數(shù)學與應用數(shù)學本科畢業(yè)論文-分塊矩陣初步研究

本科畢業(yè)論文題目：分塊矩陣初步研究學院：數(shù)學與計算機科學學院班級：數(shù)學與應用數(shù)學2021級六班姓名：指導教師：職稱：副教授完成日期：2012年5月分塊矩陣初步研究摘要：文章初步探索總結(jié)分塊矩陣相關(guān)的幾類問題，包括用求矩陣的行列式問題,討論分塊矩陣的初等變換,用分塊矩陣求逆矩陣問題。關(guān)鍵詞：分塊矩陣;初等變換；行列式；可逆的分塊矩陣Abstract:Keyword:目錄1引言………………(1)2最短路……………()單源點最短路問題多源點最短路問題3最短路的應用4結(jié)語1引言在處理級數(shù)較高的矩陣時常用的方法是矩陣的分塊，有時候，我們把一個大矩陣看成是一些小矩陣組成的。就如矩陣時由數(shù)組成的一樣來處理，這就是所謂的矩陣的分塊。 2矩陣的初等變換2.1分塊矩陣的初等行〔列〕變換的定義與普通矩陣的初等行變換類似，分塊矩陣也有三種類型的初等行變換〔1〕：①把一個塊行的左L倍〔L是矩陣〕加到另一個塊行上；②換兩個塊行的位置；③用一個可逆矩陣左乘某一塊行。類似地有分塊矩陣的初等列變換：①把一個塊列的右L倍〔L是矩陣〕加到另一個塊列上；②互換兩個塊列的位置；③用一個可逆矩陣右乘某一塊列。2.2分塊矩陣的初等變換與分塊初等矩陣的關(guān)系把單位矩陣分塊得到的矩陣經(jīng)過一次分塊矩陣的初等行〔列〕變換得到的矩陣稱為分塊初等矩陣是三種不同類型的分塊初等矩陣〔其中X是可逆矩陣〕。通過直接計算可以驗證：用分塊初等矩陣左乘〔右乘〕一個分塊矩陣，就相當于對這個分塊矩陣作了一次相應的分塊矩陣的初等行〔列〕變換。分塊矩陣的初等行〔列〕變換有直觀的優(yōu)點，用分塊初等矩陣左乘〔右乘〕一個分塊矩陣可以得到一個等式，把兩者結(jié)合起來可以發(fā)揮出很大的威力。2.3分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩由于分塊初等矩陣是可逆矩陣，因此據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)和上述結(jié)論得到：分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。2.4符號約定本文用“r2+L·r1”〔“c2+c1·L〞〕表示把分塊矩陣第1塊行〔列〕的左〔右〕L倍加到第2塊行〔列〕上；用“r1圮r2”〔“c1圮c2”〕表示把分塊矩陣的第1塊行〔列〕和第2塊行〔列〕互換；用“L·r1”〔“c13分塊矩陣的行列式：設矩陣為m+n階矩陣,其中A,D分別為m與n階方陣,B為m×n矩陣,C為n×m矩陣,那么:=1\*GB3①當A可逆時，有==;=2\*GB3②當D可逆時，有==。證明：=1\*GB3①如果A可逆時，由乘法定律有：=左右兩邊取行列式有：因此有：=2\*GB3②如果D可逆時，由乘法定律有：=左右兩邊取行列式有：=因此可得：==性質(zhì)1：說A和B是m階矩陣和n階矩陣性質(zhì)2：設A為矩陣，B為矩陣〔〕于是有推論：在性質(zhì)1中，假設B=A,那么假設B=A那么，A為m階可逆方陣。性質(zhì)3：假設A是m階方陣，D是n階方陣，那么，P為m階方陣。性質(zhì)4：假設A是m階方陣，D是n階反復震，Q為矩陣那么：性質(zhì)5：假設A是m階方陣，D是n階方陣，那么：，由拉普拉斯定理易得。推論1：設A是m階方陣，D是n階方陣，那么假設A可逆，且AC=CA，那么推論2：==性質(zhì)7：例1：計算以下矩陣的行列式M=解：將M化為M=-I+I由降階公式得到==〔-1〕=〔-1〕例2：計算2n階行列式=解：令A=D=，B=C=那么D-CAB=-=從而=a(a-ba)=(a-b)例3：計算：解：令A=，B=，那么原行列式==〔y-4x〕y。例4：計算解：原式==-5.4分塊矩陣逆的幾種求法：=1\*ROMANI：初等變化法設r+s階方陣A=，其中，分別是r，s階可逆矩陣，那么A可逆，求A?解：利用廣義初等行變換故A=于是也可以證明r+s階方陣B=可逆，當中A，A分別是r，s階可逆矩陣，且B==2\*ROMANII：分解法假設是一個n階滿秩方陣，假設A中存在某一r階順序主子式且其不為零那么對A進行分塊令A=，就說A一定可以分解成一個下三角分塊矩陣L與一個上三角分塊矩陣V的乘積形式，L=，V=這里JJ分別為r×r，〔n－r〕×〔n－r〕階單位矩陣，有M=AA，N=－AAA＋A=3\*ROMANIII：方程組法假設n階可逆矩陣M=其中BB分別是k，n-k階可逆矩陣B，B分別是k×〔n-k〕，〔n-k〕×k階矩陣，求P解答：設M的逆矩陣R其中E，H分別是看，k，n-k階可逆矩陣，根據(jù)矩陣定義RR=I于是==故得一下方程組=1\*GB3①｛=2\*GB3②｛得：G=-BBEE=〔B-BBB〕將=2\*GB3②代入得G=-BB〔B-BBB〕H=〔B-BBB〕，F(xiàn)=-BB〔B-BBB〕故R==例5：試將下面兩個可逆矩陣化為初等矩陣的乘積：，解：=1\*GB2⑴用初等變換把A化為單位矩陣，即A=。｛PPPP｝=PPPP==2\*GB2⑵類似可得B的初等矩陣乘積為例6：設，求A。解法1：→→→A=。解法2：令B=，C=，由求逆公式可得=，〔ad-bc≠0〕B=，C=。用廣義初等變換求A如下〔A，E〕=→→→A==解法3：用解方程組，令B=，C=，那么A=。再令A=，由AA=E可得{解之得：Z=B，Z=C，Z=-CA==。參考文獻：【1】張禾瑞，郝鈵新，高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1979.【2】姚慕生，吳泉水，高等代