2020年中考備考復(fù)習(xí)地師課件：中點(diǎn)問題八種類型

中點(diǎn)問題八個類型

中點(diǎn)問題八個類型

1中點(diǎn)問題八個類型：構(gòu)造中位線；直角三角形斜邊中線；等腰三角形“三線合一”；垂直平分線性質(zhì)1、多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)2、直角＋斜邊中點(diǎn)3、等腰＋底邊中點(diǎn)4、同一邊遇垂直＋中點(diǎn)中點(diǎn)問題八個類型：構(gòu)造中位線；直角三角形斜邊中線；等腰三角形2被中線分割成的兩個小三角形面積相等；垂徑定理及圓周角定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式6、三角形面積＋中點(diǎn)7、圓+弦或弧的中點(diǎn)8.、平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)＋中點(diǎn)倍長中線構(gòu)造全等；5、中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段被中線分割成的兩個小三角形面積相等；垂徑定理及圓周角定理中3一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)時，構(gòu)造中位線在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，解決線段之間的相等或比例關(guān)系及平行問題.一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)時，構(gòu)造中位線在三角形中，如果有41.如左圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是(

)A.12B.14C.16D.18DB2.如右圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝BC，連接DF，EF，則EF的長為

.1.如左圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，5二已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即得到CD＝AD＝BD＝AB，而且可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，可簡記為“直角＋中點(diǎn)，等腰必出現(xiàn)”.二已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中，當(dāng)遇63.如左圖，在

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，且CD＝5，則△ABC的中位線EF的長是(

)A.4B.C.5D.C4.如右圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使，若AB＝10，則EF的長是（）A.5B.4C.3D.2A3.如左圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是A7三

等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，

利用“三線合一”性質(zhì)

如圖，等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時，常作邊的中線，利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質(zhì)得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD=CD,解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.三等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，如圖，等腰三角形中有85.如左圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，點(diǎn)E為垂足，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝16，則EF的長為

.86.如右圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的長為

.5.如左圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE9四

遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時，利用垂直平分線性質(zhì)如圖，當(dāng)三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時，可以考慮用垂直平分線性質(zhì)得到：AE=BE,證明線段間的數(shù)量關(guān)系。中點(diǎn)遇垂直，必等腰四遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時，如圖，當(dāng)三角形一邊垂線過107.如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=6,AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD=5,則

AE=_________7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=118.如圖，

在△ABC中,AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE,垂足為G.求證:DC=BE證明：連接DE,∵AD是高，CE是中線，∴DE=BE=AE,又G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE∴DE=DC∴DC=BE8.如圖，在△ABC中,AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的12五

遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，倍長中線法構(gòu)造全等三角形

如圖，當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)時，可以嘗試用倍長中線法構(gòu)造全等三角形，證線段間的數(shù)量關(guān)系，該類型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.五遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，倍長中139.如圖，已知AB＝24，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，AD＝10，BC＝20.若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長是

.F139.如圖，已知AB＝24，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)1410.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上15(證法1)證明：如解圖①，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG.∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB(SAS)．10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.∴BE＝BG，∴BE＝AC.∴AC＝GB，∠G＝∠EAF，又∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.(證法1)證明：如解圖①，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接1610.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∴AC＝GC.

∴AC＝BE.(證法2)證明：如解圖②，延長ED到點(diǎn)G，使得DG＝DE，連接CG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，∴△BED≌△CGD(SAS)．∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上17六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線，則S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.

(△ABD與△ACD是等底同高的兩個三角形)六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線，則S△ABD＝S18A11.在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝16，則S△DEF＝(

)A.2B.8C.4D.1A11.在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的19七

遇到圓中弦（或?。┑闹悬c(diǎn)，利用垂徑定理和圓周角定理（點(diǎn)E是弦AB的中點(diǎn)）（點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)）⌒如圖,(1)圓心O是直徑的中點(diǎn)，常與已知中點(diǎn)連接，或過點(diǎn)O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線解題.(2)圓中遇到弦的中點(diǎn)，聯(lián)想“垂徑定理”，出現(xiàn)

“四中點(diǎn)一垂直”解決相應(yīng)問題；(3))圓中遇到弧的中點(diǎn)，利用“一等四等”，

“垂徑定理”解決相應(yīng)問題；七遇到圓中弦（或?。┑闹悬c(diǎn)，利用垂徑定理和圓周角定理（點(diǎn)E2012.如左圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，AC=6,則OD的長為（）A.2B.3C.3.5D.413.如右圖，AB是半圓O的直徑，△ABC的兩邊AC,BC分別交半圓于D,E,且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，若∠BAC=50°，則∠C=________.B65°12.如左圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，13.如21八平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.設(shè)M(x,y)CD八平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知22C14.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(0，4)，那么線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

