從Durer魔方跨入線性代數(shù)思維之門課件

主講:關(guān)秀翠

東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性代數(shù)課程講座從Dürer魔方跨入線性代數(shù)思維之門主講:關(guān)秀翠東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對角線（或次對角線）之和是34，每個小方塊中的數(shù)字之和是34，四個角上的數(shù)字加起來也是34.版畫創(chuàng)造時間：1514年

多么奇妙的魔方！4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方該魔方出現(xiàn)在德國著名的藝術(shù)家AlbrechtDürer于1514年創(chuàng)造的版畫Melancolia。Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對4階Dürer魔方：行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和=四個角之和.銅幣鑄造時間：1514年

多么奇妙的魔方！你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方11017201126

5616314152009127和為48.4階Dürer魔方：銅幣鑄造時間：1514年多么奇妙的魔方4階Dürer魔方：行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和=四個角之和.你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方A=B=設(shè)A,B是任意兩個Dürer魔方，對任意實數(shù)k，kA是Dürer魔方嗎？A+B是Dürer魔方嗎？11017201126

56163141520091274階Dürer魔方：你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？4.向量空間你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

設(shè)A,B是任意兩個Dürer魔方，對任意實數(shù)k，kA是Dürer魔方嗎？A+B是Dürer魔方嗎？松馳問題的討論允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實數(shù)任意兩個Dürer魔方的任意的線性組合仍是Dürer魔方。記D={A=(aij)R4×4|A為Dürer魔方}將A看成16維列向量，則D構(gòu)成一個向量空間，稱為Dürer魔方空間.無窮多個求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)成一個Dürer魔方.你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。求Dürer魔方空間的基令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,…,Q8

令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。求Dürer魔方空間的基Q1=000000000000000011111在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械那驞ürer魔方空間的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,…,Q8

求Dürer魔方空間的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1

顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？求Dürer魔方空間的基顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)

顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)由線性無關(guān)。Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？求Dürer魔方Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.構(gòu)造AlbrechtDürer的數(shù)字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=？？？？？？？？？？？？？？？？=dij所得的線性方程組有

個方程？

個變量？1623如何求解該線性方程組呢？Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)1100000000001000001010011000001010000010011000010010000000010100100100001000010000010000001101000001010000000110A=

Ar

y

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)1>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>C1=rref(C)%求行最簡形C1=100000000000000000-1

1

0

0

001000000000000-10000

00000010000000000000001

-1

-1

0

0

000100000

0000010000

00-100000100000000010-100

0000000001000

00000-10100

000-1000000100000000000

0-100000000001000000-1000-1100000000000100000

-10100000-10000000001000010-100-100000000000001000

10001-1

-1

-1

0

0000000000010010-101-1

-1

0

0

0000000000001010000-10-1000000000000001-1010-1100-1000000000000000110000-1-10000000000000000011-1

-1

0

0

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44>>A=[1100000;00000隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)

Ar

y

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry自由變量可取為d24,d32,d34,d41,d42,d43,d441632135101189671241514111017201126

5616314152009127第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)Ary=%程序mymagic.m%輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個Dürer魔方>>d=input('pleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:')>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>x=null(C,‘r’);%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系>>y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4)

+d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);

%基礎(chǔ)解系的線性組合>>y=y(8:23,:);

%y為16維魔方向量>>D=vec2mat(y,4,4)%將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣>>mymagicpleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:[63152009127]隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方11017201126

5616314152009127第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)%程序mymagic.m隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方110(2)任給d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一組值，就可得唯一確定Dürer魔方的其他值.11017201126

5616314152009127還不夠隨心所欲？賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597125861146710(2)任給d24,d32,d34,d41,d42,d還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何選取自由變量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得x

=

1.還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d1還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得x

=

1.61494887113613244755-38還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d1還不夠隨心所欲？能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對角線和，N為付對角線和(類似于三階行列式的對角線法則)

R=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}，其中eij=1,i,j.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}和為46.還不夠隨心所欲？能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎Dürer空間的子空間能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對角線和，N為付對角線和.R=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7Dürer空間的子空間能否將Dürer魔方“和相等”的限制再Dürer空間的子空間和擴張令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7(5)8維魔方空間Q：R=C=D(6)10維魔方空間U：R=C(7)16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值

Q

U

M

8

10

16Dürer空間的子空間和擴張令R為行和，C為列和，D為對角線從Dürer魔方跨入線性代數(shù)思維之門2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力1.培養(yǎng)化繁為簡的思考模式(1)轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性(2)探討變換問題的條件

