《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教案5.2 單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題

長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)課題單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)5-2教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：知識(shí)目標(biāo)：掌握無(wú)約束單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題和限制條件下雙變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的求解方法2、技能目標(biāo)：分析解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)建模的能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最大值(或最小值)教學(xué)難點(diǎn)：拉格朗日乘數(shù)法主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問(wèn)題引入在日常生活、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域，人們經(jīng)常會(huì)遇到一類決策問(wèn)題：在一系列客觀或主觀限制條件下，尋求使所關(guān)注的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)(最大或最小)的決策。例如，資源分配要在有限資源約束下，制定最優(yōu)分配方案，使資源產(chǎn)生的總效益最大；生產(chǎn)計(jì)劃要按照產(chǎn)品生產(chǎn)流程和市場(chǎng)需求，制定原料、零件和部件的最佳訂購(gòu)時(shí)間點(diǎn)，盡量降低生產(chǎn)成本使利潤(rùn)最高；運(yùn)輸方案要在滿足物資需求和裝載條件下，安排從各供應(yīng)點(diǎn)到需求點(diǎn)的最優(yōu)路線和運(yùn)量，使運(yùn)輸總費(fèi)用最低等。二、新課講授（1）無(wú)約束單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最大值(或最小值)的一般步驟：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.求可能的最值點(diǎn)，即函數(shù)在上的駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)和端點(diǎn)，按從小到大記為；3.求最大值和最小值，即計(jì)算的函數(shù)值，并比較大小。案例1求函數(shù)在上的最大值和最小值。解第一步，計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步，求可能的最值點(diǎn)，令，解得，即所有可能的最值點(diǎn)為。第三步，求最大值和最小值，計(jì)算各可能點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，得函數(shù)的最大值為，最小值為。注意，求函數(shù)最值時(shí)，一定要找出函數(shù)在中的所有可能的最值點(diǎn)，尤其是不要漏掉使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。案例2求函數(shù)在上的最大值和最小值。解第一步，計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步，求可能的最值點(diǎn)，不存在使的點(diǎn)，但當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，即使函數(shù)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，從而得到所有可能的最值點(diǎn)為。第三步，求最大值和最小值，計(jì)算各可能點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，得函數(shù)的最大值為，最小值為。案例3某租戶有100間房子出租，若每間租金定為200元能夠全部租出去，但每間每增加10元租金就有一間租不出去，且每租出去一間，就需要增加20元管理費(fèi)。問(wèn)租金定為多少才能獲得最大利潤(rùn)？解設(shè)出租的房?jī)r(jià)為每間元，。由題意得，租出的房間數(shù)為，每間租出的房子的管理費(fèi)為20元，則出租的成本為租出的間數(shù)每間的管理費(fèi) 收入滿足利潤(rùn)為求導(dǎo)得令，得唯一可能的最值點(diǎn)。由于該實(shí)際問(wèn)題確實(shí)存在最大值，因此利潤(rùn)函數(shù)在有最大值。即當(dāng)每間房子的出租價(jià)格定為元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)。（2）限制條件下雙變量?jī)?yōu)化問(wèn)題由限制條件解得(將寫(xiě)成的函數(shù))，代入目標(biāo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題。案例4求函數(shù)在限制條件下的最小值。解由得，將之代入，得到單變量函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得令，得。當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因此是的最小值點(diǎn)，此時(shí)，，。故在限制條件的最小值為.案例5試求解第一節(jié)例2，即在限制條件下求面積函數(shù)的最大值。解由得，將之代入，得到單變量函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，得令，得，是唯一可能的最值點(diǎn)。根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，面積的最大值存在，因此，即為最優(yōu)解，此時(shí)，，，面積的最大值為.拉格朗日乘數(shù)法(選學(xué)內(nèi)容)具體解題步驟如下：1.令為拉格朗日函數(shù)，其中為拉格朗日乘數(shù)。2.分別求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)(在求關(guān)于某個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將另外兩個(gè)變量看作常數(shù))，不妨記為，解聯(lián)立方程組3.將步驟2的解代入目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)實(shí)際情況，即可求得最優(yōu)解。案例6安可兒公司每周賣副全配型耳機(jī)及副簡(jiǎn)配型耳機(jī)，每周可獲利(元)若限制總產(chǎn)量為每周230副，則全配型和簡(jiǎn)配型的每周產(chǎn)量各位多少，才能使利潤(rùn)最大？解本題為限制條件下的最大值問(wèn)題