各類型中高難度全等三角形125題(答案版)

A【答案】:朋BC與iDCE都是等邊三角形BC=AC,CD=CE及ZACB=/DCE=600.?B,C,E三點共線??/BCD+/DCE=180-/BCA+/ACE=180。.BCD=.ACE=120在iBCD與iACE中BC=AC/BCD=/ACE ABCD里MCE,DC=EC.CAN=/CBM?/BCD=ZACE=120。/BCM=/NCE=60s.ACD=60在iBCM與AACN中BC=AC</BCM=ACN=60s iBCM里MCN,/.CM=CN./CBM/CAN如圖，點C為線段AB上一點，MCM、MBN是等邊三角形.請你證明：AN=BM;DE//AB;CF平分ZAFB.【答案】此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形.其中蘊含了許多等量關(guān)系./MCN=60與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯角及同位角相等；全等三角形推導出來的對應(yīng)角相等…推到而得的：/AFC=/BFC；AN=BM,CD=CE,AD=ME,ND=BE;AMIICN,CMIIBN；DE//ABAACN里加CB,AADC里AmCE,ANDC里加EC;如EC為等邊三角形.MCM、iCBN是等邊三角形，?MC=AC,CN=CB,/ACN=/MCB???AACN里AMCB,AN=BM(2)由MCN=dMCB易推得iNDC里型EC,所以CD=CE,又/MCN=60,進而可得MEC為等邊三角形.易得DE//AB.(3)過點C(3)過點C作CG_LAN于G,CH_LBM于H由AACN里JMCB,利用AAS進而再證舉CH里ANCD,可得/AFC=/BFC,故CF平分/AFB.如圖，點C為線段AB上一點，MCM、ACBN是等邊三角形，D是AN中點，E是BM中點，求證：ACDE是等邊三角形.【答案】MCN^^MCB,AN=BM,ZABM=/ANC又?「D、E分別是AN、BM的中點，.妮CE里iNCD,CE=CD,/BCE=/NCD/DOE./NOD./NCE/BCEZNCEZNCB=60???至DE是等邊三角形如下圖，在線段AE同側(cè)作兩個等邊三角形AABC和&CDE(/ACE<120°),點P與點M分別是線段與點M分別是線段BE和AD的中點，則iCPM是(A.鈍角三角形A.鈍角三角形C.等邊三角形B.直角三角形D.非等腰三角形【答案】易得MCD里iBCE.所以iBCE可以看成是MCD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60n而得到的.又M為線段AD中點,P為線段BE中點，故CP就是CM繞著點到的.又M為線段AD中點,得.所以CP=CM且，ZPCM=60°,故ACPM是等邊三角形，選C.已知：如圖，點C為線段AB上一點，MCM、ACBN是等邊三角形.CG、CH分別是MCN、加CB的高.求證：CG=CH.

MAC【答案】由MCN里州CB,利用AAS進而再證〃CH里州CD,可得到CG=CH.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.求證：AE=CG.【答案】?一.ADCZEDG.CDG=.ADE在iCDG和AADE中'CD=AD</CDG=/ADE ziCDG里MDE「.AE=CGDG二DE以叢BC的兩邊AB,AC為邊向外作正方形ABDE,ACFG,求證：CE=BG,且CE_LBG.【答案】易證欣EC里MBG,故ZACE=/AGB,又AC_LAG,/AOG=/BOC,故CE_LBG.如圖，在^ABC外面作正方形ABEF與ACGH,AD為乙ABC的高，其反向延長線交FH于M,求證：(1)BH=CF;(2)MF=MH

