初中數(shù)學(xué)幾何1000題專項訓(xùn)練（含詳解分析）-最新

初中數(shù)學(xué)幾何1000題專項訓(xùn)練（含詳解分析）·最新1．如圖所示，已知矩形ABCD，點E、F、G、H分別是AB、BC、DC、AD的動點，滿足AE＝GC，DH＝BF，AB＝2AD＝10，求四邊形EFGH周長L的最小值．答案：作點H關(guān)于AB的對稱點P，過點P作AB的平行線交CB的延長線于點Q，連接PE、PF，如圖所示．易證△AEH≌△CGF(SAS)，同理，△HDG≌△FBE(SAS)，∴L＝2(HE＋EF)．∵HE＝PE，PA＝HA＝CF，∴HE＋EF＝PE＋EF≥PF．∵PQ＝AB，BF＋QB＝BF＋FC＝BC，∴PF＝5，∴L≥10，即L的最小值為10．思路點撥本題是較為典型的“將軍飲馬”極值類型．通過作對稱變化，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”求解最小值．2．如圖所示，⊙O1與⊙O2外切于點M，它們的兩條外公切線的夾角為60°，點E、F為其中的兩個切點，連心線與⊙O1、⊙O2分別交于A、B兩點（異于點M)，過點B作直線交⊙O1于C、D兩點，求tan∠BAC·tan∠BAD的值．答案：連接O1F、O2E、MC、MD，如圖所示．∴tan∠BAC·tan∠BAD＝易證ΔBAC∽ΔBDM①ΔBCM∽ΔBAD②②÷①得∴tan∠BAC·tan∠BAD＝．設(shè)⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r．由對稱性可知∠FPA＝30°，∴O2E＝PO2＝（O2B＋PB)，∴r＝（r＋PB）PB＝r．同理，R＝（R＋3r)R＝3r．∵M(jìn)B＝2r，AB＝2R＋2r＝8r，∴tan∠BAC·tan∠BAD＝．思路點拔本題的關(guān)鍵在于導(dǎo)比．通過導(dǎo)比，發(fā)現(xiàn)tan∠BAC·tan∠BAD，而MB、AB僅與兩圓的半徑有關(guān)，本質(zhì)上就是求兩圓的半徑之比．3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3），B(4，0），△ABC為等邊三角形，求點C的坐標(biāo)．答案：作CD⊥AB于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，過點C作y軸的垂線交FD的延長線于點E，如圖所示．∵△ABC為等邊三角形，CD⊥AB，∴，AD＝DB．易證RtΔCED∽Rt△DFB(AA)，∴∵DF為Rt△AOB的中位線，∴FB＝OF＝2，DF＝，∴CE＝，ED＝2，∴xC＝EC＋OF＝＋2＝，yC＝DF＋ED＝＋2＝3＋，C（，）．思路點拔本題通過構(gòu)造一線三等角相似模型解得線段之間的數(shù)量關(guān)系，再解決點C的坐標(biāo)問題．這是一種運(yùn)算量很小的解法．4．如圖所示，在△ABC中，中線AM與高BH交于點D，AM＝BH，F(xiàn)D∥AB，F(xiàn)H＝，DM＝4，求DH．答案：過點M作MN∥BH交AC于點N，如圖所示．∴．設(shè)DH＝t，∵AM＝BH＝2MN，∴AD＝2DH＝2t，∴BH＝AM＝2t＋4．在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，由勾股定理得AH＝＝．∵DF∥AB，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），∴DH＝．思路點撥本題通過構(gòu)造中位線，將AM、BH和MN建立起數(shù)量關(guān)系，再由相似性質(zhì)解出DH、AD之間的數(shù)量關(guān)系，最后通過平行線分線段成比例定理解決DH的值．5．如圖所示，點A、C在半徑為的⊙O上，點B是⊙O內(nèi)一點，AB⊥CB于點B．已知AB＝6，BC＝2，求OB．答案：連接AC、CD，連接CO并延長交⊙O于點E，連接ED，如圖所示．∵∠CAD＝∠CED，∴tan∠CED＝tan∠CAD＝＝，∴EC＝CD．∵EC是⊙O的直徑，∴∠EDC＝90°，EC＝，∴CD＝＝．在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，由勾股定理得BD＝＝4，∴AD＝AB＋BD＝10．作OH⊥AD于點H，連接OA、OD，如圖所示．由垂徑定理得HD＝AH＝5，∴BH＝HD－BD＝1．在Rt△OBH中，∠BOH＝90°，由勾股定理得OB＝＝．思路點撥本題的關(guān)鍵在于將∠CAD轉(zhuǎn)化到直角三角形中，以便解決問題．在圓中轉(zhuǎn)化角，其常見的手段是利用“同弧所對的圓周角相等”．這樣就能解得弦CD，繼而解得弦AD，再由垂徑定理解得DH，最終解得OB．6．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點D在劣弧上，∠ABD＝45°，BD交AC于點E，連接CD、AD．已知sin∠BDC＝求tan∠CBD．答案：連接AO并延長，交BD于點N，交BC于點M，連接BO、DO，如圖所示．∵AB＝AC，∴AM垂直平分BC．∵∠ABD＝45°，∴AM⊥OD，∴OD∥BC，∴．易證∠BDC＝∠BOM，∴sin∠BDC＝sin∠BOM＝，∴．令BM＝12k，則BO＝OD＝13k，OM＝5k，∴，∴，∴，∴，∴tan∠CBD＝＝．思路點撥欲求tan∠CBD，由于∠CBD非特殊角，要將∠CBD轉(zhuǎn)化到直角三角形中，因為AB＝AC，所以借助∠BOM是最佳選擇．由∠ABD＝45°可知，OD∥BC，這一結(jié)論使得“天塹變通途”，相關(guān)線段的比例關(guān)系確定了，再求tan∠CBD＝就簡單多了．7．如圖所示，在面積為5的正方形ABCD中，點E為邊CD上一點，連接AE，過點D作DM⊥AE于點M，連接MC，將△DMC沿DM翻折，點C的對應(yīng)點為F，連接AF、BF．若S△ABF＝1，求△PMF的周長L．答案：連接FC，延長DM交CF于點N，如圖所示．由一半模型可知S△ABF＋S△FDC＝SABCD，∴S△FDC＝＝AB2sin∠FDCsin∠FDC＝．由“12345”模型可知tan∠NDC＝，∴NC＝＝易證∠NDC＝∠EAD，∴tan∠EAD＝，∴DE＝AD＝，∴PM＝EM＝∵AE⊥DN，F(xiàn)C⊥DN，∴AE∥CF，∴PF＝DF＝，MN＝DN．∵tan∠NMC＝＝tan∠NDC＝，∴MC＝MF＝NC＝，∴L＝PM＋PF＋MF＝＋＋．思路點拔本題重點考查一半模型和“12345”模型．初中生必須能夠靈活運(yùn)用這兩個模型，才能使計算過程簡單，否則計算量超大．本題欲求△PMF的周長L，即求三條線段之和．最直接的方法是分別計算三條線段的長度。由于題目條件非常少，怎樣利用有限的條件解決問題是關(guān)鍵．首先通過一半模型解得∠FDC的正弦值，再由“12345”模型得到點E為邊長三等分點的結(jié)論，然后結(jié)合平行線分線段成比例定理，就會得到∠NMC的正切值．這樣，問題很快就解決了．8．如圖所示，△PAB內(nèi)接于⊙O，點M、N在AB上，，PM⊥AO，PN⊥BO，求．答案：延長PM交AO于點C，延長PN交BO于點D，作OH⊥AB，如圖所示．設(shè)∠AOB＝2，則∠AOH＝，∠OAH＝90°－，∴∠AMC＝∠PMN＝，∴∠PAM＋∠APM＝．∵，∴∠APB＝＝180°－．∵在四邊形PCOD中，∠PCO＝∠PDO＝90°，∴∠CPD＋∠AOB＝180°，∴∠CPD＝180°－2，∴∠APM＋∠BPN＝∠APB－∠CPD＝，∴∠PAM＝∠BPN．∵OAB＝OBA，∴∠PMN＝∠PNM，∴∠AMP＝∠PNB，PM＝PN，∴△APM∽△PBN(AA)，如圖所示，∴，∴，∴，∴PM＝PN＝AM，∴．思路點撥本題的關(guān)鍵在于通過導(dǎo)角判定三角形相似以及△PNM為等腰三角形，即判定PM＝PN．由相似的性質(zhì)得到PM2＝AMBN，計算PM的長度，再由計算比值．9．如圖所示，在正方形ABCD中，點E、F分別是DC、BC上的動點，且滿足∠EAF＝45°．若AB＝2＋，求S四邊形AFCE的最大值．答案：延長CB至點G，使得GB＝DE，連接AG、EF，如圖所示．易證△ABG≌△ADE(SAS)，再證△AGF≌△AEF(SAS)，S四邊形ABCD＝S△AEF＋S四邊形AFCE為定值．當(dāng)S△AFE取得最小值時，S四邊形AFCE取得最大值．作AM⊥EF于點M，如圖所示，∴△ABF≌△AMF(AAS)，∴AM＝AB為定值．∵S△AEF＝AM·EF，∴EF取得最小值時，S△AEF取得最小值，S四邊形AFCE取得最大值．作△AEF的外接圓，設(shè)圓心為點P，取EF的中點H，連接AP、PE、PF、PH、HC，如圖所示．∵∠FAE＝45°，∴∠FPE＝90°，∴△PEF為等腰直角三角形．設(shè)EF＝2x，則HC＝PH＝x，AP＝x．∵AP＋PH＋HC＝(2＋)x≥AC＝AB，∴x≥，∴EFmin＝2．