應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計-擬合優(yōu)度檢驗

考慮位置----刻度參數(shù)分布族：設(shè)X1,...,Xn是抽自連續(xù)型分布F的樣本，考慮的假設(shè)檢驗問題是

擬合優(yōu)度檢驗Q-Q圖

H0:FL0={G:G(x)=F0((x)/),R,

>0}

H1:FL0其中連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)遞增的分布函數(shù)F0(.)是給定的，參數(shù),

的取值決定分布族中的具體分布.

令Zi=F(Xi)，以F01記F0的反函數(shù)，則當(dāng)H0成立時,F(x)=F0((x)/)

H0:FL0={G:G(x)=F0((x)/),R,

>0}

H1:FL0對于某和成立。從而

F01(Zi)=F01(F0((Xi)/)))=(Xi)/

于是

Xi

=F01(Zi)+(4.1)Xi

=F01(Zi)+(4.1),Zi=F(Xi)=F0((Xi)/),

Zi

Fn(Xi)(4.2)其中Fn(x)是由X1,...,Xn得到的經(jīng)驗分布函數(shù)。由式(4.1)和式(4.2)得

Xi

F01(Fn(Xi))+

式(4.1)表明：Xi和

F01(Zi)

呈線性關(guān)系，即點

{(F01(Zi),Xi),i=1,...,n}在一條直線上。由于和知，無法算出

Zi。注意到Zi

是分布函數(shù)在

Xi處的值，而分布函數(shù)可以由經(jīng)驗分布函數(shù)來估計，故Zi近似地可以表示為特別對順序統(tǒng)計量X(i)，有Fn(X(i))=i/n,所以

X(i)

F01(i/n)+上式右邊當(dāng)i=n時，一般無法算出。為此，使用時常在該公式中加入一個連續(xù)性校正常數(shù)c，取Xi

F01(Fn(Xi))+常取c=0.5或0.25。這里，我們約定取c=0.25。由此得到于是，為檢驗H0作圖如下：把點

標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)原假設(shè)H0成立時，諸點構(gòu)成的點陣將呈一直線，且該直線的斜率可作為的估計，截距可作為的估計，這種圖稱為Q-Q散點圖。

通過Q-Q散點圖,若點陣不呈直線狀態(tài)，則認(rèn)為H0不成立。此時，圖形可能呈現(xiàn)各種各樣的情況。幾種典型的情況如下：(1)點陣構(gòu)成的圖形呈中心對稱的反S型，中部點的密度較大，這表明比起由

給定的橫坐標(biāo)來，樣本中最大的一些值和最小的一些值比較突出，樣本值相對比較分散，總體分布可能比原假設(shè)下的分布族中的分布重尾。對稱性則表明，兩個分布族的密度曲線的形狀類似。

圖4．1b中樣本來自于Canchy分布，F(xiàn)0為N(0,1)，Canchy分布與N(0,1)分布密度函數(shù)圖形見下圖，其中紅線為N(0,1)密度函數(shù)，藍(lán)線為Canchy分布的密度函數(shù)，其為：

(2)點陣構(gòu)成的圖形呈中心對稱的S型，中部點的密度較大，如圖4．1c所示。這表明樣本兩端的值比起由

給定的橫坐標(biāo)來相對變化較慢，從而樣本取值比較集中，總體分布可能比原假設(shè)下的分布族中的分布輕尾。圖c中樣本來自于正態(tài)分布，F(xiàn)0為Laplace分布。N(0,1)分布與Laplace分布的密度函數(shù)圖形見下圖，其中紅線為N(0,1)密度函數(shù)，藍(lán)線為Laplace分布的密度函數(shù)

(3)在其他非典型的情況下，Q-Q散點圖的分析比較復(fù)雜。比如，4.1d中，由于F0取為N(0，1)，可以看出總體的分布是偏態(tài)的，并且右側(cè)尾部較正態(tài)分布重。有時還可檢測出異常點的存在。所謂異常點，是指“遠(yuǎn)離”其他數(shù)據(jù)點的觀測值。如在圖4.2a中，點P遠(yuǎn)離直線，而其他諸點在一直線周圍，這時認(rèn)為點P所對應(yīng)的數(shù)據(jù)點可能是異常點。如果圖形分為比較明顯的兩個部分，如圖4.2b的形狀，那么，可能意味著總體的分布是混合的。皮爾遜2----檢驗法

前面的圖方法直觀易行，但不能從數(shù)量上反映樣本與給定分布擬合的程度。Pearson

2

檢驗可以解決這個問題。

Pearson

2

檢驗是一種最常用的檢驗總體分布為某個已知分布的檢驗方法，它用K.Pearson提出的2統(tǒng)計量來衡量經(jīng)驗分布與假設(shè)的理論分布間的差異。此法可以用來檢驗總體是否服從任何一個預(yù)先給定的分布，而這個預(yù)先給定的分布可以是離散的，也可以是連續(xù)的。皮爾遜定理設(shè)A1,A2,…,Am是完備事件組，即

其中，P(Ai)=pi(pi是已知的),i=1,2,…,m。fi

是n

次獨立重復(fù)試驗中Ai

發(fā)生的次數(shù)。則當(dāng)n時

的極限分布是2

(m1)。設(shè)總體X的分布是H0：P(X=zi)=pi,i=1,2,…,m(1)0pi1

是已知量

,樣本值是x1,…,xn，fi是樣本值中取值為zi

的個數(shù),i=1,2,…,m

。

現(xiàn)進(jìn)行了n次獨立重復(fù)試驗;記事件(X=zi)=Ai,i=1,2,…,m;fi是n次獨立重復(fù)試驗中Ai出現(xiàn)的頻數(shù)。我們用檢驗統(tǒng)計量拒絕域為W={2>c}.當(dāng)n很大時，一般n50時給定顯著水平，要使c=1-2(m-1)，這樣可得H0