【答案】證明△ABHAFC;(1)作FP_LMD于P,HQ_LMD于Q,先證△AFP BAD,△ACDHAQ,再證△FPMHQM39.如圖1,若MBC和MDE為等邊三角形，M,N分別EB,CD的中點，易證：CD=BE,MMN是等邊三角形.39.(1)當把MDE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；(2)當MDE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，MMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，AADE與MBC及MMN的面積之比；若不是，請說明理由.【答案】(1)CD=BE.理由如下：??MBC和MDE為等邊三角形AB=AC,AE=AD,ZBAC=/EAD=60???/BAE=/BAC-ZEAC=600—/EAC,ZDAC=ZDAE-ZEAC=60S-ZEAC,?./BAE=/DAC,，AABE仁AACDCD=BEMMN是等邊三角形.理由如下：???MBE^AACD, ，/ABE=/ACD.??M、N分別是BE、CD的中點， BM=1BE=CD=CN2 2AB=AC,/ABE=/ACD,?.△ABM仁AACN.AM=AN,ZMAB=ZNAC./NAMZNACZCAMZMABZCAMZBAC=60Mmn是等邊三角形.設(shè)AD=a,則AB=2a.AD=AE=DE,AB=AC,CE=DE.??MDE為等邊三角形，./DEC=120°,/ADE=60ZEDCZECD=30

，在Rt9DC中，AD=a,/ACD=30s,CD=V3a.???N為DC中點,.3DN=2_a,

2MMN為等以三角鬢,?.△ADE…S'ADE：MMN為等以三角鬢,?.△ADE…S'ADE：解法二：,MBC,S'ABC,SAMNI:(2aj:￡a?=1:41=4:16:7

2 4MMN是等邊三角形.理由如下:???MBE^MCD,M、N分別是BE、CN的中點，AM=AN,NC=MB.AB=AC,/.MBM^MCN,/MAB=/NAC,.NAM=.NAC.CAM=.MAB.CAM=.BAC=60MMN是等邊三角形設(shè)AD=a,貝UAD=AE=DE=a,AB=BC=AC=2aTOC\o"1-5"\h\z易證BE_1_AC,BE=Jab2-AE2=J(2a)-a2=3a,'__22 _…EM=-3a'AM=Vem2+AE2'=1]—3aj+a2=-7a2 H2J12???AADE,MBC,…S>DE-???AADE,MBC,…S>DE-S'ABC,SAMN2 2 7 7=4:16:7=a:2a:一=4:16:72 4如圖所示.正方形ABCD中，在邊CD上任取一點Q,連AQ,過D作DP1AQ,交AQ于R，交BC于P,正方形對角線交點為O,連OP,OQ.求證：OP_LOQ.【答案】欲證OP_LOQ,即證明/COP+/COQ=90°.然而，NCOQ+/QOD=90°,因此只需證明/COP=/DOQ即可.這歸結(jié)為證明ACOP0ADOQ,又歸結(jié)為證明CP=DQ,最后，再歸結(jié)為證明MDQ色&DCP的問題.證明：在正方形ABCD中，因為AQ_LDP,所以，在Rt欣DQ與RtARDQ中有/RDQ=/QAD.所以，在RtMDQ與RtADCP中有AD=DC,/ADQ=/DCP=90二/QAD=/PDC,所以AADQ9iDCP()ASA,DQ=CP.又在ADOQ與"OP中，DO=CO,/ODQ=/OCP=45。所以MOQ9ACOPQSAS,/DOQ=/COP.從而/POQ=/COP+/COQ=/DOQ+/COQ=/COD=90s,即OP_LOQ.說明（1）利用特殊圖形的特殊性質(zhì)，?？砂l(fā)現(xiàn)有用的條件，如正方形對角線互相垂直,對角線與邊成45。角，及OA=OB=OC=OD等均在推證全等三角形中被用到.如圖所示，在等腰直角MBC的斜邊AB上取兩點M、N,使/MCN=45?,記AM=m,MN=x,BN=n,求證：以x、m、n為邊長的三角形的形狀是直角三角形.【答案】解法1:如圖所示，將ACBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACAD.連接MD,則AD=BN=n,CD=CN,ZACD=/BCN,故/MCD=/ACM+/ACD=ZACM+/BCN=90s-45°=45°=ZMCN,從而iMDC里iMNC,貝UMD=MN=x.而/DAM=45◎+45=90°,故在直角三角形iAMD中有m2+n2=x2.解法2：我們用上一講學習過的“對稱變換”也能得到解答.如圖所示，以CM為對稱軸將iCMA翻折到iCMP的位置.易證ACPN和至BN關(guān)于CN對稱，且APMN為直角三角形，并且可得PM=AM=m,PN=NB=n,MN=x.請閱讀下列材料：已知：如圖1在RtMBC中，/BAC=90°,AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若/DAE=45受探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把MEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到MBE',連結(jié)E'D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：⑴猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明;⑵當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，⑴中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.D圖2D圖2【答案】⑴DE2=BD2+EC2證明：根據(jù)MEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90口得到MBE*???MEC里MBE'??.BE'uEC,AE'=AE,/C=/ABE',/EAC=/E'AB在Rt.ABC中.AB=ACABC=/ACB=45/ABC/ABE=90即.EBD=90?.EB2BD2=ED2又「/DAE=45°BAD.EAC=45EAB.BAD=45即.EAD=45.AED9.AEDDE=DEDE2:BD2EC2⑵關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立證明：將MDB沿直線AD對折，得MFD,連FEAAFD9MBDAF=AB,FD=DB/FAD=/BAD,ZAFD=/ABD又.AB=AC,..AF=AC.FAE=.FAD.DAE=.FAD45EAC-?BAC--BAE=90'--DAE--DABV45':-DABZFAE/EAC又「AE=AE??AAFE里MCEFE=EC,ZAFE=/ACE=45sAFD=ABD=180'"ABC=135DFE=.AFDAFE=135-45=90.在RtADFE中DF2-FE2=DE2即DE2=BD2EC2

