工程光學講稿(電磁)課件

第九章

光的電磁理論基礎

第一節(jié)光的電磁性質一、電磁場的波動性（一）麥克斯韋方程組（Maxwell’sequation）1、積分形式：

第九章

光的電磁理論基礎1第一式為電場高斯定理:在如何電場中，通過閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的總電量。第二式為磁場高斯定理:表示穿過任意閉合曲面的磁感應通量等于零。第三式為法拉第電磁感應定律:表示沿任何閉合曲線的電場強度的線積分等于通過該閉合曲線所包圍面積的磁通量的變化率的負值。第四式為安培全電流定律表示磁場強度沿閉合環(huán)路的積分等于該環(huán)路所包圍的電流強度的代數和。2、微分形式：

為封閉曲面內的電荷密度;為閉合回路上的傳導電流密度;為位移電流密度。

微分算符第一式為電場高斯定理:微分算符2(二)物資方程當電磁場在介質中傳播時，介質就會對電磁場帶來影響，為描述這種影響，引入物質方程。σ：電導率ε：介電常數ε=ε0εrεr：相對介電常數μ：磁導率μ=μ0μrμr：相對磁導率在靜止、各向同性的均勻介質中，上述三個量均為常數。真空中，σ＝0，ε＝ε0＝8.542×10-12法/米，μ＝μ0＝4π×10-7亨/米（三）電磁場的波動性對于電磁場遠離輻射源：ρ=0,j=0,即不存在傳導電流，不存在自由電荷，這就要求介質的電導率。此時有：

▽或(二)物資方程▽或3自由空間的麥克斯韋方程組。在矢量分析（場論）理論中，有公式：若分別對下列方程兩式取旋度有：

同理：上兩式就是波動的微分方程的標準形式。▽自由空間的麥克斯韋方程組。▽4

稱為電磁波傳播速度。表明和是時間和空間坐標的函數，而且其隨時間和空間坐標的變化過程遵從波動的規(guī)律。當電磁波在真空中傳播時，其傳播速度為：這個理論值與實驗測定值是非常接近。在介質中，引入相對介電常數εr=ε/ε0和相對磁導率μr=μ/μ0

電磁波在真空中的速度c與介質中的速度v的比值n為介質對電磁波的折射率

實驗測得真空中的光速為：=c2.99792458+108m/s稱為電磁波傳播速度。實5二、平面電磁波及其性質（一）波動方程的平面波解

如果在垂直于傳播方向的平面上，在任意時刻，在任意空間位置，其各點幅值和相位都相同的波，稱為平面電磁波。1.方程求解:設光沿Z軸正向傳播，則平面波的Ｅ和Ｂ僅是z和t的函數:xyzv二、平面電磁波及其性質xyzv6求微分方程的通解：

f1和f2分別以（z/v－t)，(z/v＋t)為自變量的函數，各代表以相同速度v沿z軸，正負方向傳播的平面波，通常取z軸正方向。（二）波動方程的平面簡諧波解（SimpleHarmonicWave）：由上式得到的平面波的通解，具體的波動形式將取決于波源的形式，取最簡單的簡諧振動作為波動方程的特解：波動方程可化為：波動方程可化為：7

——電場、磁場的振幅矢量ω——角頻率

——位相，表示在時刻t，在z處的電磁場的振動狀態(tài)。

(三)平面波的參數波的頻率和周期角頻率：周期：波長與周期(三)平面波的參數波的頻率和周期角頻率：周期：波長與周期8介質中的波長與真空中波長的關系波數k、波矢量波數k:長為2π距離內包含的波長數。波矢量k0：為表示波傳播方向的單位矢量。引入波矢量后，波動方程可以寫成下式：沿空間任一方向k傳播的平面波：E=Acos(kr-ωt)E=Acos[k(xcosα+ycosβ+zcosγ)-ωt]任一方向傳播得平面波介質中的波長與真空中波長的關系波數k、波矢量波數k:長為29平面波的復數形式：E=Aexp[j(kr-ωt)]