)A.(－1，－2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(1，2)15.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為點(diǎn)N，其坐標(biāo)為(3，2)，若端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7，3)，則端點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.(－1，1)B.(－2，4)C.(－2，1)D.(－1，4)AC14.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(0，4)，那23中點(diǎn)問題八個類型

中點(diǎn)問題八個類型

24中點(diǎn)問題八個類型：構(gòu)造中位線；直角三角形斜邊中線；等腰三角形“三線合一”；垂直平分線性質(zhì)1、多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)2、直角＋斜邊中點(diǎn)3、等腰＋底邊中點(diǎn)4、同一邊遇垂直＋中點(diǎn)中點(diǎn)問題八個類型：構(gòu)造中位線；直角三角形斜邊中線；等腰三角形25被中線分割成的兩個小三角形面積相等；垂徑定理及圓周角定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式6、三角形面積＋中點(diǎn)7、圓+弦或弧的中點(diǎn)8.、平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)＋中點(diǎn)倍長中線構(gòu)造全等；5、中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段被中線分割成的兩個小三角形面積相等；垂徑定理及圓周角定理中26一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)時，構(gòu)造中位線在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，解決線段之間的相等或比例關(guān)系及平行問題.一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行＋中點(diǎn)時，構(gòu)造中位線在三角形中，如果有271.如左圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是(

)A.12B.14C.16D.18DB2.如右圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝BC，連接DF，EF，則EF的長為

.1.如左圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，28二已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中，當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即得到CD＝AD＝BD＝AB，而且可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，可簡記為“直角＋中點(diǎn)，等腰必出現(xiàn)”.二已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中，當(dāng)遇293.如左圖，在

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，且CD＝5，則△ABC的中位線EF的長是(

)A.4B.C.5D.C4.如右圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使，若AB＝10，則EF的長是（）A.5B.4C.3D.2A3.如左圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是A30三

等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，

利用“三線合一”性質(zhì)

如圖，等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時，常作邊的中線，利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質(zhì)得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD=CD,解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.三等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，如圖，等腰三角形中有315.如左圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，點(diǎn)E為垂足，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝16，則EF的長為

.86.如右圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的長為

.5.如左圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE32四

遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時，利用垂直平分線性質(zhì)如圖，當(dāng)三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時，可以考慮用垂直平分線性質(zhì)得到：AE=BE,證明線段間的數(shù)量關(guān)系。中點(diǎn)遇垂直，必等腰四遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時，如圖，當(dāng)三角形一邊垂線過337.如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=6,AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD=5,則

AE=_________7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=348.如圖，

在△ABC中,AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE,垂足為G.求證:DC=BE證明：連接DE,∵AD是高，CE是中線，∴DE=BE=AE,又G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE∴DE=DC∴DC=BE8.如圖，在△ABC中,AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的35五

遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，倍長中線法構(gòu)造全等三角形

如圖，當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)時，可以嘗試用倍長中線法構(gòu)造全等三角形，證線段間的數(shù)量關(guān)系，該類型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.五遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，倍長中369.如圖，已知AB＝24，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，AD＝10，BC＝20.若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長是

.F139.如圖，已知AB＝24，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)3710.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上38(證法1)證明：如解圖①，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG.∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB(SAS)．10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.∴BE＝BG，∴BE＝AC.∴AC＝GB，∠G＝∠EAF，又∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.(證法1)證明：如解圖①，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接3910.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∴AC＝GC.

∴AC＝BE.(證法2)證明：如解圖②，延長ED到點(diǎn)G，使得DG＝DE，連接CG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，∴△BED≌△CGD(SAS)．∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上40六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線，則S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.

(△ABD與△ACD是等底同高的兩個三角形)六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線，則S△ABD＝S41A11.在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝16，則S△DEF＝(

)A.2B.8C.4D.1A11.在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的42七

遇到圓中弦（或?。┑闹悬c(diǎn)，利用垂徑定理和圓周角定理（點(diǎn)E是弦AB的中點(diǎn)）（點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)）⌒如圖,(1)圓心O是直徑的中點(diǎn)，常與已知中點(diǎn)連接，或過點(diǎn)O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線解題.