∵當(dāng)EF＝2時，S△AEF＝AB·EF＝2＋2，∴S四邊形AFCE＝S四邊形ABCD－S△AEF＝4＋2，∴S四邊形AFCE的最大值為4＋2．思路點撥正方形半角模型是中考的高頻考點．通過分析，當(dāng)EF取得最小值時，S四邊形AFCE取得最大值．通過構(gòu)造外接圓，可以簡捷地求解EF的最小值．10．如圖所示，點M是⊙O的直徑AB上一點，AM＝7BM，過點M的直線交⊙O于點P、Q若⊙O的半徑為6，求S△APQ的最大值. 答案：連接PO、QO，如圖所示.設(shè)BM＝k，則AM＝7k，B＝8k，AO＝BO＝4k∴OM＝3k，∴設(shè)S△POM＝3a,S△QOM＝3b則S△POA＝4a,S△QAO＝4b,∴S△APQ＝7（a＋b）.∴S△POQ＝3（a＋b）＝r2sin∠POQ≤r2＝18,當(dāng)PO⊥QO時取等號,∴a＋b≤6，S△APQ＝7（a＋b）≤42，即S△APQ的最大值為42.思路點拔：由于△APQ中P、Q兩個頂點都是動點，三邊和三個內(nèi)角均為變量，故直接研究△APQ的面積最大值會非常困難.如果我們能找到一個易于求解的三角形，且這個三角形與△APQ的面積有固定不變的關(guān)系，那么就可以“化天塹為通途”了.顯然，△POQ滿足條件：△POQ是腰長已知的等腰三角形，且△POQ與△APQ的面積有固定比值，那么，研究△POQ的面積值就成了當(dāng)務(wù)之急.根據(jù)sin∠POQ≤1可以輕而易舉地解得S△POQ≤18，再根據(jù)面積之間的關(guān)系解得S△APQ≤42.11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中拋物線y＝（x＋2）（x－8）交x軸于點A、B（點A在點B右側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線上第四象限的動點，連接BD交AC于點P，求的最大值.答案：連接BC、DC、AD，如圖所示.∵∴∵S△ABC＝20，為定值，∴當(dāng)S△ACD達(dá)到最大值時,取得最大值.作DE⊥x軸交AC于點E，如圖所示，S△ACD＝AO·DE＝4DE.易求yAC＝x－4,設(shè)點D（x，x2－x－4）,∴DE＝x－4－（x2－x－4）＝－x2＋2x，∴當(dāng)x＝4時，DEmax＝4，此時S△ACD＝4DE＝16，為最大值，∴，為最大值.思路點拔：本題將線段比轉(zhuǎn)化為面積比，當(dāng)S△ACD達(dá)到最大時，取得最大值，這就將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的模型，用寬高法求面積是二次函數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.12．如圖所示，Rt△ABC與Rt△DBC關(guān)于公共斜邊BC軸對稱，點M、N分別是AB、DC上的動點，且滿足AM＝DN，若BC＝5，AB＝4，求MN的最小值.答案：作∠BAC的平分線交BC于點P，連接DP、NP、MP，如圖所示.易證△AMP≌△DNP（SAS），∴∠APM＝∠DPN,MP＝NP.連接AD，如圖所示.∵∠MPN＝∠APM＋∠APN，∠APD＝∠DPN＋∠APN，∴∠MPN＝∠APD，∴△MPN△APD.∵M(jìn)N＝2MP·sin∠MPN＝2MP·sin∠APC，又∠APC為定值，∴當(dāng)MP達(dá)到最小值時，MN取得最小值.∵點M在AB上，點P為線段外一定點，∴MP的最小值為點P到AB的垂直距離，∴當(dāng)PM⊥AB時，MN有最小值.∵當(dāng)PM⊥AB時，∠MAP＝45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴.∵△MPN∽△APD→→MN＝AD,又AD＝2×＝∴MN＝思路點拔：本題中的點P仿佛有一種化腐朽為神奇的力量，讓我們領(lǐng)略了幾何之美.由點P產(chǎn)生的連鎖反應(yīng)，很自然地判定了全等與相似，從而得到“當(dāng)PM⊥AB時，MN有最小值”的結(jié)論，再由相似結(jié)論可輕松地解決最小值.13．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC,AB＋AC＝，求AD的最大值.答案：∵S△ABD＝AB·AD·sin30°＝AB·AD，S△ADC＝AC·AD·sin30°＝AC·AD，∴S△ABC＝（AB＋AC）AD＝AD.又S△ABC＝AB·ACsin60°＝AB·AC，∴AB·AC＝AD，∴AD＝AB.AC.設(shè)AB＝x，則AC＝－x，∴AD＝·x（－x），當(dāng)x＝時，AD取得最大值.思路點拔：根據(jù)面積相等，建立函數(shù)關(guān)系.當(dāng)兩個數(shù)的和為定值時，乘積在兩數(shù)相等時取得最大.由本題推廣到一般情況：在三角形中，當(dāng)鄰邊和為定值時，其角平分線長在鄰邊相等時取得最大值.14．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，內(nèi)切圓⊙I分別切AC、BC于點E、F，射線BI、AI分別交直線EF于點M、N，設(shè)S△AIB＝S1，S△MIN＝S2，求．答案：連接AM、BN、EI、FI，如圖所示，易證四邊形IECF為正方形，∴∠CEF＝∠MEA＝45°，∵∠MIA＝(∠CAB＋∠CBA)＝45°，∴∠MEA＝∠MIA，∴M、E、I、A四點共圓，∴∠AMI＝∠AEI＝90°，∴△AMI為等腰直角三角形，∴，同理，，由共角成比例定理得．【思路點撥】內(nèi)心的性質(zhì)是中考的高頻考點，本題由內(nèi)心性質(zhì)構(gòu)造四點共圓，解決AI與MI的比值問題，再由共角成比例定理（鳥頭定理）解決面積的比值問題．15．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，點D為BC的中點，以點D為圓心，以CD為半徑作圓交AB于點E，點F在上，點G在AB上，且∠DFG＝45°.若BC＝12，求AG的最大值.答案：作DM⊥FG于點M，作DN⊥AB于點N，連接DG，如圖所示.∵DF＝6，∠DFG＝45°，∴DM＝，∴DG≥DM＝.∵DN＝3，∴BN＝3，為定值，∴當(dāng)DG取得最小值時，GN取得最小值.∵當(dāng)DG＝時，NG＝3，∴BG取得最小值3＋3.∵BG＋AG＝AB＝，∴AGmax＝.思路點撥：欲求AG的最大值，即求BG的最小值.由于BN為定值，只需求NG的最小值.因為在Rt△DNG中，直角邊DN為定值，所以只要DG達(dá)到最小值，NG就取得最小值.再由直角三角形斜邊大于直角邊可求DG的最小值.16．如圖所示，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，且∠BAC＞∠ACD，OD⊥BD，求．答案：延長BD交⊙O于點E，連接OE交AC于點F，如圖所示．由相交弦定理得BDDE＝ADDE．∵OD⊥BE于點D，∴BD＝DE（垂徑定理），∴DE2＝ADDE．∵，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴，∴OE⊥AC于點F，∴OF＝OCsin30°＝OC＝EF，∴DF垂直平分OE，∴DE＝DO，∴∠DEF＝45°．不妨設(shè)OF＝t，則FC＝AF＝，DF＝t，∴AD＝，DC＝，∴．思路點撥本題由相交弦定理入手，得到BD＝DE的結(jié)論．再判定DF垂直平分OE，則△DEO為等腰直角三角形．可以看出，圖形中線段大都與OF有聯(lián)系，所以設(shè)OF為元，即可解決問題．17．如圖所示，在等腰Rt△ABC中，點D為斜邊的中點，點F、H分別在AB、AC上，AH＝AF，過點F作BH的垂線，交BH于點G，交BC于點E，AD與BH交于點P，若EC＝16，DP＝12，求AH．答案：延長EF、CA交于點S，如圖所示，易證△FSA≌△HBA（AAS），∴SA＝BA＝CA，∴SB⊥BC，∴△SBC為等腰直角三角形．作AM⊥BS于點M，交SE于點N，如圖所示，∴AM為等腰Rt△SBC的中位線，∴SM＝BD，∵∠MSN＋∠SEB＝∠DBP＋∠SEB＝90°，∴∠MSN＝∠DBP，∵，∴△MSN≌△DBP（ASA），∴MN＝DP＝12，∵SM＝BM，MN//BE，∴BE＝2MN＝24，∵EC＝16，∴BC＝40，AB＝AC＝，BD＝DC＝AD＝20，∴AP＝AD－PD＝8．連接HF并延長交SB于點Q，交AD于點T，如圖所示．∵AF＝AH，∴HQ//BC，△AFH為等腰直角三角形，∴四邊形QBDT為矩形，∴QT＝BD＝20，∵AT⊥FH，∴AH＝TH，設(shè)AH＝x，∵S△ABH＝QH·AP＝(QT＋TH)·AP＝·(20＋x)·8，又S△ABH＝AB·AH＝∴(20＋x)·8＝→x＝．【思路點撥】本題綜合性較強(qiáng)，通過兩次全等解決了BE，繼而解決了腰長問題，再利用寬高法求面積與直角三角形的面積公式建立方程解決AH．18．