2022-2023學(xué)年山西省大同鐵路第一中學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則A. B.C.1 D.2．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．函數(shù)是A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)6．在線段上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)大于1的概率是（）A. B.C. D.7．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，且，則A. B.C. D.9．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合，則（）A. B.C D.10．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.且C.且D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是___________.12．若“”為假命題，則實(shí)數(shù)m最小值為_(kāi)__________.13．已知向量，滿足=（3，-4），||=2，|+|=，則，的夾角等于______14．若扇形AOB的圓心角為，周長(zhǎng)為10+3π，則該扇形的面積為_(kāi)____15．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上所有的解的和為_(kāi)__________.16．已知是球上的點(diǎn)，,，,則球的表面積等于________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．函數(shù)部分圖象如下圖所示：（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求函數(shù)在上的值域18．近年來(lái)，隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，政府對(duì)民生越來(lái)越關(guān)注市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形的土地（如圖所示），其邊長(zhǎng)為2百米，為了滿足市民的休閑需求，市政府?dāng)M在三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場(chǎng)，即扇形和，其中與、分別相切于點(diǎn)，且與無(wú)重疊，剩余部分（陰影部分）種植草坪.設(shè)長(zhǎng)為（單位：百米），草坪面積為（單位：萬(wàn)平方米）.（1）試用分別表示扇形和的面積，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，草坪面積最大？并求出最大面積.19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)A，D，N的平面交PC于點(diǎn)M.求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.20．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.21．對(duì)于函數(shù)（1）判斷的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由，得或，所以，故選A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系2、C【解析】先判斷，再判斷得到答案.【詳解】；；；，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的大小比較，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.3、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求出【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，所以，故的終邊位于第四象限故選：D4、D【解析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恰有一個(gè)零點(diǎn)屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因?yàn)榉匠糖∮幸桓鶎儆?，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)或者，另一個(gè)零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時(shí)，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：D5、C【解析】根據(jù)題意，由于函數(shù)是，因此排除線線A,B，然后對(duì)于選項(xiàng)C，D，由于正弦函數(shù)周期為，那么利用圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)的周期性為，故選C.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)已知函數(shù)解析式倆分析確定奇偶性，那么同時(shí)結(jié)合圖像的變換來(lái)得到周期，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】設(shè)“所取點(diǎn)坐標(biāo)大于1”為事件A，則滿足A的區(qū)間為[1,3]根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，故選B.點(diǎn)睛：(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率7、C【解析】根據(jù)已知定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解，然后逐項(xiàng)進(jìn)行求解并判斷即可.【詳解】根據(jù)定義可知：若有不動(dòng)點(diǎn)，則有解.A．令，所以，此時(shí)無(wú)解，故不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B．令，此時(shí)無(wú)解，，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C．當(dāng)時(shí)，令，所以或，所以“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D．令即，此時(shí)無(wú)解，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選：C.8、A【解析】，，，，.故選：A.9、C【解析】利用三角函數(shù)的圖象變換可求得函數(shù)的解析式.【詳解】由已知可得.故選：C.10、C【解析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組作答.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域?yàn)榍?故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得，從而可求出的取值范圍【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以可化為，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以或，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：12、【解析】寫(xiě)出該命題的否定命題，根據(jù)否定命題求出的取值范圍即可【詳解】解：命題“，有”是假命題，它否定命題是“，有”，是真命題，即，恒成立，所以，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，，所以所以，的最小值為，故答案為：13、【解析】利用求解向量間的夾角即可【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)橄蛄繆A角取值范圍是，所以向量與向量的夾角為【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算，這種題型中利用求解向量間的夾角同時(shí)需注意14、【解析】設(shè)扇形AOB的的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，由已知可得l＝3π，r＝5，再結(jié)合扇形的面積公式求解即可.【詳解】解：設(shè)扇形AOB的的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，∴，l+2r＝10+3π，∴l(xiāng)＝3π，r＝5，∴該扇形的面積S，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，重點(diǎn)考查了方程的思想，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，再在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象計(jì)算作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減到0，而是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增到，因，有，則函數(shù)的周期是2，且有，即圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，值域?yàn)?，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，如圖，觀察圖象得，函數(shù)和在上的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以方程在區(qū)間上所有解的和為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).16、【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，所以，又，，所以四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別以SA,AB,BC三邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的外接球的半徑，因?yàn)椋?所以，所以球的表面積點(diǎn)睛：本題考查了球內(nèi)接多面體，球的表面積公式，屬于中檔題．其中根據(jù)已知條件求球的直徑（半徑）是解答本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；；（3）.【解析】（1）根據(jù)給定函數(shù)圖象依次求出，再代入作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.（3）在的條件下，求出（1）中函數(shù)的相位范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】觀察圖象得：，令函數(shù)周期為，則，，由得：，而，于是得，所以函數(shù)的解析式是：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，函數(shù)的最小正周期，由解得：，所以函數(shù)的最小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上的值域是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的值域、最值問(wèn)題，根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)求解即得.18、（1），，；（2）時(shí)，草坪面積最大，最大面積為萬(wàn)平方米.【解析】（1）因?yàn)?，所以可得三個(gè)扇形的半徑，圓心角都為，由扇形的面積公式可得答案；（2）用三角形面積減去三個(gè)扇形面積可得草坪面積，再利用二次函數(shù)可求出最值.【詳解】（1），則，，在扇形中，的長(zhǎng)為，所以，同理，.∵與無(wú)重疊，∴，即，則.又三個(gè)扇形都在三角形內(nèi)部，則，∴.（2）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.故當(dāng)長(zhǎng)為百米時(shí)，草坪面積最大，最大面積為萬(wàn)平方米.【點(diǎn)睛】弧度制中求扇形弧長(zhǎng)和面積的關(guān)鍵在于確定半徑和扇形圓心角弧度數(shù)，解題時(shí)通常要根據(jù)已知條件列出方程，運(yùn)用方程思想求解，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)證明（2）見(jiàn)證明（3）見(jiàn)證明【解析】（1）先證明四邊形DENM為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可得到證明；（2）先證明AD⊥平面PEB，由AD∥BC可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB可得PB⊥MN，由已知得PB⊥AN，即可證得PB⊥平面ADMN，利用面面垂直的判定定理即可得到證明.【詳解】(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC．又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC又∵N為PB的中點(diǎn)，∴M為PC的中點(diǎn)，∴MN＝BC∵E為AD中點(diǎn)，DE＝AD＝BC＝MN，∴DEMN，∴四邊形DENM為平行四邊形，∴EN∥DM.又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，∴EN∥平面PDC(2)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°，E為AD中點(diǎn)，∴BE⊥AD．又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB．∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB(3)由(2)知AD⊥PB又∵PA＝AB，且N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.