3.培養(yǎng)發(fā)散思維(4)將結(jié)論作為條件倒退

(3)培養(yǎng)多角度看問題

(5)利用精煉的語言比擬4.培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力從Dürer魔方跨入線性代數(shù)思維之門2.培養(yǎng)觀察問題分析問根據(jù)1的取法，確定了8個基本魔方Q1,…,Q8

——求Dürer魔方空間的基1.培養(yǎng)化繁為簡的思考模式類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。但是，Q1,…,Q8線性相關(guān)，而任意7個都線性無關(guān).可取Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的根據(jù)1的取法，確定了8個基本魔方Q1,…,Q8——求Dür分階段處理復(fù)雜問題的“水泵”思維——化繁為簡1.培養(yǎng)化繁為簡的思考模式分階段處理復(fù)雜問題的“水泵”思維——化繁為簡1.培養(yǎng)化繁為定理1.2.|A|

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin,i=1,2,…,n.§1.3行列式的性質(zhì)及計算

證明：(1)(2)

(3)

第一章行列式和線性方程組的求解

=a11A11=aijAij=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.定理1.2.|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+4階Dürer魔方：行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和=四個角之和.你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實數(shù)任意兩個Dürer魔方的任意的線性組合仍是Dürer魔方。D={AR4×4|A為Dürer魔方}構(gòu)成Dürer魔方向量空間.求Dürer魔方空間的一組基,

任意一個Dürer魔方都可由這組基線性表示.2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力4階Dürer魔方：你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方29十秒鐘加數(shù)

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????時間到！答案是6710。請用十秒，計算出左邊一列數(shù)的和。29十秒鐘加數(shù) 34

55

89

144

233

30“斐波那契數(shù)列”若一個數(shù)列，前兩項等于1，而從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：1,1,2,3,5,8,13,……意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書》（1202年）30“斐波那契數(shù)列”若一個數(shù)列，前兩項等于1，而從第三項起，31“十秒鐘加數(shù)”揭密右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第

7個數(shù)的11倍！31“十秒鐘加數(shù)”揭密右式的答案是： 34

55

89

32Fibonacci兔子問題

假設(shè)一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對(雌雄)兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？32Fibonacci兔子問題假設(shè)一對初生33解答

1月

1對33解答 1月 1對34解答

1月 1對

2月 1

對34解答 1月 1對 2月 1對35解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對35解答 1月 1對 2月 1對 3月 2對36解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對36解答 1月 1對 2月 1對 3月 2對 437解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對37解答 1月 1對 2月 1對 3月 2對 438解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對38解答 1月 1對 2月 1對 3月 2對 439解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對

7月 13對39解答 1月 1對 2月 1對 3月 2對 440

1)分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。

2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律①每月小兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù).②每月大兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù)+上個月小兔對數(shù).=上個月大兔對數(shù)+上上個月大兔對數(shù).2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力401)分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律41

1)分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。

2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律①每月小兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù).②每月大兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù)+上個月小兔對數(shù).=

前兩個月大兔對數(shù)之和.2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力411)分析問題、抓住本質(zhì)、簡化。2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律42月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ

大兔對數(shù)1123581321345589144

小兔對數(shù)01123581321345589

兔子總數(shù)123581321345589144233二階遞推公式

2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律①每月小兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù).②每月大兔對數(shù)=上個月大兔對數(shù)+上個月小兔對數(shù).=

前兩個月大兔對數(shù)之和.Fn2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力42月份ⅠⅡⅢ433）深入研究問題二階遞推公式由可得2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力433）深入研究問題二階遞推公式由可得2.培養(yǎng)觀察問題分443）深入研究問題二階遞推公式因此2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力443）深入研究問題二階遞推公式因此2.培養(yǎng)觀察問題分析45

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。生活中的斐波那契數(shù)451）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)生活中的斐波那契462）樹杈的數(shù)樹杈的數(shù)目13473）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)

種子按順、逆時針的螺線排列，兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55;89和144;144和233條螺線。473）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)種子按順、逆時針的螺48松果種子的排列的螺線數(shù)(8-13)48松果種子的排列的螺線數(shù)(8-13)49菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）49菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）50

4）電路中的斐波那契數(shù)列

加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，21,…………504）電路中的斐波那契數(shù)列加在電阻上的電壓，515）股票指數(shù)增減的“波浪理論”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)；②每次股指增長幅度（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。股指變化有無規(guī)律？回答是肯定的。515）股票指數(shù)增減的“波浪理論”52

可以說，斐波那契以他的兔子問題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！52可以說，斐波那契以他的兔子問題，問題的提出：設(shè)A

是n階方陣,求Ak?分析：(1)若A是對角陣，則易求Ak

=k.A

=

P1Q1

(2)一般方陣A可與對角陣相抵，即存在n階可逆陣P,Q,使得

PAQ

=.

