能級的簡并度課件

討論：1、能級的簡并度其中對能級及波函數(shù)n為主量子數(shù)由于所以而對于給定的角動量l，磁量子數(shù)m可有2l+1個取值，即因此屬于能級的所有簡并量子態(tài)數(shù)目為即對于給定的n（能級一定）而對于給定的l(等差數(shù)列)能級En的簡并度為比起一般中心力場的簡并度2l+1要高。一般中心力場粒子的能級依賴于量子數(shù)但庫侖場中,En粒只依賴于n,但是n=nr+l+1故能級En除了對m簡并，對l也是簡并的。所以庫侖場具有更高的對稱性。對稱元素越多,對稱性越高，簡并度越大從徑向方程的求解過程可以看出，這是導致的。可以證明，此時位置為確定。見下圖?；鶓B(tài)：n

=1,l

=0

—玻爾半徑1001電子出現(xiàn)在r=r1的單位厚度球殼層內(nèi)的概率最大3、幾率密度分布隨角度的變化顯然，幾率沿z軸旋轉(zhuǎn)對稱。因為Lz是守恒量，故可以用通過z軸的任意平面的曲線描述幾率分布隨θ角的變化。如zyzyzys電子p電子利用球坐標中容易求出的各分量對對磁矩的貢獻為其中是環(huán)面積。因此總磁矩為其中是細環(huán)的體積元。（光速c是由高斯單位制所帶來的常數(shù)）另外，由上式可知5、類氫離子共同特點：原子實一個核外電子+類氫離子，如上述結果也都適用。只需①核電荷+e→+Ze或e2→+Ze2②約化質(zhì)量μ→相應的約化質(zhì)量比如對能級公式作業(yè)：p189,1,3,4§4三維各向同性諧振子質(zhì)量為μ的粒子在勢場V(r)中運動ω是刻畫勢阱強度的參量。徑向方程為仍然采用自然單位來化簡方程?；癁閯t徑向方程上式出現(xiàn)兩個奇點：r=0為正則奇點；r=∞為非正則奇點必須把奇異性分離出來。r=0時徑向方程可寫為不滿足波函數(shù)在r=0處的有界條件Rl(r)有兩個解：但因解因此，只能取代入方程將式可知u(r)滿足令通過復合函數(shù)求導，上式化為這是合流超幾何方程，相應參數(shù)為方程有兩個線性獨立的解故有界解為不滿足束縛態(tài)邊界條件,所以必須使合流超幾何函數(shù)中斷為一個多項式,即α=0或負整數(shù)。歸一化后得此時nr表示徑向波函數(shù)的節(jié)點數(shù)。Nr=0，1，2的徑向波函數(shù)分別為討論：1、能級簡并度能級也是等間距的。這表現(xiàn)在但與一維諧振子不同，二維、三維諧振子能級是簡并的。同一個N，可有不同的nr，l這是V(r)

∝r2的結果。對于給定的EN或N,nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2可以看出,它高于一般中心力場中能級簡并度.比如這是由于三維各向同性諧振子場的幾何對稱性比一般中心力場的幾何對稱性要高。用分離變量法，哈密頓算符可寫為其中令相應的本征能量為其中則其中能級簡并度：

則(nx,ny)可能取值的數(shù)目(注意ny取值的個數(shù))由上式可以看出，滿足著三維諧振子的能級具有簡并特點。的

的值事實上不止一組，這意味對于給定N，利用有即當N給定時,nx可取0,1,2,…,N等N+1個值。所以可能取值的數(shù)目，即量子態(tài)數(shù)目（簡并度）為nx,ny都取定后,nz只有一種取法,即個取法。等當nx固定時，ny有0，1，2，…，對體系的兩個彼此不對易的守恒量F和G，若ψ是F和H的共同本征函數(shù)，則Gψ也是H的本征函數(shù),即體系的能級是簡并的，本征值均為E.根據(jù)能級簡并與守恒量關系的定理(p138)：因此在能級有簡并的情況下，定態(tài)波函數(shù)的選取是不唯一的。選ψ選守恒量完全集[F,H]選Gψ選守恒量完全集[H]這相當于選不同的守恒量完全集。在球坐標系中，力學量完全集為在直角坐標系中，力學量完全集為相應的量子數(shù)為其共