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中點(diǎn)問題八個類型
中點(diǎn)問題八個類型
1中點(diǎn)問題八個類型:構(gòu)造中位線;直角三角形斜邊中線;等腰三角形“三線合一”;垂直平分線性質(zhì)1、多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)2、直角+斜邊中點(diǎn)3、等腰+底邊中點(diǎn)4、同一邊遇垂直+中點(diǎn)中點(diǎn)問題八個類型:構(gòu)造中位線;直角三角形斜邊中線;等腰三角形2被中線分割成的兩個小三角形面積相等;垂徑定理及圓周角定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式6、三角形面積+中點(diǎn)7、圓+弦或弧的中點(diǎn)8.、平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)+中點(diǎn)倍長中線構(gòu)造全等;5、中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段被中線分割成的兩個小三角形面積相等;垂徑定理及圓周角定理中3一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)時,構(gòu)造中位線在三角形中,如果有中點(diǎn),可構(gòu)造三角形的中位線,利用三角形中位線的性質(zhì)定理:DE∥BC且DE=BC,△ADE∽△ABC,解決線段之間的相等或比例關(guān)系及平行問題.一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)時,構(gòu)造中位線在三角形中,如果有41.如左圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,且AB=8,MN=3,則AC的長是(
)A.12B.14C.16D.18DB2.如右圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=3,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使CF=BC,連接DF,EF,則EF的長為
.1.如左圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,5二已知直角三角形斜邊中點(diǎn),構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中,當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時,經(jīng)常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即得到CD=AD=BD=AB,而且可以得到兩個等腰三角形:△ACD和△BCD,可簡記為“直角+中點(diǎn),等腰必出現(xiàn)”.二已知直角三角形斜邊中點(diǎn),構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中,當(dāng)遇63.如左圖,在
Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,且CD=5,則△ABC的中位線EF的長是(
)A.4B.C.5D.C4.如右圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使,若AB=10,則EF的長是()A.5B.4C.3D.2A3.如左圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是A7三
等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),
利用“三線合一”性質(zhì)
如圖,等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時,常作邊的中線,利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質(zhì)得到:∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.三等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),如圖,等腰三角形中有85.如左圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,AE⊥CD,點(diǎn)E為垂足,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),若BD=16,則EF的長為
.86.如右圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點(diǎn),MN⊥AC于點(diǎn)N,則MN的長為
.5.如左圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,AE9四
遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時,利用垂直平分線性質(zhì)如圖,當(dāng)三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時,可以考慮用垂直平分線性質(zhì)得到:AE=BE,證明線段間的數(shù)量關(guān)系。中點(diǎn)遇垂直,必等腰四遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時,如圖,當(dāng)三角形一邊垂線過107.如圖,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,若CD=5,則
AE=_________7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=118.如圖,
在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE,垂足為G.求證:DC=BE證明:連接DE,∵AD是高,CE是中線,∴DE=BE=AE,又G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE∴DE=DC∴DC=BE8.如圖,在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的12五
遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段),倍長中線法構(gòu)造全等三角形
如圖,當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)時,可以嘗試用倍長中線法構(gòu)造全等三角形,證線段間的數(shù)量關(guān)系,該類型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.五遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段),倍長中139.如圖,已知AB=24,AB⊥BC于點(diǎn)B,AB⊥AD于點(diǎn)A,AD=10,BC=20.若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),則AE的長是
.F139.如圖,已知AB=24,AB⊥BC于點(diǎn)B,AB⊥AD于點(diǎn)1410.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上15(證法1)證明:如解圖①,延長AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG.∵BD=CD,∠BDG=∠CDA,AD=GD,∴△ADC≌△GDB(SAS).10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.∴BE=BG,∴BE=AC.∴AC=GB,∠G=∠EAF,又∵AF=EF,∴∠EAF=∠AEF,∵∠AEF=∠BED,∴∠G=∠BED.(證法1)證明:如解圖①,延長AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接1610.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.∴∠G=∠BED,BE=CG.∴AC=GC.
∴AC=BE.(證法2)證明:如解圖②,延長ED到點(diǎn)G,使得DG=DE,連接CG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴BD=CD.∵∠BDE=∠CDG,∴△BED≌△CGD(SAS).∵AF=EF,∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.∴∠G=∠EAF.10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上17六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線,則S△ABD=S△ACD=S△ABC.
