǎng)絡(luò)的輸出為精確度較好的解?；趯?duì)偶和映射理論，Xia等人先后提出了原始-對(duì)偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，求解線性和二次規(guī)劃問題，但網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在電路實(shí)現(xiàn)中仍需要大量參數(shù)。以上研究都是在神經(jīng)元傳輸和瞬時(shí)響應(yīng)無時(shí)延的情況下進(jìn)行的。

引言為避免罰函數(shù)存在的缺陷，文獻(xiàn)[4]給出了由兩個(gè)子34引言時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究意義：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路實(shí)現(xiàn)中，時(shí)滯是不可避免的，時(shí)滯的存在可以導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，這是目前研究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的一個(gè)主要原因。時(shí)滯的存在能夠改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，從而可以利用人為引入的時(shí)滯來達(dá)到改變網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)行為的目的。所以，研究帶有時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題更具有實(shí)際價(jià)值

引言時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究意義：35引言

文獻(xiàn)[13-14]利用常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了二次規(guī)劃最優(yōu)解求解問題?？紤]到時(shí)變時(shí)滯在電路實(shí)現(xiàn)中的普遍存在性，本文提出了一種變時(shí)滯Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二次規(guī)劃問題最優(yōu)解的求解方法。利用不等式技術(shù)和LMI技術(shù)，得到了全局指數(shù)穩(wěn)定的兩個(gè)條件。所得到的穩(wěn)定判據(jù)能夠適應(yīng)慢變時(shí)滯和快變時(shí)滯兩種情況，具有適用范圍寬、保守性小和易于驗(yàn)證等特點(diǎn)。通過幾個(gè)注釋說明和數(shù)值仿真示例驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性。引言文獻(xiàn)[13-14]利用常時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)36二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立考慮如下二次規(guī)劃問題：

(1)其中：為設(shè)計(jì)變量，為半正定矩陣，，，。并且假設(shè)可行域?yàn)榉强占稀?/p>

定義Lagrange函數(shù)為：其中：為L(zhǎng)agrange乘子。

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立考慮如下二次規(guī)劃問題：37二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立根據(jù)KKT條件可知:是二次規(guī)劃問題(1)的解，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得滿足如下條件：

其中:為的梯度。令：則解決問題(1)的Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為：

，，(2)(3)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立根據(jù)KKT條件可38二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立時(shí)變時(shí)滯Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：其中：，時(shí)滯滿足，。

注1：在文獻(xiàn)[13-14]中，研究的是定時(shí)滯的Lagrange神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解問題(1)。但是，定時(shí)滯是變時(shí)滯的理想化，所以本文建立的變時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)(4)來求解問題(1)更具有實(shí)際意義。

(4)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立時(shí)變時(shí)滯Lagrange39二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是網(wǎng)絡(luò)(4)的一個(gè)平衡點(diǎn)。為了方便，我們對(duì)網(wǎng)絡(luò)(4)做變換，則式(4)等價(jià)變換成：其中：，。

定義1：在區(qū)間上，對(duì)于任意有限的，如果存在標(biāo)量，，使得成立，則稱系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。(5)

二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是網(wǎng)絡(luò)(4)的一個(gè)40二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是一個(gè)在上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)于和，當(dāng)時(shí)有如下引理：引理1：若不等式成立，則有成立。引理2：給定任意對(duì)稱正定矩陣，標(biāo)量，向量函數(shù)，則有如下不等式成立二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立設(shè)是一個(gè)41二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立引理3：假設(shè),和為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且，則對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的向量和，有如下不等式成立:二次規(guī)劃問題及變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立引理3：假設(shè),和42主要結(jié)果定理1：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，使得如下LMI成立：則系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。其中：(6)

主要結(jié)果定理1：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，43主要結(jié)果證明：考慮如下Lyapunov泛函：其中：沿著網(wǎng)絡(luò)(5)的軌跡對(duì)求導(dǎo)，并根據(jù)引理2，有下式成立

(7)

(11)

(12)主要結(jié)果證明：考慮如下Lyapunov泛函：(7)44主要結(jié)果得到

其中如式(6)中所定義，且下面討論網(wǎng)絡(luò)(5)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。由式(13)可以得到：其中

(13)

(14)

主要結(jié)果得到(13)(14)45主要結(jié)果對(duì)式(14)兩邊求積分，得到

另外，從式(7)可知：其中

因此利用引理1，可知(15)

主要結(jié)果對(duì)式(14)兩邊求積分，得到(15)46主要結(jié)果利用式(7)和引理3，可得令則由式(15)可得

由定義1可知系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。主要結(jié)果利用式(7)和引理3，可得47主要結(jié)果注2：定理1是通過LMI方法得到的依賴時(shí)滯上界的指數(shù)穩(wěn)定條件，且穩(wěn)定條件通過MATLAB的LMI工具箱很容易得到驗(yàn)證。注3：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定性的研究中，許多文獻(xiàn)都是在Lyapunov泛函中增加一個(gè)指數(shù)因子的方法來證明的，且指數(shù)收斂率是通過求解一個(gè)超越方程得到的。與之不同，我們沒有引入指數(shù)因子，而是利用引理1來證明指數(shù)穩(wěn)定性的。指數(shù)穩(wěn)定證明過程被簡(jiǎn)化了，且指數(shù)收斂率也容易獲得。注4：式(6)不限定，也就是說定理1可應(yīng)用到快時(shí)變時(shí)滯，也可應(yīng)用到慢時(shí)變時(shí)滯。

主要結(jié)果注2：定理1是通過LMI方法得到的依賴時(shí)滯上界的指數(shù)48主要結(jié)果定理2：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，正定對(duì)稱矩陣，以及適當(dāng)維數(shù)矩陣，，，，使得如下LMI成立：(16)

主要結(jié)果定理2：如果存在對(duì)稱正定矩陣,,和，49主要結(jié)果則系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定。其中：(17)

(18)

,,，,主要結(jié)果(17)(18),,，,50主要結(jié)果證明：選取Lyapunov泛函與定理1中的相同。利用Leibniz-Newton公式，對(duì)于任意的適當(dāng)維數(shù)矩陣，，有如下等式成立：對(duì)于任意的正定對(duì)稱矩陣

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