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在BC上，連接AD，點P在AD上，連接PC、PB，若tan∠CPD＝2，PB＝，S△APC＝S△BPC，求AB．答案：作BH⊥CP交CP的延長線于點H，作AG⊥CP交CP的延長線于點G，設(shè)CP的延長線交AB于點E，如圖所示。∵→AE＝BE，又S△APC＝AG·PC，S△BPC＝BH·PC，∴AG＝BH，∵，∴Rt△BHE≌Rt△AGE（HL），∴HE＝GE，∵AB＝AC＝2AE，∴tan∠AEP＝，∴∠AEP＝∠CPD＝∠APE，AG＝2EG∴AE＝AP，∴AG垂直平分EP，∴HE＝GE＝GP，設(shè)HE＝GE＝GP＝x，則BH＝AG＝2x，HP＝3x，在Rt△BHP中，由勾股定理得BP2＝BH2＋HP2→13＝4x2＋9x2→x＝1，∴BE＝，∴AB＝2BE＝．【思路點撥】本題綜合性較強(qiáng)，首先由共邊定理得到AE＝BE，弄由三角形面積公式得到HE＝GE，這就為全等證明提供了必要條件，為明確圖形中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系打下了基礎(chǔ)，由于等腰直角三角形的三邊存在確定的數(shù)量關(guān)系，論證AE＝AP不是一件困難的事情，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到HE＝GE＝GP，這就為解Rt△BHP提供了有利的條件．19．如圖所示，在△ABC中，點D為AC的中點，∠EDF＝90°，tanB＝，若FC＝5，EF＝，求AE．答案：延長ED至點G，使得ED＝DG，連接CG，如圖所示，∵，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠EAD＝∠GCD，AE＝CG，∴AB//CG，連接FG，作GH⊥BC交BC延長線于點H，∵FD垂直平分EG，∴EF＝FG＝，∵AB//CG，∴∠B＝∠GCH，∴tan∠GCH＝，設(shè)GH＝3x，則CH＝3x，AE＝CG＝5x，在Rt△FGH中，由勾股定理得FG2＝FH2＋GH2→90＝(5＋4x)2＋9x2→(x－1)(5x＋13)＝0，∴x＝1，∴AE＝5．【思路點撥】本題的思路是將△AED繞點D中心旋轉(zhuǎn)得到△CGD，構(gòu)造AB//CG，這樣就將∠B轉(zhuǎn)化到Rt△GCH中，再解直角三角形就簡單了．20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B(－3，0)，C(2，0)，A(0，t)在y軸的正半軸上，滿足∠BAC＝45°，求t．答案：取點D（0，2）、E（0，3），連接BE、CD，如圖所示，∴△BOE和△COD均為等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠CDA＝135°，∵∠BAE＋∠DAC＝45°，∠BAE＋∠ABE＝∠BEO＝45°，∴∠DAC＝∠ABE，∴△AEB≌△CDA(AAS)∴，∵BE＝，CD＝，又ED＝OE－OD＝1→AD＝AE＋1，設(shè)AE＝x，則AD＝x＋1，∴→x2＋x－12＝0→(x－3)(x＋4)＝0，∴AE＝3，∴t＝AO＝AE＋OE＝6．【思路點撥】本題的關(guān)鍵在于內(nèi)構(gòu)一線三角相似模型，這種解法可以說是平面幾何通法，不論BO、CO為何值，均可以此方法解答．21．如圖所示，在扇形ODE中，∠DOE＝90°，△ABC是扇形ODE的內(nèi)接三角形，其中點A、B、C分別在和半徑OE、OD上，∠ACB＝90°，，求線段AC的最小值.答案：取BC的中點F，連接FO、AF、AO，如圖所示.設(shè)AC＝3k，則BC＝8k，BF＝FC＝FO＝4k，∴AF＝5k.∵AF＋FO≥AO，5k＋4k≥9k≥1，取等號時，A、F、O三點共線，∴AC＝3k≥3，∴線段AC的最小值為3.思路點撥：直角三角形斜邊上的中線是中考的高頻考點，本題通過構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線將有限的條件進(jìn)行整合規(guī)劃，轉(zhuǎn)化成兩點之間的距離最小的極值模型.22．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，點E在以點C為圓心、以半徑為1的⊙C上，點D為平面上一點，且BD＝AE，求四邊形ABED面積的最大值.答案：在△ABC中，∠ABC＝90°.由勾股定理得AC＝＝5.∵點E在⊙C上運(yùn)動，∴4≤AE≤6.作DN⊥AE于點N，BM⊥AE于點M，如圖所示，∴SABED＝S△AEB＋S△AED＝AE·BM＋AE·DN＝AE·（BM＋DN）≤AE·（DO＋BO）＝AE·BD＝AE2≤×62＝18，∴四邊形ABED面積的最大值為18.思路點撥：由勾股定理得出AC，結(jié)合半徑，求出AE的取值范圍.對角線相等或存在倍數(shù)關(guān)系的四邊形的面積最大值存在于對角線互相垂直時.23．如圖所示，點P（－1，1）在雙曲線上，過點P的直線l1與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，且tan∠BAO＝1，點M是該雙曲線在第四象限上的一點，過點M的直線l2與雙曲線只有一個交點，并且與坐標(biāo)軸分別交于C、D兩點，求SABCD的最小值.答案：∵點P（－1，1）在雙曲線上，∴k＝－1，設(shè)直線l2的解析式為y＝ax＋b（a＞0，b＜0），∴ax＋b＝ax2＋bx＋1＝0.∵直線與雙曲線只有一個交點，∴＝b2－4a＝0b＝－2，直線l2的解析式為y＝ax－2，∴C（，0），D（0，－2）.∵tan∠BAO＝1，∴AO＝BO.設(shè)直線l1的解析式為y＝x＋c.∵點P（－1，1）在直線l1上，∴c＝2，∴AO＝BO＝2.∴AC＝2＋，BD＝2＋2，∴SABCD＝AC·BD＝2＋＋4.∵≥2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝1時取等號，∴SABCD≥8，∴SABCD的最小值為8.思路點撥：本題從韋達(dá)定理入手，解得直線l2的解析式，再解得直線l1的解析式，接著由對角線相互垂直的四邊形的面積公式解得四邊形面積關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，最后由均值不等式解得最小值.解題思路環(huán)環(huán)相扣、步步為營.24．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，矩形內(nèi)有一動點P，過點P作PE⊥AD于點E，連接PB、PC，求PE＋PC＋PB的最小值．答案：將矩形ABCD繞頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，過點C作A'D'的垂線，交A'D'于點G，交BC'于點M，如圖所示.∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴△BPP'為等邊三角形，∴BP＝BP'，∴PE＋PC＋PB＝P'E'＋PC＋P'P≥CG．∵CG＝GM＋MC＝AB＋BCsin60°＝4＋3，∴(PE＋PC＋PB)min＝4＋3．思路點撥由于所求三條線段相對分散且都是變量，不易直接求極值，勢必要另辟蹊徑，通過整合線段，向有利于解決問題的方向發(fā)展．本題通過整體捆綁旋轉(zhuǎn)，將復(fù)雜的極值問題轉(zhuǎn)化成直線外一點到直線的最短距離問題．25．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點均在反比例函數(shù)圖像上．已知點A（－1，－1)，且AB＝AC，∠BAC＝30°，求S△ACB．答案：設(shè)直線AB交y軸于點N，交x軸于點M作AH⊥x軸于點H，作BG⊥y軸于點G，如圖所示．∵yAO＝x，∴∠OAH＝45°．∵y＝的圖像關(guān)于AO軸對稱，AB＝AC，∴△ABC關(guān)于AO軸對稱，∴∠OAM＝15°，∴∠HAM＝30°．由反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)得BN＝MA，∴△AHM≌△NGB(AAS)，∴AH＝NG＝1．∵∠GNB＝∠HAM＝30°，∴GB＝GN·tan30°＝，∴B(，）．延長AO交y＝（x＞0)于點P，連接BP，如圖所示．∵y＝的圖像與正比例函數(shù)的圖像的交點關(guān)于原點中心對稱，∴AO＝PO，∴S△AOB＝S△BOP，P(1，1)，∴S△AOB＝＝思路點拔本題的關(guān)鍵在于充分利用反比例函數(shù)的幾何特性（軸對稱、中心對稱及BN＝MA)，首先解決點B的坐標(biāo)問題，然后將“大喇叭”三角形轉(zhuǎn)化為“小喇叭”三角形，這樣就回歸到我們熟悉的解題軌道上．本題如采用解析法，則運(yùn)算量超大．26．