的拒絕域為：W={2>c}例1.有七臺自動車床獨立的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。在某一段時間內(nèi)，統(tǒng)計產(chǎn)生了238件次品，其情況如下表：機(jī)床號一二三四五六七

次品件數(shù)36232931346025試問次品的產(chǎn)生是否與機(jī)床有關(guān)？（=0.05)

其中Ai表示第i臺機(jī)床產(chǎn)生次品。該假設(shè)的拒絕域為：經(jīng)計算給定

=0.05，查

2分布表得所以在顯著水平

=0.05下，拒絕H0，認(rèn)為生產(chǎn)次品的情況與機(jī)床有關(guān)。因為皮爾遜定理的推廣定理設(shè)X1,...,Xn為來自總體X的樣本，需檢驗其中1,...,r為未知參數(shù)。在H0為真的條件下，用極大似然估計法得到未知參數(shù)的估計則當(dāng)n時的極限分布是

2(mr1),其中m是將實數(shù)軸分成不相交區(qū)間的個數(shù)，pi是H0為真且(1,...,r)=時，總體取值落入第i個小區(qū)間的概率，稱其為理論概率，npi稱為理論頻數(shù)，fi是樣本觀測值落入第i個小區(qū)間的個數(shù)，稱其為實際頻數(shù).

在實際應(yīng)用中，當(dāng)n很大時，上述統(tǒng)計量

2近似服從分布2(mr1),為了檢驗H0，對給定的，由2分布表可查得

1-2(mr1),使得從而可得到的拒絕域由于使用了近似服從

2分布的檢驗統(tǒng)計量，所以該檢驗也稱為

2—檢驗法。

在使用

2---檢驗法時要注意兩點：樣本容量n要求很大，一般n50；劃分區(qū)間的個數(shù)m不宜太小也不宜過大，實際應(yīng)用中，一般取6m20，同時要求在每個小區(qū)間上fi

5

(或npi5)

。如果不滿足這個條件就要把相鄰的區(qū)間合并，直到滿足條件為止。由此，小區(qū)間的個數(shù)不是一開始就確定不變的；另外上述

2公式也可變成如下形式進(jìn)行計算：

以下具體列出

2檢驗法一般步驟：（a）根據(jù)問題提出假設(shè)H0，在H0成立的條件下計算未知參數(shù)的極大似然估計;（b）把實數(shù)軸分為m個不相交的區(qū)間(ai,ai+1)，i=1,2,...,m，其中a1可取，am+1可取+;（c）計算概率pi=P(ai

<X

ai+1)=F(ai+1)F(ai)，i=1,2,...,m，計算出理論頻數(shù)npi;（d）計算樣本觀測值x1,...,xn落在(ai,ai+1)中的個數(shù)fi，i=1,2,...,m;

（e）一般采用表格形式來計算出統(tǒng)計量2的值;

（f）對給定的顯著水平，查臨界值12(mr1)。

（g）若

2>1

2(mr1)，則拒絕；

不難看出2檢驗總體分布實際上不是完全檢驗F(x)=F0(x)，而是檢驗F(ai)=F0(ai)，i=1,…,m-1。不過由于ai選取的隨機(jī)性以及F(x)的光滑和單調(diào)性，所以這樣檢驗的結(jié)果同實際情況相差不會太大。例2.

在一實驗中，每隔一定時間間隔觀察一次計數(shù)器上記錄的某種鈾放射出的

粒子的個數(shù)X，獨立觀察100次的數(shù)據(jù)如下：

i01234567891011fi1516172611992121其中fi是觀察到有i個

粒子的個數(shù)。試問X是否服從泊松分布。解：根據(jù)題意，提出假設(shè)H0：X~()，理論分布()的參數(shù)

未知。首先在H0為真條件下，用最大似然估計法得到

的最大似然估計值此時檢驗假設(shè)寫為H0：X~(4.2)。

根據(jù)所給數(shù)據(jù)情況，將(,+)分為m=12個小區(qū)間，(,0]，(0,1]，(1,2]，(2,3]，(9,10]，(10,+],數(shù)出樣本觀測值落在每個小區(qū)間上的個數(shù)。當(dāng)H0為真時，由已知的X~(4.2)，計算各小區(qū)間上的pi：小區(qū)間fi

npi

fi-npi

(fi-npi)2(fi-npi)2/npi(,0]11.51.83.240.415（0，1]56.3（1，2]1613.22.87.840.594（2，3]1718.51.52.250.122（3，4]2619.46.643.562.245（4，5]1116.35.328.091.725（5，6]911.42.45.760.505（6，7]96.92.14.410.629（7，8]23.6（8，9]11.7（9，10]20.70.50.250.038(10,+]10.5在表中，已將fi的值不超過5的小區(qū)間與鄰近的小區(qū)間合并，合并以后的小區(qū)間的個數(shù)為m=8。H0的拒絕域為

給定顯著水平

=0.05，由

2分布表查得由于所以在顯著水平

=0.05下，接受H0，認(rèn)為X服從泊松分布(4.2)

例3一車間生產(chǎn)一批某種車軸，加工的車軸長度是一個隨機(jī)變量X（單位：cm）。現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取容量為120的樣本，測得樣本值如下表。判斷軸長X是否服從正態(tài)分布。216203197208206209206208202203206213218207208202194203213211193213208208204206204206208209213203206196201208207213208207210208211211214220211203216224211209218