——復振幅，表示光波在空間的分布，在只關心場振動的空間分布（干涉、衍射）時常用。（四）平面電磁波的性質：1、橫波特性：電矢量和磁矢量的方向均垂直波的傳播方向。2、E、B、k互成右手螺旋系。3、E和B同相位。三、球面波和柱面波：

1、球面波：任意時刻波振面為球面的光波波動方程k平面波的復數形式：E=Aexp[j(kr-ωt)102、柱面波是具有無限長圓柱形波面的波。四、光波的輻射和輻射能光波在傳播過程中，伴隨著能量的傳播，以s表示電磁波的能流密度矢量，它與E、H有如下關系：

發(fā)散的球面波：會聚的球面波：發(fā)散的球面波：會聚的球面波：11對于人眼或探測系統(tǒng)都無法接收到S的瞬時值，只能接收一個周期的平均值在物理學中，輻射強度的平均值S稱為光強以I表示所以光強I與平面波幅值A的平方成正比，對于同一介質中，兩場點的相對光強，可用I=A2第二節(jié)

光波的疊加

一、波的疊加原理：幾個波在相遇點產生的合振動是各個在該點產生振動的矢量和。

需要注意：1.疊加結果為光波振幅的矢量和，而不是光強的和。2.光波傳播的獨立性：兩光波相遇后又分開，每個光波仍然保持原有的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）3.疊加的合矢量仍然滿足波動方程的通解。一個實際的光場是許多個簡諧波疊加的結果。對于人眼或探測系統(tǒng)都無法接收到S的瞬時值，只能接收一個周期的12二、兩個同頻率、振動方向相同的單色光波的疊加（一）代數加法設光源s1，s2發(fā)出的單色光波在空間任意點p相遇，則：

E1=a1cos(kr1-ωt)E2=a2cos(kr2-ωt)式中a1,a2分別是兩束光波在p點的振幅。令α1=kr1,α2=kr2，則根據疊加原理，p點的合振幅為：

E=E1+E2=a1cos(α1－ωt）＋a2cos(α2－ωt）由三角函數公式可得：

E=Acos(α-ωt)式中s1s2pr1r2二、兩個同頻率、振動方向相同的單色光波的疊加s1s2pr1r13（二）振幅矢量加法α1αα2Aa1a2o設兩個矢量在ox的投影的運動為簡諧振動x合振動方程為：合振動的幅值合初相角為：E1E2E（二）振幅矢量加法α1αα2Aa1a2o設兩個矢量在ox的投14(三）、復函數的疊加：設有兩個振動方向相同，頻率相同的復函數的簡諧振動方程為：

E1=a1expi(ωt+α1）

E2=a2expi(ωt+α2）由疊加原理可知：E=E1+E2=a1expi(ωt+α1）+a2expi(ωt+α2）

=expiωt(a1expiα1+a2expiα2)

令a1expiα1+a2expiα2＝AexpiαE=expiωt×Aexpiα=Aexpi(ωt+α)復數E與其共軛的復數E*可表示為：

E=Aexpi(ωt+α)E*=Aexp[-i(ωt+α)]由復數性質：A2=E·E*=Aexpi(ωt+α)·Aexp[-i(ωt+α)]

=expiωt·Aexpiα·Aexp(-iα)·exp(-iωt)=(a1expiα1+a2expiα2)(a1exp(-iα1)+a2exp-(iα2))(三）、復函數的疊加：15=a12+a22+a1a2[expi(α1－α2）＋exp(-i(α1－α2))]由尤拉公式：

expi(α1－α2)+exp[-i(α1－α2)]=2cos(α1－α2)