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A(－2,0)，點B(0,2)，點E，點F分別為OA，OB的中點．將正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE’D’F’，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，直線AE’與直線BF’相交于點P，求點P的縱坐標(biāo)的最大值和FP的最小值．答案：①點P的縱坐標(biāo)的最大值為．提示：如圖，當(dāng)AP與⊙O相切時，P點最高，此時，∠PAO＝30°，作PQ⊥AG，OB＝2，OG＝，AG＝2＋，PG＝1＋，PQ＝．②FP的最小值為．提示：P運(yùn)動的路徑是⊙D，當(dāng)D，F(xiàn)，P三個點在同一直線上時，F(xiàn)P最短，此時DP＝，DF＝1．27．如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP＋PQ的最小值為______．答案：28．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動，且滿足AE2＝BE2＋CE2，求點E運(yùn)動路徑的長度．答案：（1）AD2＋CD2＝BD2．提示：以BD為邊作等邊三角形BDG，則△BCD≌△BAG，于是BD＝DG，CD＝AG，∠DAG＝90°．（2）點E運(yùn)動路徑的長度為．提示：以AE為邊構(gòu)造等邊三角形AEF，連接BE，則△ACE≌△ABF，由AE2＝BE2＋CE2，可得∠FBC＝90°，于是四邊形AFBE中，∠AFB＋∠AEB＝210°，故∠BEC＝150°，所以點E在一段圓弧上運(yùn)動．29．如圖，是一副學(xué)生用三角板，45°的三角板中間有一個直徑為2的圓孔，現(xiàn)將30°的三角板穿在圓孔中，則透出部分（圖中陰影部分）的最大面積為______．答案：＋230．如圖，已知∠XOY＝60°，點A在邊OX上，OA＝2，過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，過點P作PD∥OY交OX于點D，作PE∥OX交OY于點E，設(shè)OD＝a，OE＝b，則a＋2b的取值范圍是______．答案：2≤a＋2b≤531．如圖，點E是邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點（不含A、B），過B、C、E三點的圓與BD相交于點F，與CD相交于點G，與∠ABC的外角平分線相交于點H，則△CFG的面積的最大值為______．答案：32．在△ABC中，AB＝3，AC＝．當(dāng)∠B最大時，BC的長是（）A． B． C． D．答案：B33．已知如圖，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圓的圓心是點O，∠BOC＝60°，分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F，求PE＋EF＋FP的最小值．答案：PE＋PF＋EF的最小值為－6．提示：如圖，將點P沿AB，AC翻折，分別得到M，N，連接AM，AN，MN，則AP＝AM＝AN，△AMN是120的等腰三角形，MN＝AP，△PEF周長最小值為MN的長，在△APC中，OP＝，OA＝，AP的最小值為，故PE＋PF＋EF的最小值為(－)－6．34．如圖1，直線l：y＝x＋b與x軸交于點A(4,0)，與y軸交于點B，點C是線段OA上一動點(0＜AC＜)．以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A交x軸于另一點D，交線段AB于點E，連結(jié)OE并延長交⊙A于點F．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式和tan∠BAO的值；（2）如圖2，連結(jié)CE，當(dāng)CE＝EF時，①求證：△OCE∽△OEA；②求點E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點C在線段OA上運(yùn)動時，求OE·EF的最大值．答案：（1）直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x＋3，tan∠BAO＝；（2）①略；②E()；（3）OE·EF的最大值．35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x＋4的圖像與x軸和y軸分別相交于A、B兩點．動點P從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運(yùn)動，到達(dá)點O停止運(yùn)動．點A關(guān)于點P的對稱點為點Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝秒時，點Q的坐標(biāo)是______；（2）在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）若正方形PQMN對角線的交點為T，請直接寫出在運(yùn)動過程中OT＋PTS的最小值．答案：（1）(4,0)；（2）①當(dāng)0＜t≤1時，S＝t2；②當(dāng)1＜t≤時，S＝t2＋18t；③當(dāng)＜t≤2時，S＝－3t2＋12．（3）OT＋PT的最小值為．36．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，點C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一動點，D是AP的中點，連接CD，則CD的最小值為______．答案：－137．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，EF⊥AC，求AF＋CF的最小值．答案：AE＋CF的最小值為5．提示：顯然，AC＝，則EF＝，作FG∥AE，AG∥EF，則AE＋CF＝GF＋FC，連接CG，則AE＋CF的最小值為CG的長．38．如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC，若AD＝3，CE＝5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q．（1）當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，求的值；（2）當(dāng)點P從A點運(yùn)動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑長．答案：（1）的值為； （2）線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑長為．39．已知如圖，∠AOB＝45°，E，F(xiàn)，分別是邊OA，OB上動點，EF＝6，內(nèi)部有一點P，∠PEF＝90°且PE＝1，當(dāng)E，F(xiàn)，運(yùn)動時，求線段OP的最大值．答案：OP的最大值為5＋．提示：以EF為底邊向左側(cè)作等腰直角三角形EGF，連接OG，GP，GP＝5，GO＝．40．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(4,3)，以C為圓心，1為半徑的圓上有一點P，求PA2＋PB2的最小值．答案：PA2＋PB2的最小值為34．提示：設(shè)P(x,y)，則由勾股定理可得，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2PO2＋2，當(dāng)PO最小時可得PA2＋PB2的最小值．41．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點P為優(yōu)弧AB上一動點，∠PAC＝60°，交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（）A． B．1 C．2 D．答案：B42．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，若連接DE，則△BDE周長的最小值為（）A． B． C． D．6答案：D43．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，P為以點A(0,)為圓心，2為半徑的圓上一動點，則點P與點B(m,m)距離的最小值為（）A．6 B． C．8 D．答案：B44．在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動，則PF2＋PG2的最小值為（）A． B．9.5 C．34 D．10答案：D45．(2016?