Ak

=

(P1Q1)

(P1Q1)…(P1Q1)若Q1

=P

,則

Ak

=P1

k

Q1

=

Qk

Q1(3)因此，當(dāng)存在n階可逆陣Q,使得

Q1AQ

=(對角陣)時,易求方陣Ak.此時稱方陣A可與對角陣相似。2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力3）深入研究問題問題的提出：設(shè)A是n階方陣,求Ak?分析：(1)問題：當(dāng)A可與對角陣相似,

Q

與的關(guān)系如何

?當(dāng)方陣A可與對角陣相似，即存在n階可逆陣Q,使得

Q1AQ

=(對角陣)時,易求方陣Ak.Q–1AQ

=,設(shè)Q

的列向量為q1,q2,…,qn.顯然它們線性無關(guān).即A(q1,q2,…,qn)=(1q1,2q2,…,nqn),即Aqi=iqi,i=1,…,n

特征值

特征向量

對應(yīng)qi2.培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力則AQ=Q=Qdiag(1,2,…,n),3）深入研究問題問題：當(dāng)A可與對角陣相似,Q與的關(guān)系如何?當(dāng)方陣A(1)任給d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一組值，就可唯一確定Dürer魔方.Dürer魔方空間是7維的.11017201126

5616314152009127(1)轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性自由變量還有其他的選取方式嗎？只要選取系數(shù)矩陣23列中16個線性無關(guān)的列，其余7列對應(yīng)的變量就可取為自由變量.16314152009127x32xx+4x117xx523x26x3.培養(yǎng)發(fā)散思維(1)任給d24,d32,d34,d41,d42,d例5.設(shè),求A1.求逆陣的方法：(1)定義法：AB=BA=E(1)轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性(2)公式法：A1=A*/|A|(3)初等變換法：(A,E)(E,A1)解：注意到A=AT，且A

AT

=

A2

=

4E所以A1

=

A/

43.培養(yǎng)發(fā)散思維例5.設(shè)——Dürer空間的子空間和擴張(4)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(3)5維泛對角方的向量空間B:(2)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(1)0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7(5)8維魔方空間Q：R=C=D(6)10維魔方空間U：R=C(7)16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值

Q

U

M

8

10

16(2)探討變換問題的條件

——Dürer空間的子空間和擴張(4)7維Dürer魔方空(2)探討變換問題的條件

例6.設(shè)證明：(1)證：設(shè)x

是Ax

=

0的非零解.令B=(x,0,…,0),則(2)證1：設(shè)x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基礎(chǔ)解系.令B=(x1,x2,…,xn-r),則(2)證2：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則(2)探討變換問題的條件例6.設(shè)證明：(1)證：設(shè)x(2)探討變換問題的條件

例6.設(shè)(3)證明：(2)證1：設(shè)x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基礎(chǔ)解系.令B=(x1,x2,…,xn-r),則(2)證2：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則(3)證：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則(2)探討變換問題的條件例6.設(shè)(3)證明：(2)證1n階方陣A可逆A與E相抵A的行最簡形矩陣為E.A=P1P2…Ps,Pi為初等陣.(3)培養(yǎng)多角度看問題

A的行(列)向量組線性無關(guān)任一n維向量都可由行(列)向量組線性表示

A的特征值均不為零A的行(列)向量組的秩都是n.(非奇異陣、非退化陣)(滿秩)A的行(列)向量組是Rn的基.A為Rn的兩組基下的過渡矩陣.A的解空間的維數(shù)為0.A的列空間的維數(shù)為n.

ATA為正定陣.n階方陣A可逆A與E相抵A的行最簡形矩陣為E.n階方陣A不可逆A的行(列)向量組線性相關(guān).