上式得：A2=a12+a22+2a1a2cos(α1－α2)（四）對疊加結果的分析：（主要對象為合成的光強）

I=合成光強的大小取決于位相差δ。

若，設

=a12+a22+16λn—單色光在傳播介質中的波長（λn＝λ/n）λ—真空中的波長n—介質的折射率。光程差Δ＝n(r2-r1)是分析疊加結果的重要物理量。當：δ＝2mπ，Δ＝n(r2-r1)＝mλ有極大I=Imax=4I0

(m=1,±1，±2，±3，…）δ＝(2m+1)π，Δ＝(2m+1)λ/2極小I=Imin=0

(m=0,±1，±2，±3，…）三、駐波：兩個頻率相同、振動方向相同而傳播方向相反的單色光波的疊加將形成駐波。垂直入射的光波和它的反射光波之間將形成駐波。設反射面z=0的平面，假的界面有很高的反射比，入射波和反射波的幅值相等。λn—單色光在傳播介質中的波長（λn＝λ/n）17式中，δ是反射時相位變化。駐波為不同的z處的駐波振幅波腹的位置：

波節(jié)的位置：

式中，δ是反射時相位變化。18四、兩個頻率相同、振動方向垂直的單色光波的疊加（一）合成光波偏振態(tài)的分析光源s1和s2發(fā)出兩個頻率相等而振動方向互相垂直的單色光波，其振動方向平行x軸和y軸，并沿z軸方向傳播。顯然在p點處產生的光振動可寫為：（1）（2）由（1）得：Ex/a1=cos(kz1)cosωt+sin(kz1)sinωt(3)由（2）得:Ey/a2=cos(kz2)cosωt+sin(kz2)sinωt(4)將（3）×cos(kz2)－（4）×cos(kz1)得：

s1s2z1z2pyx四、兩個頻率相同、振動方向垂直的單色光波的疊加s1s2z1z19同理：

將(5)2+(6)2得：設α1=kz1,α2=kz2,合振動的大小和方向隨時間變化，合振動矢量末端運動軌跡方程為：可見其軌跡一般是橢圓，橢圓偏振光同理：將(5)2+(6)2得：設α1=kz1,α2=20由上式可知橢圓的形狀取決于兩疊加光波的振幅比a2/a1和相位差δ，合振動的不同偏振狀態(tài)如圖：分析：1、當δ＝0或±2π時，線偏振光2、當δ＝±π時的奇數倍，線偏振光3、當時，正橢圓

由上式可知橢圓的形狀取決于兩疊加光波的振幅比a2/21當a1=a2=a時：合成矢量末端運動軌跡是一個圓偏振光

。當δ任意取值時，任意取向的橢圓偏振光。左旋光與右旋光：1、右旋光：迎著光的傳播方向觀察，合矢量順時針方向旋轉。2、左旋光：迎著光的傳播方向觀察，合矢量逆時針方向旋轉。當a1=a2=a時：1、右旋光：迎著光的傳播方向觀察，合矢量22五、兩個不同頻率的單色光波的疊加討論兩個振動方向相同，振幅相等、且在同一方向傳播，但頻率接近的單色光波的疊加，其結果產生光學上的“拍”現(xiàn)象。（一）光學拍兩個不同頻率的單色光波利用疊加原理，得合成波五、兩個不同頻率的單色光波的疊加討論兩個振動方向相同23式中平均角頻率平均波數調制頻率調制波數令合成波是一個頻率為而振幅受到調制的波，即振幅隨時間和位置在-2a與2a間變化。