武漢四調(diào)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，4）、P（1，0），B為y軸上的動點，以AB為邊構(gòu)造△ABC，使點C在x軸上，∠BAC＝90°，M為BC的中點，則PM的最小值為答案：46．P在等腰Rt△ABC內(nèi)，∠BPC＝135°，則的最小值是.答案：【法1】藍(lán)黃△∽【AA】PA＝CD≥CH，【法2】黃△∽【SAS】α＋β＝45°，PA＝CD≥PH＝·PC＝PC【法3】藍(lán)黃△∽【AA】PC＝AD≥2AH，.47．矩形ABCD內(nèi)接正△DMN，AD＞DC，AD＝2，DC＝m，試確定m的取值范圍。答案：【旋轉(zhuǎn)法】作正△DPK黃△≌【SAS】DA、PM的延長線交于Q正△DPQ，AD＜DQ＝DP即2＜，m＞，故＜m＜248．正△ABC邊長為2，高為AD，△ADC繞點D旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)△FDE，直線EC、AF交于G，則BG的最大值是.答案：兩個α，4個β【對頂點O】∠CGA＝∠FDE＝90°中垂線BH＝斜邊中線HG＝1BG≤BH＋HG＝＋149．⊙O半徑為1，等腰Rt△ABC，AB＝AC，A、B在⊙O上，求OC的最小值.答案：【旋轉(zhuǎn)（直角頂點A）】等腰Rt△AOD，黃△≌【SAS】OC≥OD－CD＝。50．AB＝2，M在以AB為直徑⊙O上，AM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AN；則ON的取值范圍是.答案：【旋轉(zhuǎn)法】綠△≌【SAS】＝OP－PN≤ON≤OP＋PN＝51．正方形ABCD邊長為1，E、F分別在BC、CD上，tan∠EAF＝，F(xiàn)M∥BC交AE于M，則FM的最小值是.答案：【旋轉(zhuǎn)法】黃△≌【邊銳角】倆a，MF＝m＋n，，MV＝4mn，4mn＋n＋m＝1，m＝，，4n2－4kn＋1－k＝0，△≥0，∴k2＋k－1≥0，。52．矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，E在BC上，等腰Rt△DEF，DE＝EF，則FA的最小值是.答案：【法1】黃藍(lán)△≌，EM＝DC＝3，EC＝4－t＝FM，F(xiàn)A2＝（3＋t）2＋（7－t）2＝2t2－8t＋58≥50【法2】【旋轉(zhuǎn)法】構(gòu)造藍(lán)黃△∽，DH＝，a＋β＝90°，∠HDN＝45°，等腰Rt△HDN，DN＝6，AN＝10，AM＝，AF≥AM＝53．AB＝4，AC＝，等腰Rt△BCD，BC＝CD，則AD的最大值是.答案：【法1】【牽手≌】等腰Rt△CAQ，綠黃△空【SAS】AD＝BQ≤QA＋AB＝6【法2】【牽手≌】等腰Rt△BAQ，藍(lán)黃△O【SAS】AD＝2，AD≤AQ＋QD＝654．直角坐標(biāo)系中，A（3，4），直線上一動點P，以AP為斜邊向上作等腰Rt△APM，則OM的最小值是.答案：【旋轉(zhuǎn)法】等腰Rt△ABN，藍(lán)灰△∽【SAS】∠MBA＝∠PNA＝45°，等腰Rt△OHB，C（3，－1），OC＝，tanα＝，BC＝＝OB，OM≥OH＝。55．AB＝2，BC＝1，CD＝3，直線AB、CD交于E，∠AEC＝60°，則AD的最小值是.答案：【平移法】【法1】灰平行四邊形，【369△FCH】，F(xiàn)D＝，AD≥－1【法2】黃平行四邊形，【369△FDH】，CF＝，AD＝BF≥－156．△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D在BC上，CD＝，CD繞點C旋轉(zhuǎn)得到CE，AEFB，則FD的最大值是.答案：菱形ACGB，CEFG，GF＝CE＝CD＝.GH＝，HD＝2GD＝，F(xiàn)D≤GD＋GF＝＋57．如圖，∠MON＝60°,AB為OM上的兩個定點,AB＝6,OB＝4,P為ON上的一個動點，則AP＋BP的最小值為答案：過B作B關(guān)于ON的對稱點C,過C作CD⊥OM于D,連AC,BCAP＋BP＝AP＋PC≥AC＝＝＝58．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（0，1），C（0，4），將線段AB向右平移，在平移過程中，折線和AC＋BC的最小值為．答案：過C作CF⊥y軸，作B’關(guān)于CF的對稱點B”，當(dāng)A’，C，B”三點共線時，AC＋BC值最小，其值為線段A’B”的長度，在△A’B”E中，由勾股定理求得A’B”的長度為2．59．△ABC，AB＝2，∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，D、A關(guān)于BC對稱，M、N分別在AB、CD上，AM＝DN，則MN的最小值是.答案：【法1】PM＋PN＝AD＝2，MN2＝PM2＋PN2≥(PM＋PN)2＝2，MN≥【法2】角分線AP，灰△≌【SAS】PM＝PN，∠MPN＝∠APD黃綠△∽【SAS】MN＝·AD≥·AD＝【法3】【平移法】灰平行四邊形，等腰Rt△AFD，MN＝DE≥DF＝60．△ABC的面積為6，BC＝4，∠BAC＝60°，D、E、F分別在BC、AB、AC上，則△DEF周長L的最小值是.答案：M、D關(guān)于AB對稱N、D關(guān)于AC對稱AM＝AD＝ANα＋β＝60°，∠MAN＝120°MN＝AM＝ADL＝ME＋EF＋FN≥MN＝AD≥AH＝3【說明】周長最小的內(nèi)接△是垂足△61．∠AOB＝20°，OA＝3，OB＝2，M、N分別在射線OA、OB上，則AM＋MN＋NB的最小值是.答案：A'、A關(guān)于OB對稱B'、B關(guān)于OA對稱∠A'OB'＝60°【解△A'OB'】A'B'＝【兩點間線段最短】m＋k＋n≥A'B'＝62．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，點P為△ABC內(nèi)一點，且AP＝4，點D、E分別是AC、AB上的動點，在運(yùn)動過程中，△PDE的周長最小值是（）A．4B．4C．8D．4答案：D【解析】作P點關(guān)于AC、AB的對稱點M、N，連MN交AC、AB于D、E則△PDE周長＝×4＝463．（2015?武漢）如圖，∠AOB＝30°，點M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，點P，Q分別在邊OB，OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是答案：【解析】作點M關(guān)于ON的對稱點M1，點N關(guān)于OA的對稱點N1，連接M1N1，分別交OA，ON于點Q，P，此時MP＋PQ＋NQ的值最小，由對稱性質(zhì)知，MP＋PQ＋NQ＝M1N，連接ON1，OM1則∠N1OM1＝90°，又ON1＝ON＝3．OM1＝OM＝1，∴M1N1＝＝．64．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC＝10,AD⊥BC于點D,E為AB邊的中點，M為AD上的一個動點，則BM＋EM的最小值為答案：連接CE,BM＋EM＝CM＋EM≥CM＝＝65．如圖,E為正方形ABCD邊AB上的一點，BE＝3AE＝3,P為對角線BD上一個動點，則PA＋PE的最小值是答案：5連接PD,DE,PA＋PE＝PE＋PD≥DE＝＝566．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（6，0）在x軸的正半軸上，射線OC在第一象限，且∠BOC＝30°，M為射線OC上的一個動點，則MA＋MB的最小值為．答案：作B點關(guān)于OC的對稱點D，連接OD，DA，過A點作AE⊥OD于E，當(dāng)M點在DA上時，MA＋MB最小，OA＝2，OE＝1，AE＝，DE＝5，AD＝2，MA＋MB的最小值為2．67．點A、B均在由面積為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示。若P是y軸上使得PA＋PB的值最小的點，且PA＋PB的最小值為m,Q是x軸上使得QA－QB的值最大的點，且QA－QB的最大值為n，則m＝,n＝.答案：過A作y軸的對稱點C,過B作x軸的對稱點Dm＝BC＝＝5n＝DQ＝＝68．如圖，∠AOB＝60°，C、D為∠AOB內(nèi)部的兩個定點，且OC＝2，OD＝3，∠COD＝30°，M、N分別為OA、OB上的兩點，則CM＋MN＋ND的最小值是．答案：作C關(guān)于OA的對稱點C’，作D關(guān)于OB的對稱點D’，當(dāng)M，N在線段C’D’上時，CM＋MN＋ND的值最小，在△C’OD’中，由勾股定理求得C’D’的長度為．69．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是．答案：作N關(guān)于OA的對稱點N’，作M關(guān)于OB的對稱點M’，當(dāng)P，Q在線段M’N’上時，MP＋PQ＋QN的值最小，在△M’ON’中，由勾股定理求得M’N’的長度為．