如圖所示，在五邊形ABCDE中，/B=/E=90%AB=CD=AE=BC+DE=1,求此五邊形的面積.【答案】我們馬上就會想到連接AC、AD,因為其中有兩個直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積并不容易，至此思路中斷 .我們回到已知條件中去，注意到 BC+DE=1,這一條件應(yīng)當如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時我們常用的“截長補短法”，那么可否把BC拼接到DE的一端且使EF=BC呢（如圖所示）？據(jù)此，連接AF,則發(fā)現(xiàn)MBC9MEF,且FD=1,AF=AC,AE=AB,MDF是底、高各為1的三角形，其面積為_1,而MCD與2MFD全等，從而可知此五邊形的面積為 1.【鞏固】在五邊形ABCDE中，已知AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180*,連接AD.求證：AD平分NCDE.【答案】連接AC.由于AB=AE,/ABC+ZAED=180°.我們以A為中心，將MBC逆時針旋轉(zhuǎn)到MEF的位置.因AB=AE,所以B點與

E點重合，而/AEF+/AED=/ABC+/AED=180白，所以D、E、F在一條直線上，C點旋轉(zhuǎn)后落在點F的位置，且AF=AC,EF=BC.所以DF=DE+EF=DE+BC=CD.在MCD與AAFD中，因為AC=AF,CD=FD,AD=AD,故MCD=MFD,因此/ADC=/ADF,即AD平分/CDE.如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,2BAE=/BCD=120°,ZABC+/AED=180°,連結(jié)AD。求證：AD平分/CDE?！敬鸢浮窟B結(jié)AC,把MBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120cl得&AEF,45.證明?MCD里45.證明?MCD里MFD,所以AD平分ZCDE如圖所示，伙BC是邊長為1的正三角形，ABDCD為頂點作一個60口的/MDN，點M、N分別在是頂角為12041的等腰三角形，以AB、AC上，求AAMN的周長.【答案】如圖所示，延長AC到E使CE=BM.在&BDM與ACDE中，因為BD=CD,ZMBD=/ECD=90。，BM=CE,所以iBDM里&CDE,故MD=ED.因為/BDC=1200,/MDN=60。，所以/BDM+/NDC=60s,又因為/BDM=/CDE,所以/MDN=/EDN=60二.在加ND與iEND中，DN=DN,ZMDN=/EDN=60。，DM=DE,所以加ND里iEND,則NE=MN,所以MMN的周長為2.46.在等邊陜BC的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點M,N,D為AABC外一點，且/MDN=60°,ZBDC=120，BD=CD,探究：當點M,N分別愛直線AB,AC上移動時，BM,BN,MN之間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長Q與等邊MBC的周長L的關(guān)系.時，BM時，BM,NC,MN之間的數(shù)時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還圖① 圖② 圖③⑴如圖①，當點M,N在邊AB,AC上，且DM=DN量關(guān)系式；此時-=L⑵如圖②，當點M,N在邊AB,AC上，且DM#DN成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；⑶如圖③，當點M,N分別在邊AB,CA的延長線上時，若AN=x，則Q=（用x,L表示）【答案】BM+NC=MN;Q=_2L3(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長AC至E,使CE=BM，連接DEBD=CD,且/BDC=120°,.DBC._DCB=30由iABC是等邊三角形，/MBD=/NCD=90口，「.AMBD AECD(SAS)DM=DE，/BDM=ZCDE,ZEDN=/BDC-ZMDN=60°在AMDN與全DN中