合成的振動相當于振幅隨時間緩慢變化的簡諧振動。則式中平均角頻率平均波數調制頻率調制波數令合成波是一個24tox1x2振動曲線tox1x2振動曲線25當很小振幅變化緩慢，而光波的頻率很高，E變化極快。合成波的強度與A2成比例合成波的強度隨時間和位置在0～4a2之間變化，這種強度時大時小的現(xiàn)象稱為拍。拍頻等于，即等于振幅調制頻率的兩倍，或等于兩疊加單色光波頻率之差。當很小振幅變化緩慢，而光波的頻率很高，E變化極快。合成波的強26圖9-35頻率不同的兩個單色光波的疊加a)兩個單色波b)合成波c)合成波的振幅變化d)合成波的強度變化圖9-35頻率不同的兩個單色光波的疊加27（二）群速度和相速度單色光波的傳播速度指它的等相面的傳播速度，即相速度而光動方程所確定的光波速度v＝c/n反映的是光波波面相位的傳播速度，也稱相速。合成波應包含等相面?zhèn)鞑ニ俣群偷确鎮(zhèn)鞑ニ俣葍刹糠?。相速度，由相位不變條件群速度是指合成波振幅恒定點的移動速度，即振幅調制包絡的移動速度。群速度是波包的能量傳播速度。合成波的相速度：由振幅不變的條件（二）群速度和相速度相速度，由相位不變條件群速度是指28當很小時，有代入上式得：由群速折射率：當很小時，有代入上式得：由群速折射率：29即波長較大的單色光波比波長較短的單色光波傳播速度大時（正常色散），群速度小于相速度即反常色散，群速度大于相速度對于無色散介質，群速度等于相速度越大，波的相速度隨波長的變化越大時，群速度與相速度相差越大即波長較大的單色光波比波長較短的單色光波傳播速度大時（正常色30光的色散：介質折射率隨光波頻率或真空中的波長而變的現(xiàn)象。當復色光在介質界面上折射時，介質對不同波長的光有不同的折射率，各色光因折射角不同而彼此分離。正常色散：對光波透明的介質，其折射率隨波長λ的增加而減小.反常色散：

在介質對光有強烈吸收的波段內(吸收帶)，折射率隨波長的增加而增加。對同一介質，在對光透明的波段內表現(xiàn)為正常色散

，而在吸收帶內則表現(xiàn)為反常色散。光的色散：31第九章

光的電磁理論基礎

第一節(jié)光的電磁性質一、電磁場的波動性（一）麥克斯韋方程組（Maxwell’sequation）1、積分形式：

第九章

光的電磁理論基礎32第一式為電場高斯定理:在如何電場中，通過閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的總電量。第二式為磁場高斯定理:表示穿過任意閉合曲面的磁感應通量等于零。第三式為法拉第電磁感應定律:表示沿任何閉合曲線的電場強度的線積分等于通過該閉合曲線所包圍面積的磁通量的變化率的負值。第四式為安培全電流定律表示磁場強度沿閉合環(huán)路的積分等于該環(huán)路所包圍的電流強度的代數和。2、微分形式：

為封閉曲面內的電荷密度;為閉合回路上的傳導電流密度;為位移電流密度。

微分算符第一式為電場高斯定理:微分算符33(二)物資方程當電磁場在介質中傳播時，介質就會對電磁場帶來影響，為描述這種影響，引入物質方程。σ：電導率ε：介電常數ε=ε0εrεr：相對介電常數μ：磁導率μ=μ0μrμr：相對磁導率在靜止、各向同性的均勻介質中，上述三個量均為常數。真空中，σ＝0，ε＝ε0＝8.542×10-12法/米，μ＝μ0＝4π×10-7亨/米（三）電磁場的波動性對于電磁場遠離輻射源：ρ=0,j=0,即不存在傳導電流，不存在自由電荷，這就要求介質的電導率。此時有：

▽或(二)物資方程▽或34自由空間的麥克斯韋方程組。在矢量分析（場論）理論中，有公式：若分別對下列方程兩式取旋度有：

同理：上兩式就是波動的微分方程的標準形式。▽自由空間的麥克斯韋方程組。▽35

稱為電磁波傳播速度。表明和是時間和空間坐標的函數，而且其隨時間和空間坐標的變化過程遵從波動的規(guī)律。當電磁波在真空中傳播時，其傳播速度為：這個理論值與實驗測定值是非常接近。在介質中，引入相對介電常數εr=ε/ε0和相對磁導率μr=μ/μ0