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.例7.設(shè)證明：證1：(反證法)則A可逆.產(chǎn)生矛盾.假設(shè)利用可逆性(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆A的行(列)向量組線性相關(guān).0是n階方陣A不可逆

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.證2：利用r(A)<n.例7.設(shè)證明：(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆0是A的一個特征值.A的行(列)n階方陣A不可逆

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.證3：利用齊次方程組有非零解.例7.設(shè)證明：(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆0是A的一個特征值.A的行(列)n階方陣A不可逆

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.證4：利用0是A的一個特征值.所以0是A的一個特征值.例7.設(shè)證明：(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆0是A的一個特征值.A的行(列)n階方陣A不可逆

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.錯誤解析：矩陣乘法消去率不成立.例7.設(shè)證明：(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆0是A的一個特征值.A的行(列)n階方陣A不可逆

0是A的一個特征值.A的行(列)向量組的秩小于n.錯誤解析：非零矩陣的行列式不一定為0.例7.設(shè)證明：(3)培養(yǎng)多角度看問題——

一題多解n階方陣A不可逆0是A的一個特征值.A的行(列)若行列式D=0，則D都可能是什么類型的行列式？

(1)行列式D有兩行或兩列的元素相同；(2)行列式D有兩行或兩列的元素成比例；(3)行列式D有至少有一行或一列元素都是零

；(4)主對角線上至少有一個元素等于零的對角行列式；(5)主(次)對角線上至少有一個零元素的三角行列式；(6)所有可以利用行列式性質(zhì)化成上述形式的行列式．

(4)將結(jié)論做為條件進行倒推

3.培養(yǎng)發(fā)散思維若行列式D=0，則D都可能是什么類型的行列式？(1)行列3.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維(5)利用精煉的語言比擬轉(zhuǎn)置:(AB)T=BTAT逆矩陣:(AB)1=B1A1伴隨矩陣:(AB)*=B*A*穿脫原理穿：先穿襪再穿鞋；脫：先脫鞋再脫襪.3.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維(5)利用精煉的語言比擬轉(zhuǎn)置:(A第一章行列式和線性方程組的求解

§1.3行列式的性質(zhì)及計算a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33行列式的幾何含義

=以,,為鄰邊的平行六面體的有向體積,,構(gòu)成右手法則體積為正，左手法則體積為負n階行列式就是n個n維向量(5)利用精煉的語言比擬構(gòu)成的平行多面體的有向體積。

交換兩列，多面體的方向改變，行列式取反號.“把人都擠成照片了”，引申到維數(shù)的變化.(//)

某列的k倍，及某列是兩子列的和的性質(zhì)也很顯然.第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)及計品名:矩陣規(guī)格:mn

數(shù)量:

產(chǎn)地:SEU

按秩分類min{m,n}+1包長：.最小包：O矩陣……………說明:內(nèi)有無數(shù)mn矩陣,按秩的不同共分為min{m,n}+1包.每包的代表為,其中r=0,1,,min{m,n}.(5)利用精煉的語言比擬矩陣相抵

是等價關(guān)系,且保秩.初等變換品名:矩陣規(guī)格:mn數(shù)量:產(chǎn)地:SEU按秩矩陣上的哪些運算是只定義在方陣上的?4.培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力加法和數(shù)乘

轉(zhuǎn)置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分塊運算:分塊轉(zhuǎn)置初等行(列)變換秩:r(A)Ak,f(A)矩陣的運算一般矩陣乘法:交換律消去律|A|:RnnRA*=(Aji):AA*=A*A=|A|E方陣tr(A)=aii:RnnREigenpair:A=(≠)相似:P1AP

=B

(P可逆)相合:PTAP=B

(P可逆)正定:AT=A,xTAx>0(x≠)矩陣上的哪些運算是只定義在方陣上的?4.培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力加作用初等變換終止矩陣結(jié)果秩階梯陣r(A)=非0行數(shù)行變換極大無關(guān)組(基)階梯陣主列對應(yīng)原矩陣的列行變換行最簡形非主列的線性表示關(guān)系解線性方程組Ax=b(AX=B)(Ab)行變換(AB)行變換階梯陣判別解:r1<r2無解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n無窮多解行最簡形基解:非主列變量為e1..enr特解:非主列變量為0逆矩陣行變換行最簡形(AE)(EA1)行列式行/列變換三角形某行(列)有一非0元素注意對角線方向的符號按此行(列)展開相合標(biāo)準(zhǔn)形行列變換對角陣(AE)(PT)作用初等變換終止矩陣結(jié)果秩階梯陣r(A)=非0行數(shù)行變換學(xué)數(shù)學(xué)的人是最自信的！學(xué)數(shù)學(xué)的人是最有生活情趣的！——林亞南

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長)

(全國教學(xué)名師

)學(xué)數(shù)學(xué)的人是最自信的！學(xué)數(shù)學(xué)的人是最有生活情趣的！——林亞南Thankyouverymuchforyourattention!Thankyouverymuchforyoura