DM=DE.MDNu/EDNDN=DNAMDN9iEDN()SAS??MN=NE=NCBMMMN的周長Q=AM+AN+MN=(AM)(NC)ACANAE =AB+而等邊MBC的周長L=3AB.Q2r~3⑶2x2L347.,連接BD、DE、DF.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=BC,/A=NC=90°,ZB=1350,K、N分別是AB、BC上的點，若加KN的周長為AB的247.,連接BD、DE、DF.【答案】延長BC至F,使得CF=AB,在CF上取點E,使得CE=AKBKDBKDRtMDB仁RtMDB仁RtACDB???AADK里ACDEAD=CD?AD=CD,AK=CE,AB_LAD,BC_LCDDK=DEBK+BN+KN=2AB,BF=BN+EF+EN=2AB,EF=CF-CE=AB-AK=BKKN=EN???iNDK里iNDE/KDN=ZEDN=ZCDE+ZNDC=/CDE+ZADK./ABC=135° ZKDN=(180?—135^22.5電點評：本題的輔助線可以看作是將 MDB割下來，放到ACDF處，從而將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，進而利用線段之間的等量關(guān)系求解.

48. (1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，/B=/D=90s,E、F分別是邊BC、CD上的點，且ZEAF=!/BAD.求證：EF=BE+FD;2(2)如圖在四邊形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180*,E、F分別是邊BC、CD1 上的點，且ZEAF=_/BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.2(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180°,E,F分別是邊BC,CD延長線上的點，且ZEAF=1/BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成2立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】證明：延長EB到G，使BG=DF,聯(lián)結(jié)AG.ZABG=/ABC=/D=90s,AB=AD,???AABG里AADF.AG=AF,/1=/2.??Z1+N3=/2+/3=/EAF=1/BAD.2.GAE=/EAF.又AE=AE,MEG里AAEF.EG=EF.EG=BE+BG.??EF=BEFD(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立.(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，應(yīng)當是EF=BE+FD證明：在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.??ZB+/ADC=180°,ZADF+ZADC=180*,ZB=/ADF.??AB=AD,MBG里MDF.??/BAG=/DAF,AG=AF../BAG+/EAD=/DAF+/EAD=/EAF=41BAD2/GAE=/EAF.??AE=AE,??MEG里MEFEG=EFEG=BE-BG49. 如圖①，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn).(1)如圖②，當EF與AB相交于點M,GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM,FN的長度，猜想BM,FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；⑵若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M,線段BD的延長線與G的延長線相交于點N,此時，⑴中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