電磁波在真空中的速度c與介質中的速度v的比值n為介質對電磁波的折射率

實驗測得真空中的光速為：=c2.99792458+108m/s稱為電磁波傳播速度。實36二、平面電磁波及其性質（一）波動方程的平面波解

如果在垂直于傳播方向的平面上，在任意時刻，在任意空間位置，其各點幅值和相位都相同的波，稱為平面電磁波。1.方程求解:設光沿Z軸正向傳播，則平面波的Ｅ和Ｂ僅是z和t的函數:xyzv二、平面電磁波及其性質xyzv37求微分方程的通解：

f1和f2分別以（z/v－t)，(z/v＋t)為自變量的函數，各代表以相同速度v沿z軸，正負方向傳播的平面波，通常取z軸正方向。（二）波動方程的平面簡諧波解（SimpleHarmonicWave）：由上式得到的平面波的通解，具體的波動形式將取決于波源的形式，取最簡單的簡諧振動作為波動方程的特解：波動方程可化為：波動方程可化為：38

——電場、磁場的振幅矢量ω——角頻率

——位相，表示在時刻t，在z處的電磁場的振動狀態(tài)。

(三)平面波的參數波的頻率和周期角頻率：周期：波長與周期(三)平面波的參數波的頻率和周期角頻率：周期：波長與周期39介質中的波長與真空中波長的關系波數k、波矢量波數k:長為2π距離內包含的波長數。波矢量k0：為表示波傳播方向的單位矢量。引入波矢量后，波動方程可以寫成下式：沿空間任一方向k傳播的平面波：E=Acos(kr-ωt)E=Acos[k(xcosα+ycosβ+zcosγ)-ωt]任一方向傳播得平面波介質中的波長與真空中波長的關系波數k、波矢量波數k:長為240平面波的復數形式：E=Aexp[j(kr-ωt)]

——復振幅，表示光波在空間的分布，在只關心場振動的空間分布（干涉、衍射）時常用。（四）平面電磁波的性質：1、橫波特性：電矢量和磁矢量的方向均垂直波的傳播方向。2、E、B、k互成右手螺旋系。3、E和B同相位。三、球面波和柱面波：

1、球面波：任意時刻波振面為球面的光波波動方程k平面波的復數形式：E=Aexp[j(kr-ωt)412、柱面波是具有無限長圓柱形波面的波。四、光波的輻射和輻射能光波在傳播過程中，伴隨著能量的傳播，以s表示電磁波的能流密度矢量，它與E、H有如下關系：

發(fā)散的球面波：會聚的球面波：發(fā)散的球面波：會聚的球面波：42對于人眼或探測系統(tǒng)都無法接收到S的瞬時值，只能接收一個周期的平均值在物理學中，輻射強度的平均值S稱為光強以I表示所以光強I與平面波幅值A的平方成正比，對于同一介質中，兩場點的相對光強，可用I=A2第二節(jié)

光波的疊加

一、波的疊加原理：幾個波在相遇點產生的合振動是各個在該點產生振動的矢量和。

需要注意：1.疊加結果為光波振幅的矢量和，而不是光強的和。2.光波傳播的獨立性：兩光波相遇后又分開，每個光波仍然保持原有的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）3.疊加的合矢量仍然滿足波動方程的通解。一個實際的光場是許多個簡諧波疊加的結果。對于人眼或探測系統(tǒng)都無法接收到S的瞬時值，只能接收一個周期的43二、兩個同頻率、振動方向相同的單色光波的疊加（一）代數加法設光源s1，s2發(fā)出的單色光波在空間任意點p相遇，則：

E1=a1cos(kr1-ωt)E2=a2cos(kr2-ωt)式中a1,a2分別是兩束光波在p點的振幅。令α1=kr1,α2=kr2，則根據疊加原理，p點的合振幅為：