70．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝3，E、F分別是矩形邊CD、AB上的兩點，則AE＋EF＋FC的最小值為．答案：作EF關(guān)于CD的對稱線段EF’，平移FC到F’C’，當(dāng)E，F(xiàn)’在線段AC’上時，AE＋EF＋FC的值最小，在△ABC’中，由勾股定理求得AN’的長度為15．71．AB＝4，AB中點P，AM＝1，BN＝4，∠MPN＝135°，則MN的最大值是.答案：【對稱法】T、A對稱，V、B對稱，等腰Rt△PTVMN≤MT＋TV＋VN＝5＋272．Rt△ABC,∠ACB＝90°,AB＝2，等腰Rt△ADE,AD⊥DE,E在AB延長線上，C在DE上,F在AD上，AF＝BE，則CF的最小值是.答案：【斜邊中線法與垂線對稱法組合】作等腰Rt△ABP，AF＝BE＝EQ則DF＝DQ＝DP，CF＝CP≥GP＝GC＝＝173．如圖．菱形ABCD中，∠ADC＝120°，M為AB邊中點，P為對角線AC上一動點，連接PB，PM，若PB＋PM的最小值是2，求AB的長度．答案：連接BD，連接DM交AC于P，此時PB＋PM最小值為，∴AB＝474．如圖，A(0，－4)．B(4，0)，點M為線段OB上一動點(點M與點B不重合)則AM＋BM的最小值為多少？答案：作點A關(guān)于x軸對稱點，作⊥AB交x軸于M，為最小值，75．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝1，P在AC上移動，PQ上BP交BC于Q，BQ的最小值是.答案：【斜邊中線】OP＝OB＝k，OC＝＝k，OK＝1＝OP≥OK，k≥1＝，k≥2＝76．等腰Rt△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)等腰Rt△ADE，AB＝BC＝2，O是AC中點，則S△ODE取值范圍是.答案：OH≥AH＝OA≥AD＝OA＝2＝,OH≤OD≤OA＋AD＝2＋,2＝≤S△ODE≤2＋77．正方形ABCD邊長為4，P在AD上，正方形APMN，O是BM中點，求OP的最小值．答案：【法1】【8字≌】OP＝OQ，【中位線】OK∥AM，【斜邊中線】OP＝OA≥AH＝【法2】MP延長線交AC于Q,PQ＝PA＝PM，中位線OP＝BQ≥BH＝78．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝4，BP＝2，K是PC中點，則AK的最大值是.答案：【中位線法】AK≤KD＋AD＝1十279．正方形ABCD邊長為1，M在AD延長線上，MC、AB延長線交于N，MD≤BN，求MN的最小值答案：黃△∽【AA】≥BN2≥1BN≥BC＝BE∠BCE＝45°,∠BCN≥45°,∠ACN≥90°【斜邊中線法】AK≥AC＝，MN＝2AK≥280．（2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標(biāo)為（-4,5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當(dāng)△ADE的周長最小時，點E的坐標(biāo)是A． B． C． D．答案：【分析】點E為折點，E是y軸上一點，作點D關(guān)于y軸的對稱點D’，連接AD，與y軸交點即為所求E點．81．（2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為A． B． C． D．答案：【分析】由可作出P點軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點B關(guān)于MN的對稱點B’，化折線PA+PB為PA+PB’．當(dāng)A、P、B’共線時，取到最小值，選A．82．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（0，0），B（20，0），C（20，10）.在線段AC，AB上各有一動點M，N，則當(dāng)BM＋MN最小時，點M的坐標(biāo)是______________.答案：(12，6)83．如圖，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝5，若M，N分別是線段AC，AB上的動點，則BM＋MN的最小值為_______________________.答案：提示：如圖，作△ABC關(guān)于AC對稱的△AEC，點B關(guān)于AC的對稱點E，連接ME，則MB＝EM.欲使MN＋BM最小，則MN＋EM最小，需點E，M，N在同一直線上且垂直于AB.作EG⊥AB，其最小值恰EG長，由△BEG∽△CAB可求得EG＝8，故BM＋MN的最小值為884．如圖，在△ABC中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，M，N分別是射線AB和AC上的動點，則CM＋MN的最小值是________________.答案：提示：如圖，以AB為邊向外作∠EAB＝22.5°，作點C關(guān)于AB的對稱點E，連接EM，則CM＝EM，欲CM＋MN最小，則EM＋MN最小，需點E，M，N在同一直線上且垂直于AC.作ED⊥AC，在△ADE中，∠EAD＝45°，AE＝6，故DE＝3，故CM＋MN的最小值為3.85．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，P，M，N分別是BC，CA，AB邊上的動點，則PM＋MN的最小值是______________________.答案：提示：如圖，以AC為邊向外作等邊△ACD，作點P關(guān)于AC的對稱點Q，連接MQ，則PM＝QM.欲PM＋MN最小，則QM＋MN最小，需點Q，M，N在同一直線上且垂直于AB，其最小值恰為等邊△ABC的高，故PM十MN的最小值為2.86．如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是______.答案：4提示：如圖，作點N關(guān)于AD的對稱點E，連接ME，則MN＝EM，欲MN＋BM最小，則BM＋EM最小，需點B，M，E在同一直線上且垂直于AC，其最小值恰為△ABC的AC邊上的高.作BG⊥AC，則BG＝4，故BM＋MN的最小值為4.87．（2018廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中點，P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是A．6 B． C． D．4.5答案：【分析】此處P為折點，作點M關(guān)于AC的對稱點M’，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM’．當(dāng)E、P、M’共線時，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：AC·BD/2=BC·EM’88． 如圖，在等邊△ABC中AB＝6，N為線段AB上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于點D，M是AD上的動點，連接BM，MN，則BM＋MN的最小值是_________________.答案：提示：如圖，作點N關(guān)于AD的對稱點E，連接EM，則MN＝EM.欲MN＋BM最小，BM＋EM最小，需點B，M，E在同一直線上且垂直于AC，其最小值恰為等邊△ABC的高，故BM＋MN的最小值為3.2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC.如果M，N分別為BD，BC上的動點，那么CM＋MN的最小值是________________.提示：如圖，作點N關(guān)于BD的對稱點E，連接ME，則MN＝EM.，欲MN＋CM最小，CM＋EM最小，需點C，M，E在同一直線上且垂直于AB，其最小值恰為Rt△ABC的斜邊AB上的高，故CM＋MN的最小值為.89．如圖，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N為AB上一點且BN=2AN，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是___________．答案：【分析】對稱點并不一定總是在已知圖形上．90．如圖，∠BAC＝30°，M為AC上一點，AM＝2，P是AB上一動點，PQ⊥AC于點Q，則PM＋PQ的最小值____.答案：提示：如圖，作AC和點M關(guān)于AB的對稱圖形AD和點D，連接DP，則MP＋PQ＝DP＋PQ，則當(dāng)點D，P，Q在同一直線上時滿足題意.作DE⊥AC，在△ADE中，AD＝2，∠DAC＝60°，故DE＝，則CP＋PQ的最小值為.91．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點.