FF【答案】⑴BM=FN.證明如下：因為AGEF是等腰直角三角形，四邊形 ABCD是正方形,所以/ABD=/F=45°,OB=OF.又/BOM=/FON,所以AOBM里AOFN.即BM=FN.⑵BM=FN仍然成立.理由是：因為AGEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以/DBA=/GFE=450,OB=OF.所以/MBO=/NFO=135°,又/BOM=/FON,所以&OBM里AOFN.所以BM=FN.50.在六邊形ABCDEF50.在六邊形ABCDEF中，ZA=/B=/C=/D=/E=/F,AB=BC=CD,AF=DE,iCEF的面積等于六邊形ABCDEF面積的一半，求/ECF的度數(shù).AFEDAFED【答案】由于六邊形的內(nèi)角和為720）而六個內(nèi)角都相等，所以乙A=B=C=D=E=F=120由于至EF的面積是六邊形ABCDEF面積的一半，我們可以將六邊形中除去空EF，然后將剩下的部分設(shè)法拼在一起，當然，首要的任務(wù)是將 iCDE移動位置，與四邊形BCFA集中到一起，為此，以C為旋轉(zhuǎn)中心，將ACDE繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)120創(chuàng)配8￡1的位置.

ED事實上，ACBEi9ACDE(CB=CD,/BCE〔=NDCE,CEi=CE)ED事實上，ACBEi9ACDE(CB=CD,/BCE〔=NDCE,CEi=CE).而BEi=DE,NEiBC=/CDE=120*=ZABC,所以/EiBA=120°,NEiCE=/BCD=120°.設(shè)EiF交AB于M點，在iEiBM與&FAM中，由于EiB=DE=FA,/EiBM=/FAM=i20°,故任iBM9iFAM,則S在BM=S&AM,于是S氏EF=S&EF.i i/EiMB=/FMA,自F作FHICE于H,作FH」CEi于Hi,由于〔CEFH=〔CEFH,ii2 2而CE=CEi,故FH=FH「由于F點到ZEiCE兩邊的距離相等，所以.ECF-.ECF=iZECEJ/DCB=6051.如圖，ACIIDE,BCIIEF,AC=DE.求證：AF=BD.【答案】.ACIIDE,?.ZA=/D.BCIIEF,，/EFD=/CBA又-AC=DEMBC里AdfeAB=DFAB-FB=DF-BF即AF二BD如圖所示：ABIICD,AB=CD.求證：ADIIBC.

D【解析】連接BD,.「ABIICD,，/ABD=/CDB,利用SAS證明&ABD^ACDB,?./ADB=/CBD,..ADIIBC.如圖，AC、BD相交于。點，且AC=BD,AB=CD,求證：OA=OD.【答案】連接AD,根據(jù)SSS易得MBD^ADCA,進而得/ABD=NDCA.根據(jù)AAS易得MOB^ADOC,進而得OA=OD.已知MCB,ZB=/ACB,D,E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD=CE,連接DE交底BC于G,求證GD=GE.【答案】解法1:過E作EF//AB，交BC的延長線于F,則ZB=ZF「/3=/4/3=/B，/4=/F.?.CE=CF在AGEF與AGDB中，/1=/23DB=CE=EF.dBZF「.△gfe里Mbd DG=GE解法2:過D,E分別作直線DK_LCB,EF_LCB?/I=/2,Z2=BB../U/B.又.BD=CE.-.RtiBDK里ACEF..DK=EF又,「N3=24.,RtADKG里RtAEFG，GD=GE解法3:過D點作DKIIAC交BC于K過D點作DFIIBC交AC于F四邊形DKCF是開行四邊形.DK=FC-1=C?.ZC=/B，/1=NBDB=DK=CE=CFC是EF中點，??.BCIIDFG是DE中點，..DG=EG注(此題還有他法，可補充)55.如圖，AB,CD相交于點O,OA=OB,E、F為CD上兩點，AE//BF,55.CE=DF.求證：ACIIBD.【答案】 .AE//BF,.,.ZAEO=/BFO在△AEO和△BFO中:AOE=■BOF.：ZAEOZBFOOA=OB??.△AEOBFO(AAS),，OE=OF.CE=DF,OC=OP