E=E1+E2=a1cos(α1－ωt）＋a2cos(α2－ωt）由三角函數公式可得：

E=Acos(α-ωt)式中s1s2pr1r2二、兩個同頻率、振動方向相同的單色光波的疊加s1s2pr1r44（二）振幅矢量加法α1αα2Aa1a2o設兩個矢量在ox的投影的運動為簡諧振動x合振動方程為：合振動的幅值合初相角為：E1E2E（二）振幅矢量加法α1αα2Aa1a2o設兩個矢量在ox的投45(三）、復函數的疊加：設有兩個振動方向相同，頻率相同的復函數的簡諧振動方程為：

E1=a1expi(ωt+α1）

E2=a2expi(ωt+α2）由疊加原理可知：E=E1+E2=a1expi(ωt+α1）+a2expi(ωt+α2）

=expiωt(a1expiα1+a2expiα2)

令a1expiα1+a2expiα2＝AexpiαE=expiωt×Aexpiα=Aexpi(ωt+α)復數E與其共軛的復數E*可表示為：

E=Aexpi(ωt+α)E*=Aexp[-i(ωt+α)]由復數性質：A2=E·E*=Aexpi(ωt+α)·Aexp[-i(ωt+α)]

=expiωt·Aexpiα·Aexp(-iα)·exp(-iωt)=(a1expiα1+a2expiα2)(a1exp(-iα1)+a2exp-(iα2))(三）、復函數的疊加：46=a12+a22+a1a2[expi(α1－α2）＋exp(-i(α1－α2))]由尤拉公式：

expi(α1－α2)+exp[-i(α1－α2)]=2cos(α1－α2)

上式得：A2=a12+a22+2a1a2cos(α1－α2)（四）對疊加結果的分析：（主要對象為合成的光強）

I=合成光強的大小取決于位相差δ。

若，設

=a12+a22+47λn—單色光在傳播介質中的波長（λn＝λ/n）λ—真空中的波長n—介質的折射率。光程差Δ＝n(r2-r1)是分析疊加結果的重要物理量。當：δ＝2mπ，Δ＝n(r2-r1)＝mλ有極大I=Imax=4I0

(m=1,±1，±2，±3，…）δ＝(2m+1)π，Δ＝(2m+1)λ/2極小I=Imin=0

(m=0,±1，±2，±3，…）三、駐波：兩個頻率相同、振動方向相同而傳播方向相反的單色光波的疊加將形成駐波。垂直入射的光波和它的反射光波之間將形成駐波。設反射面z=0的平面，假的界面有很高的反射比，入射波和反射波的幅值相等。λn—單色光在傳播介質中的波長（λn＝λ/n）48式中，δ是反射時相位變化。駐波為不同的z處的駐波振幅波腹的位置：

波節(jié)的位置：

式中，δ是反射時相位變化。49四、兩個頻率相同、振動方向垂直的單色光波的疊加（一）合成光波偏振態(tài)的分析光源s1和s2發(fā)出兩個頻率相等而振動方向互相垂直的單色光波，其振動方向平行x軸和y軸，并沿z軸方向傳播。顯然在p點處產生的光振動可寫為：（1）（2）由（1）得：Ex/a1=cos(kz1)cosωt+sin(kz1)sinωt(3)由（2）得:Ey/a2=cos(kz2)cosωt+sin(kz2)sinωt(4)將（3）×cos(kz2)－（4）×cos(kz1)得：

s1s2z1z2pyx四、兩個頻率相同、振動方向垂直的單色光波的疊加s1s2z1z50同理：

將(5)2+(6)2得：設α1=kz1,α2=kz2,合振動的大小和方向隨時間變化，合振動矢量末端運動軌跡方程為：可見其軌跡一般是橢圓，橢圓偏振光同理：將(5)2+(6)2得：設α1=kz1,α2=51由上式可知橢圓的形狀取決于兩疊加