高考試題-數(shù)學理（天津卷）解析版

歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘，第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至11頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試卷上的無效。本卷共10小題，每小題5分，共50分。參考公式：·如果事件A、B互斥，那么·如果事件A、B相互獨立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)·棱柱的體積公式V=Sh,棱錐的體積公式V=,其中S標示棱柱的底面積。其中S標示棱錐的底面積。h表示棱柱的高。h示棱錐的高。選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）i是虛數(shù)單位，復數(shù)(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的基本運算，屬于容易題。進行復數(shù)的除法的運算需要份子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，同時將i2改為-1.【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關于復數(shù)基本運算的小題，運算時要細心，不要失分哦。（2）函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本題主要考查函數(shù)零點的概念與零點定理的應用，屬于容易題。由及零點定理知f(x)的零點在區(qū)間（-1，0）上?！緶剀疤崾尽亢瘮?shù)零點附近函數(shù)值的符號相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。（3）命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是(A)若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)（B）若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)（C）若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)（D）若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)【答案】B【解析】本題主要考查否命題的概念，屬于容易題。否命題是同時否定命題的條件結論，故否命題的定義可知B項是正確的。【溫馨提示】解題時要注意否命題與命題否定的區(qū)別。（4）閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫(A)i＜3?（B）i＜4?（C）i＜5?（D）i＜6?【答案】D【解析】本題主要考查條件語句與循環(huán)語句的基本應用，屬于容易題。第一次執(zhí)行循環(huán)體時S=1，i=3;第二次執(zhí)行循環(huán)時s=-2，i=5；第三次執(zhí)行循環(huán)體時s=-7.i=7，所以判斷框內(nèi)可填寫“i<6?”,選D.【溫馨提示】設計循環(huán)語句的問題通?？梢圆捎靡淮螆?zhí)行循環(huán)體的方式解決。(5)已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標準方程，屬于容易題。依題意知，所以雙曲線的方程為【溫馨提示】選擇、填空中的圓錐曲線問題通常考查圓錐曲線的定義與基本性質(zhì)，這部分內(nèi)容也是高考的熱點內(nèi)容之一，在每年的天津卷中三種軟件曲線都會在題目中出現(xiàn)。（6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（A）或5（B）或5（C）（D）【答案】C【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，前5項和.【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應用。（7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，，則A=（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題。由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或?qū)⒔腔癁檫呥\算。（8）若函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)的對數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的基本運算及分類討論思想，屬于中等題。由分段函數(shù)的表達式知，需要對a的正負進行分類討論?！緶剀疤崾尽糠诸惡瘮?shù)不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數(shù)不等式既要注意真數(shù)大于0，同事要注意底數(shù)在（0，1）上時，不等號的方向不要寫錯。(9)設集合A=若AB,則實數(shù)a,b必滿足（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本題主要考查絕對值不等式的解法與幾何與結合之間的關系，屬于中等題。A=｛x|a-1<x<a+1｝,B={x|x<b-2或x>b+2}因為AB,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|3【溫馨提示】處理幾何之間的子集、交、并運算時一般利用數(shù)軸求解。(10)如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用（A）288種（B）264種（C）240種（D）168種【答案】D【解析】本題主要考查排列組合的基礎知識與分類討論思想，屬于難題。B,D,E,F用四種顏色，則有種涂色方法；B,D,E,F用三種顏色，則有種涂色方法；B,D,E,F用兩種顏色，則有種涂色方法；所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法?！緶剀疤崾尽拷鼉赡晏旖蚓碇械呐帕?、組合問題均處理壓軸題的位置，且均考查了分類討論思想及排列、組合的基本方法，要加強分類討論思想的訓練。2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）第Ⅱ卷注意事項：答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。本卷共12小題，共100分。填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案天災題中橫線上。（11）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和?！敬鸢浮?4，23【解析】本題主要考查莖葉圖的應用，屬于容易題。甲加工零件個數(shù)的平均數(shù)為乙加工零件個數(shù)的平均數(shù)為【溫馨提示】莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位，這事解決本題的突破口。（12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為【答案】【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體積的計算，屬于容易題。由三視圖可知，該幾何體為一個底面邊長為1，高為2的正四棱柱與一個底面邊長為2，高為1的正四棱錐組成的組合體，因為正巳靈珠的體積為2，正四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積V=2+=【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體的形狀，求錐體體積時不要丟掉哦。（13）已知圓C的圓心是直線與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為【答案】本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關系等基礎知識，屬于容易題。令y=0得t=-1，所以直線與x軸的交點為（-1.0）因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓C的方程為【溫馨提示】直線與圓的位置關系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結合的方法求解。（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若,則的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥勘绢}主要考查四點共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。因為A,B,C,D四點共圓，所以,因為為公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以.設OB=x，PC=y，則有，所以【溫馨提示】四點共圓時四邊形對角互補，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內(nèi)容，也是考查的熱點。（15）如圖，在中，,,,則.【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎知識，屬于難題?！窘馕觥拷鼛啄晏旖蚓碇锌偪梢钥吹狡矫嫦蛄康纳碛?，且均屬于中等題或難題，應加強平面向量的基本運算的訓練，尤其是與三角形綜合的問題。（16）設函數(shù)，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】D【解析】本題主要考查函數(shù)恒成立問題的基本解法，屬于難題。依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立。當時函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力，滿分12分。（1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（Ⅱ）解：由（1）可知又因為，所以由，得從而所以（18）.（本小題滿分12分）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響。（Ⅰ）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率（Ⅱ）假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標。另外2次未擊中目標的概率；（Ⅲ）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求的分布列。【解析】本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分。（1）解：設為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則~.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率（Ⅱ）解：設“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則==（Ⅲ）解：由題意可知，的所有可能取值為=所以的分布列是（19）（本小題滿分12分）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得,,,解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設AC與DE交點N因為，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。求橢圓的方程；設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知，解方程組得a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設線段AB是中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況：（1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，證明當時，（Ⅲ）如果，且，證明【解析】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f’(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當x>1時，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。（Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（）（Ⅱ）若對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。（Ⅰ）證明：由題設，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當≠1時，可知≠1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有所以因此，以下分兩種情況進行討論：當n為偶數(shù)時，設n=2m()若m=1,則.若m≥2，則+所以(2)當n為奇數(shù)時，設n=2m+1（）所以從而···綜合（1）（2）可知，對任意,,有證法二：（i）證明：由題設，可得所以由可知。可得，所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：因為所以。所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得=，故。從而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同證法一。2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）參考解答選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。（1）A（2）B（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）D（10）B二填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分24分。（11）24:23（12）（13）（14）（15）(16)三、解答題（17）本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力，滿分12分。（1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（Ⅱ）解：由（1）可知又因為，所以由，得從而所以18.本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分。（1）解：設為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則~.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率（Ⅱ）解：設“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則==（Ⅲ）解：由題意可知，的所有可能取值為=所以的分布列是（19）本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得,,,解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設AC與DE交點N因為，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為（20）本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知，解方程組得a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得