在AAOC和ABOD中OA=OBNAOC乙BODOC=ODAOC叁'BOD(SAS),：.￡C=/D,..ACIIBD56.如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,E為CD中點，連結(jié)AE并延長AE交BC的延長線于點F.求證：FC=AD.56.【答案】.ADIIBC【答案】...F=.DAE又「/FEC=/AEDCE=DE???AFEC里MEDFC=AD57.如圖所示:AF=CD,BC=EF,AB=DE,/A=/D,求證：BC57.如圖所示:AF=CD,BC=EF,AB=DE,/A=/D,求證：BCIIEF.FD【答案】分別連接???BF二CEBF、CE、BE,禾1J用,利用SSS證得.：BFESAS證彳導MBF03DEC"ECB,.BEF=.EBC.BEF=.EBC,/.BCIIEF.58.已知：如圖，梯形

的延長線相交于點ABCD中，ADII58.已知：如圖，梯形

的延長線相交于點ABCD中，ADIIBC，點E是CD的中點,F.求證： ABCE里任DE.BE的延長線與AD【解析】???點E是DC中點DE=CE又.ADIIBC,F在AD延長線上，/DFE=/CBE,在iBCE與AFDE中J/EBC=/EFD?.△BCE9AFDE()AAS.ECB-.EDF?.△BCE9AFDE()AASCE=DE59.如圖，在叢BC59.如圖，在叢BC中，D是BC邊的中點,CFIIBE.求證：ABDE里ACDF.F,E分別是AD及其延長線上的點,60.60.【答案】 「CFIIBE,，/EBD=NFCD.又「/BDE=/CDF,BD=CD,「?△BDE仁ACDF.如圖，已知AB=DC,AD=BC,O是BD中點，過O點的直線分別交DA、BC的延長線于E,F.求證：ZE=/F【答案】由MBD^iCDB,得/1=/2,過而AEOD^AFOB,故/E=/F如左下圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點且AC=CE,F為AE的中點.求證：BF_LFD.【答案】如圖，連結(jié)CF.AC=CE,F為AE的中點CF_AE.EFB:_BFC=90??四邊形ABCD是矩形BC=AD,AB_LCE,/ABC=/BAD=90°F為AE的中點