若P，Q為BC邊上的兩個動點，且PQ＝2，則當(dāng)BP＝_______________時，四邊形APQE的周長最小.答案：4提示:對于四邊形APQE的周長，其中PQ，AE是定值，欲周長最小，則需AP＋QE最小.如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點F，將點F右移2個單位得點G，連接GQ，則GQ＝PF＝PA，所以當(dāng)QE＋QG最小即可.連接EG交BC于點M，則點M就是滿足題意的點Q.在△EGH中，GH＝6，EC＝2，CH＝4，故MC＝2，所以BP＝4.92．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半徑分別為2和1，P，E，F(xiàn)分別是CD邊，⊙A和⊙B上的動點，則PE＋PF的最小值是________________.答案：3提示:作⊙B關(guān)于CD的對稱圓⊙G(如圖①）點E關(guān)于CD的對稱點是H，連接PH，則PE＋PF的最小值就是PF＋PH的最小值.則當(dāng)點P與點D重合，點H在AD延長線上，點F在AD上時(如圖②)，PH＋PF最小，而此時FH＝3，故PE＋PF的最小值為393．已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？答案：考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB為A’Q+QM+MB’．當(dāng)A’、Q、M、B’共線時，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次確定P、N位置．94．如圖，直線分別與x軸，y軸交于點A，B,C，D分別為線段AB，OB的中點,P為0A上一動點，則當(dāng)?shù)闹底钚r，點P的坐標(biāo)為()A．（－3，0）B．（－6，0）C．D.答案：C提示:作點D關(guān)于x軸的對稱點E,則E(0,－2),連接EC交x軸于點P,由題意,而,故,則.95．如圖,在矩形ABCD中，AB＝5,AD＝3，動點P滿足．則點P到A,B兩點距離之和的最小值為()A．B．C．D.答案：D提示:由,得出動點P在與AB平行且與AB的距離為2的直線l上,作點A關(guān)于直線l的對稱點E,則AE＝4,連接BE,則BE的長就是所求的PA＋PB的最短距離,在直角△ABE中,可求得BE長為.96．已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點A(5，0)，，P是對角線OB上一動點，D(0，1).當(dāng)CP＋DP的長度最短時，點P的坐標(biāo)為()A.(0,0)B.C.D.答案：D提示:由菱形性質(zhì)可知,點C關(guān)于OB的對稱點是A,故連接AD,則AD的解析式為,點B的坐標(biāo)為(8,4),OB的解析式為.故可求出點P的坐標(biāo)為.97．如圖，鈍角△ABC的面積為18，最長邊AB＝12，BD平分∠ABC，M，N分別是BD，BC上的動點，則CM＋MN的最小值為__________________.答案：3提示：如圖，作點N關(guān)于BD的對稱點E，連接ME，則MN＝EM.欲MN＋CM最小，則CM＋EM最小，需點C，M，E在同一直線上且垂直于AB，其最小值恰為鈍角△ABC的AB邊上的高.作CG⊥AB，則CG＝3，故CM＋MN的最小值為3.98．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo)．答案：如圖，將點D向右平移2個單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)于x軸的對稱點D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點F，將點F向左平移2個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形BDEF周長最小.理由：∵四邊形BDEF的周長為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.∴BF＋DE最小時，四邊形BDEF周長最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝EQ\F(3,2)，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝EQ\F(3,2)x－5．令y＝0，得x＝EQ\F(10,3)，∴點F坐標(biāo)為(EQ\F(10,3)，0)．∴點E坐標(biāo)為(EQ\F(4,3)，0)．99．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動點，則的最大值是多少？答案：如圖所示，作點A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′C，連接A′B并延長交CD于點P，則點P就是的值最大時的點，＝A′B．∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．∵點A、A′關(guān)于CD對稱，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值為4．100．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值是．答案：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到，使O＝OC，連接D，交AB于E，連接B，此時DE＋CE＝DE＋E＝D的值最小．連接B，由對稱性可知∠BE＝∠CBE＝45°，∴∠CB＝90°，∴B⊥BC，∠BC＝∠BC＝45°，∴BC＝B＝2，∵D是BC邊的中點，∴BD＝1，根據(jù)勾股定理可得：D＝，故EC＋ED的最小值是5．101．如圖，點C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長最短時，求y的值．答案：（1）作A關(guān)于x＝3的對稱點A′，連接A′B交直線x＝3與點C．∵點A與點A′關(guān)于x＝3對稱，∴AC＝A′C．∴AC＋BC＝A′C＋BC．當(dāng)點B、C、A′在同一條直線上時，A′C＋BC有最小值，即△ABC的周長有最小值．∵點A與點A′關(guān)于x＝3對稱，∴點A′的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)直線BA′的解析式y(tǒng)＝kx＋b，將點B和點A′的坐標(biāo)代入得：k＝，b＝?．∴y＝x－．將x＝3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為102．如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點，且DM＝3，N是AC上的一動點，求|DN－MN|的最小值與最大值．答案：當(dāng)ND＝NM時，即N點DM的垂直平分線與AC的交點，|DN－MN|＝0，因為|DN－MN|≤DM，當(dāng)點N運(yùn)動到C點時取等號，此時|DN－MN|＝DM＝3，所以|DN－MN|的最小值為0，最大值為3103．如圖，，內(nèi)有一定點，且.在上有一點，上一點．若立△周長最小，則最小周長是多少？答案：如圖，作點分別關(guān)于、的對稱點、，連接，分別交、于點、，連接、、、.，．△的周長的最小值為的長.由對稱性可得，，．△是正三角形．．即△周長最小值為10.104．已知，，為內(nèi)一定點，為上的點，為上的點，當(dāng)△的周長取最小值時：(1)找到、點，保留作圖痕跡；(2)求此時等于多少度.如果，又等于多少度？答案：（1）做點分別關(guān)于的對稱點，連接分別交于點．點即為所求，此時△的周長最小．（2）∵點與點關(guān)于直線對稱，點與點關(guān)于對稱，∴∠＝∠，∠＝∠，∠＝180°－∠＝140°．∴在△中，∠＋∠＝180°－140°＝40°，∴∠＋∠＝40°．∴∠＝100°．如果∠＝θ，∴∠＝180°－θ，∠＋∠＝θ．又∵∠＝2∠，∠＝2∠∴∠＋∠＝2（∠＋∠）＝2θ∴∠＝180°－2θ．105．如圖，四邊形中，,，在、上分別找一點、，使△周長最小，并求此時的度數(shù)．答案：如圖，作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接與、的交點即為所求的點．此時△周長最小．∵∠＝110°，∴∠＋∠＝180°－110°＝70°．由軸對稱的性質(zhì)得：∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝2(∠＋∠)＝2×70°＝140°．106．