主講:關(guān)秀翠

東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性代數(shù)課程講座從Dürer魔方跨入線性代數(shù)思維之門主講:關(guān)秀翠東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對角線（或次對角線）之和是34，每個小方塊中的數(shù)字之和是34，四個角上的數(shù)字加起來也是34.版畫創(chuàng)造時間：1514年

多么奇妙的魔方！4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方該魔方出現(xiàn)在德國著名的藝術(shù)家AlbrechtDürer于1514年創(chuàng)造的版畫Melancolia。Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對4階Dürer魔方：行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和=四個角之和.銅幣鑄造時間：1514年

多么奇妙的魔方！你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方11017201126

5616314152009127和為48.4階Dürer魔方：銅幣鑄造時間：1514年多么奇妙的魔方4階Dürer魔方：行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和=四個角之和.你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

什么是Dürer魔方A=B=設(shè)A,B是任意兩個Dürer魔方，對任意實數(shù)k，kA是Dürer魔方嗎？A+B是Dürer魔方嗎？11017201126

56163141520091274階Dürer魔方：你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？4.向量空間你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？Dürer魔方有多少個？如何構(gòu)造所有的Dürer魔方？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景

設(shè)A,B是任意兩個Dürer魔方，對任意實數(shù)k，kA是Dürer魔方嗎？A+B是Dürer魔方嗎？松馳問題的討論允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實數(shù)任意兩個Dürer魔方的任意的線性組合仍是Dürer魔方。記D={A=(aij)R4×4|A為Dürer魔方}將A看成16維列向量，則D構(gòu)成一個向量空間，稱為Dürer魔方空間.無窮多個求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)成一個Dürer魔方.你想構(gòu)造Dürer魔方嗎？4.向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。求Dürer魔方空間的基令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,…,Q8

令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。求Dürer魔方空間的基Q1=000000000000000011111在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械那驞ürer魔方空間的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,…,Q8

求Dürer魔方空間的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1

顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？求Dürer魔方空間的基顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)

顯然，Dürer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？求Dürer魔方空間的基Q1,…,Q8線性相關(guān)由線性無關(guān)。Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？求Dürer魔方Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.構(gòu)造AlbrechtDürer的數(shù)字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=？？？？？？？？？？？？？？？？=dij所得的線性方程組有

個方程？

個變量？1623如何求解該線性方程組呢？Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)1100000000001000001010011000001010000010011000010010000000010100100100001000010000010000001101000001010000000110A=

Ar

y

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)1>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>C1=rref(C)%求行最簡形C1=100000000000000000-1

1

0

0

001000000000000-10000

00000010000000000000001

-1

-1

0

0

000100000

0000010000

00-100000100000000010-100

0000000001000

00000-10100

000-1000000100000000000

0-100000000001000000-1000-1100000000000100000

-10100000-10000000001000010-100-100000000000001000

10001-1

-1

-1

0

0000000000010010-101-1

-1

0

0

0000000000001010000-10-1000000000000001-1010-1100-1000000000000000110000-1-10000000000000000011-1

-1

0

0

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44>>A=[1100000;00000隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)

Ar

y

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry自由變量可取為d24,d32,d34,d41,d42,d43,d441632135101189671241514111017201126

5616314152009127第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)Ary=%程序mymagic.m%輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個Dürer魔方>>d=input('pleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:')>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>x=null(C,‘r’);%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系>>y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4)

+d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);

%基礎(chǔ)解系的線性組合>>y=y(8:23,:);

%y為16維魔方向量>>D=vec2mat(y,4,4)%將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣>>mymagicpleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:[63152009127]隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方11017201126

5616314152009127第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)%程序mymagic.m隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方110(2)任給d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一組值，就可得唯一確定Dürer魔方的其他值.11017201126

5616314152009127還不夠隨心所欲？賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597125861146710(2)任給d24,d32,d34,d41,d42,d還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何選取自由變量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得x

=

1.還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d1還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d14,d22,d33,d43的一組值，也可得唯一確定Dürer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得x

=

1.61494887113613244755-38還不夠隨心所欲？(3)任給d11,d12,d13,d1還不夠隨心所欲？能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對角線和，N為付對角線和(類似于三階行列式的對角線法則)

R=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}，其中eij=1,i,j.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}和為46.還不夠隨心所欲？能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎Dürer空間的子空間能否將Dürer魔方“和相等”的限制再增強嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對角線和，N為付對角線和.R=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7Dürer空間的子空間能否將Dürer魔方“和相等”的限制再Dürer空間的子空間和擴張令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5維泛對角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7(5)8維魔方空間Q：R=C=D(6)10維魔方空間U：R=C(7)16維數(shù)字