(△ABD與△ACD是等底同高的兩個三角形)六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線,則S△ABD=S18A11.在△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為BC,AD,CE的中點(diǎn),且S△ABC=16,則S△DEF=(
)A.2B.8C.4D.1A11.在△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為BC,AD,CE的19七
遇到圓中弦(或?。┑闹悬c(diǎn),利用垂徑定理和圓周角定理(點(diǎn)E是弦AB的中點(diǎn))(點(diǎn)C是AB的中點(diǎn))⌒如圖,(1)圓心O是直徑的中點(diǎn),常與已知中點(diǎn)連接,或過點(diǎn)O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線解題.(2)圓中遇到弦的中點(diǎn),聯(lián)想“垂徑定理”,出現(xiàn)
“四中點(diǎn)一垂直”解決相應(yīng)問題;(3))圓中遇到弧的中點(diǎn),利用“一等四等”,
“垂徑定理”解決相應(yīng)問題;七遇到圓中弦(或?。┑闹悬c(diǎn),利用垂徑定理和圓周角定理(點(diǎn)E2012.如左圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),OD⊥BC于點(diǎn)D,AC=6,則OD的長為()A.2B.3C.3.5D.413.如右圖,AB是半圓O的直徑,△ABC的兩邊AC,BC分別交半圓于D,E,且點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),若∠BAC=50°,則∠C=________.B65°12.如左圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),13.如21八平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為
.設(shè)M(x,y)CD八平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知22C14.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)(0,4),那么線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
)A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)15.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為點(diǎn)N,其坐標(biāo)為(3,2),若端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,3),則端點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
)A.(-1,1)B.(-2,4)C.(-2,1)D.(-1,4)AC14.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)(0,4),那23中點(diǎn)問題八個類型
中點(diǎn)問題八個類型
24中點(diǎn)問題八個類型:構(gòu)造中位線;直角三角形斜邊中線;等腰三角形“三線合一”;垂直平分線性質(zhì)1、多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)2、直角+斜邊中點(diǎn)3、等腰+底邊中點(diǎn)4、同一邊遇垂直+中點(diǎn)中點(diǎn)問題八個類型:構(gòu)造中位線;直角三角形斜邊中線;等腰三角形25被中線分割成的兩個小三角形面積相等;垂徑定理及圓周角定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式6、三角形面積+中點(diǎn)7、圓+弦或弧的中點(diǎn)8.、平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)+中點(diǎn)倍長中線構(gòu)造全等;5、中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段被中線分割成的兩個小三角形面積相等;垂徑定理及圓周角定理中26一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)時,構(gòu)造中位線在三角形中,如果有中點(diǎn),可構(gòu)造三角形的中位線,利用三角形中位線的性質(zhì)定理:DE∥BC且DE=BC,△ADE∽△ABC,解決線段之間的相等或比例關(guān)系及平行問題.一出現(xiàn)多個中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)時,構(gòu)造中位線在三角形中,如果有271.如左圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,且AB=8,MN=3,則AC的長是(
)A.12B.14C.16D.18DB2.如右圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=3,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使CF=BC,連接DF,EF,則EF的長為
.1.如左圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,28二已知直角三角形斜邊中點(diǎn),構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中,當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時,經(jīng)常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即得到CD=AD=BD=AB,而且可以得到兩個等腰三角形:△ACD和△BCD,可簡記為“直角+中點(diǎn),等腰必出現(xiàn)”.二已知直角三角形斜邊中點(diǎn),構(gòu)造斜邊中線在直角三角形中,當(dāng)遇293.如左圖,在
Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,且CD=5,則△ABC的中位線EF的長是(
)A.4B.C.5D.C4.如右圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使,若AB=10,則EF的長是()A.5B.4C.3D.2A3.如左圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是A30三
等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),
利用“三線合一”性質(zhì)
如圖,等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時,常作邊的中線,利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質(zhì)得到:∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.三等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),如圖,等腰三角形中有315.如左圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,AE⊥CD,點(diǎn)E為垂足,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),若BD=16,則EF的長為
.86.如右圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點(diǎn),MN⊥AC于點(diǎn)N,則MN的長為
.5.如左圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,AE32四
遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時,利用垂直平分線性質(zhì)如圖,當(dāng)三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時,可以考慮用垂直平分線性質(zhì)得到:AE=BE,證明線段間的數(shù)量關(guān)系。中點(diǎn)遇垂直,必等腰四遇到三角形一邊垂直過這邊中點(diǎn)時,如圖,當(dāng)三角形一邊垂線過337.如圖,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,若CD=5,則
AE=_________7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=348.如圖,
在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE,垂足為G.求證:DC=BE證明:連接DE,∵AD是高,CE是中線,∴DE=BE=AE,又G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE∴DE=DC∴DC=BE8.如圖,在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的35五
遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段),倍長中線法構(gòu)造全等三角形
如圖,當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)時,可以嘗試用倍長中線法構(gòu)造全等三角形,證線段間的數(shù)量關(guān)系,該類型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.五遇到三角形一邊上的中點(diǎn)(中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段),倍長中369.如圖,已知AB=24,AB⊥BC于點(diǎn)B,AB⊥AD于點(diǎn)A,AD=10,BC=20.若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),則AE的長是
.F139.如圖,已知AB=24,AB⊥BC于點(diǎn)B,AB⊥AD于點(diǎn)3710.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上38(證法1)證明:如解圖①,延長AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG.∵BD=CD,∠BDG=∠CDA,AD=GD,∴△ADC≌△GDB(SAS).10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.∴BE=BG,∴BE=AC.∴AC=GB,∠G=∠EAF,又∵AF=EF,∴∠EAF=∠AEF,∵∠AEF=∠BED,∴∠G=∠BED.(證法1)證明:如解圖①,延長AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接3910.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證:AC=BE.∴∠G=∠BED,BE=CG.∴AC=GC.
∴AC=BE.(證法2)證明:如解圖②,延長ED到點(diǎn)G,使得DG=DE,連接CG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴BD=CD.∵∠BDE=∠CDG,∴△BED≌△CGD(SAS).∵AF=EF,∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.∴∠G=∠EAF.10.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上40六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線,則S△ABD=S△ACD=S△ABC.
(△ABD與△ACD是等底同高的兩個三角形)六中線等分三角形面積AD是△ABC的中線,則S△ABD=S41A11.在△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為BC,AD,CE的中點(diǎn),且S△ABC=16,則S△DEF=(
)A.2B.8C.4D.1A11.在△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為BC,AD,CE的42七
遇到圓中弦(或?。┑闹悬c(diǎn),利用垂徑定理和圓周角定理(點(diǎn)E是弦AB的中點(diǎn))(點(diǎn)C是AB的中點(diǎn))⌒如圖,(1)圓心O是直徑的中點(diǎn),常與已知中點(diǎn)連接,或過點(diǎn)O作一邊的平行線或垂線構(gòu)造中位線解題.
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