??EF二AF.FBA=/FAB??/FAB+/BAD=,/FBA+/ABC,即/FBC=/FADAD=BC,FA=FB??廿BC里廿AD.AFD"BFC?..AFD十/EFB=90BF_LFD.AB的高，AB的高，D為BC的中點,如右下圖，在MBC中，BE、CF分別為邊ACDM_LEF于M.求證：FM=EM.【答案】如圖，連結(jié)DF、DE.??BE、CF分別為邊AC、AB上的高ZBECZBFC=90又.「□為BC上的中點??BD二CDDE=1BC,DF」BC2 2??DE=DF又1.DM_LEF,..EM=FM.63.63.已知：MBC中，AM是中線.求證：AM<1()AB十AC.2【答案】如圖所示，延長AM到D,使DM=AM,連結(jié)【答案】利用SAS證得MCM0&DBM,?.BD=ACMBD中，AD<AB+BD,，2AM<AB+AC??AMJ）ABAC2EE64.【解析】【答案】65.如圖，叢BC中，64.【解析】【答案】65.如圖，叢BC中，AB<AC,AD是中線.求證:/DAC</DAB.在△ABC中，AB=5,AC=9,則BC邊上的中線AD的長的取值范圍是什么?提示：中線倍長2:二AD：：:7【答案】延長AD至ijE,使AD=DE,連結(jié)【答案】BE.在MDC和AEDB中‘AD=ED2ADC=/EDB ..△ADC里AEDBDC二DB?AC=EB,/CAD=/BEA在MBE中，.ABvAC,AB<EBZAEB<ZEAB，，/DAC</DAB.（如果取AB中點用中位線也可證，目前還不能）A66.E是66.E是AD上一點，延長BE交AC如圖，已知在MBC中，AD是BC邊上的中線,于F,AF=EF,求證：AC=BE.GG【解析】延長AD到G,使DG=AD,連結(jié)BGE是E是AD上一點，且BE=AC,.BD=CD,ZBDG=NCDA,AD=GD???MDC里iGDBAC=GB.ZG=/EAF又「AF=EF,.--ZEAF=/AEF.G-.BEDBBE=BG,..BE=AC.如圖，已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，延長BE交AC于F,AF與EF相等嗎？為什么?【答案】延長AD到G，使DG=AD,連結(jié)BG-.BD=CD.BDG=CDAAD=GD?MDC=iGDB.AC=GB.GG=/EAF又???BE=AC,BE=BGNG=/BED,而/BED=/AEFZAEF=/FAE,故FA=FE.如圖，在MBC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF//AD交CA的延長線于點F,交AB于點G，若BG=CF,求證：AD為MBC的角平分線.【答案】延長FE到點H，使HE=FE，連結(jié)BH.在加EF和ABEH中CE=BEI, ,.CEF=,BEHFE=HE???ACEF仁iBEH?ZEFC=/EHB,CF=BH=BGNEHB=/BGE,而ZBGE=ZAGF.AFG=.AGF又???EF//ADZAFG=/CAD,ZAGF=/BAD.CAD=.BADAD為從BC的角平分線.MBC中，AB>AC,AD、AE分別是BC邊上的中線和/A的平分線，則AD和AE的大小關(guān)系是AD AE.（填>"、 W”或J”）【答案】題目中有兩個特殊條件可利用， ”看見中線就倍長，看見角平分線就翻折：其目的都是構(gòu)造全等，這里我們選擇前者，以實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，確定角的大小關(guān)系，并由大角對大邊轉(zhuǎn)化為邊的大小關(guān)系.如圖，延長AD至ijF,使DF=AD,連接CF.F因為BD=CD,AD=FD,/ADB=/CDF,所以MBD里廿CD,所以CF=AB,/BAD二ZCFD.在MFC中，CF=AB>AC.所以/CAD>ZCFD=/BAD,因為AE平分ZBAC,所以/CAE=1/CABA/BAD.2在MDE中，ZAED=/ECA+/CAE,/ADE=/DBA+/BAD,所以ZAED>ZADE.所以AD-AE.另解：因為AB>AC,AE是角平分線.所以￡B=BL>1,即BEACE.ACEC所以點E在點D右側(cè)，NAED=/C+/CAE,NADE=NB+/BAD,因為/C>/B,/CAE=/BAE>/BAD,所以.AED./ADE.所以AD>AE.在第二種解法中，使用的角平分線性質(zhì)，這也是看到角平分線這個條件時，?？梢月?lián)想到的結(jié)論.此法與前面的方法類似，首先利用邊的關(guān)系確定角的關(guān)系，推出新的角之間的大小關(guān)系，再尋求所求邊的關(guān)系.70.已知AM為AABC的中線，NAMB,2AMC的平分線分別交AB于E、交AC于70.F.求證：BE+CF>EF.【答案】延長FM到N，使MN=MF,連結(jié)BN、EN.易證ABNM^ACFM,?.BN=CF,又「/AMB,ZAMC的平分線分別交AB于E、交AC于F,??.ZEMF=/EMN=90°,利用SAS證明AEMNZ&EMF,，EN=EF,在AEBN中， BE+BN>EN,..BE+CF>EF.N71. 在RtMBC中，ZA=90◎，點D為BC的中點，點E、F分別為AB、AC上的點,且ED±FD.以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？【答案】延長FD到點G，使FD=GD,連結(jié)EG、BG.在iCDF和iBDG中CD=BDJ/CDF=/BDGFD=GD

??ACDF^iBDGBG=CF,ZFCD=/GBD--.A=90.ABC.ACB=90.ABC.GBD=90在AEDF和iEDG中ED=EDI,EDF=.EDG=90FD=GDAEDF仁iEDGEF=EG故以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個直角三角形.72.如圖所示，在MBC中，D是BC的中點，DM垂直于DN,