（2018·遼寧營口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．4答案：【分析】此處M點為折點，作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C．107．如圖，，、占分別為射線、上兩定點，且，，點、分別為射線、上兩動點，當(dāng)、運(yùn)動時，線段的最小值是多少？答案：作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接，分別交于點，連接、．則，此時最?。蓪ΨQ可知，，，，，．．作⊥于點，在Rt△中，∴，∴，∴的最小值是．108．在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最?。鸢福捍颂嶮、N均為折點，分別作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最?。?09．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．(1)若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo)．答案：(1)如圖，作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE，由模型可知△CDE的周長最小．∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).設(shè)直線CD'為y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直線CD'為y＝2x－2.令y＝0，得x＝1，∴點E的坐標(biāo)為(1，0).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得CD＝EQ\R(,13)，DE＝EQ\R(,5)，CE＝2EQ\R(,5)，∴△CDE周長的最小值為EQ\R(,13)＋3EQ\R(,5)．(2)如圖，將點D向右平移1個單位得到D'(1，2)，作D'關(guān)于x軸的對稱點D″(1，－2)，連接CD″交x軸于點F，將點F向左平移1個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形CDEF周長最小．理由：∵四邊形CDEF的周長為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時，四邊形BDEF周長最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，設(shè)直線CD″的解析式為y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直線CD″的解析式為y＝3x－5，令y＝0，得x＝EQ\F(5,3)，∴點F坐標(biāo)為(EQ\F(5,3)，0)，∴點E坐標(biāo)為(EQ\F(2,3)，0)．110．村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？AABl2l1答案：設(shè)l1和l2為河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，則A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.AABl2l1B'DC2C1111．如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD＋PE最小值是．答案：如圖所示，∵點B與點D關(guān)于AC對稱，∴當(dāng)點P為BE與AC的交點時，PD＋PE最小，且線段BE的長．∵正方形ABCD的面積為12，∴其邊長為∵△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值為．112．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝3，D在AB上，AD＝1，P在BC上，則PA＋PD的最小值是.答案：【兩點間線段最短】倆定點(A、D)中任?。近c，作其關(guān)于動點(P)所在直線的對稱點，該對稱點與另＝個定點連線段長即為所求(共點兩線段和PA＋PD)最小值【左圖】PA＋PD＝PA＋PD′，≥AD′＝【右圖】PA＋PD＝PA′＋PD≥A′D＝113．四邊形ABCD，AB＝BC＝6，∠B＝∠C＝90°，CD＝9，E是AB中點，EF⊥CD于F，M、N在EF上移動，MN＝2，求MA＋ND的最小值．答案：□MBPN,MA＝MB＝PNMA＋ND＝PN＋ND≥PD＝114．等腰Rt△ABC，AC＝BC＝1，等腰Rt△BMP，P在AC上，PB＝PM，求MA＋MB的最小值，答案：【法1】【旋轉(zhuǎn)法】等腰Rt△BDA，藍(lán)黃△∽【SAS】MA＝PD【將軍飲馬】E、D關(guān)于AP對稱MA＋MB＝(PD＋PB)＝(PE＋PB)≥BE＝【法2】【同旁45°】藍(lán)黃△∽【SAS】∠BEM＝90°，斜邊中線OE中位線OD，MA＋MB＝2(OD＋OE)≥2DE＝【法3】【軌跡法】△BPM初始是△BAD，藍(lán)黃△【SAS】∠ADM＝90°【將軍飲馬】E、A關(guān)于MD對稱，MA＋MB＝ME＋MB≥BE＝115．如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為EQ\O(\s\up6(⌒),AN)的中點，P是直徑MN上一點，則PA＋PB的最小值為________________.答案：2提示：作點A關(guān)于MN的對稱點D，連接BD，OD，OB，則BD與MN的交點就是P，BD的長就是PA＋PB的最小值.由題意可知，弧NB的度數(shù)是30°，弧ND的度數(shù)是60°，故∠DOB＝90°，從而BD長為2116．（2018·山東濰坊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為A．3 B．4 C． D．答案：【分析】此處E點為折點，可作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C’在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為C’E+EF，當(dāng)C’、E、F共線時得最小值，C’F為CB的一半，故選C．117．如圖，在軸上找一點，在軸上找一點，使最小，并求直線的解析式及點、的坐標(biāo)．答案：作點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，連接分別交軸、軸于點、，此時最?。蓪ΨQ性可知（－1,3），（3，－1）．易求得直線的解析式為，即直線的解析式．當(dāng)時，，∴點坐標(biāo)為（2,0）．當(dāng)時，，∴點坐標(biāo)為（0,2）．118．（2017湖北隨州）如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3,0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標(biāo)為．答案：【分析】此處點P為折點，作點M關(guān)于OA的對稱對稱點M’如圖所示，連接PM’，化PM+PN為PM’+PN．當(dāng)M’、P、N共線時，得最小值，又∠M’ON=60°且ON=2OM’，可得∠OM’N=90°，故P點坐標(biāo)可求．119．在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。答案：此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）120．如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1，N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是___________．答案：【分析】考慮DM為定值，故求△DMN周長最小值即求DN+MN最小值．點N為折點，作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，連接BN交AC于點N，此時△DMN周長最?。?21．（2019·山東聊城）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），點C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當(dāng)點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標(biāo)為A． B．， C．， D．答案：【分析】此處點P為折點，可以作點D關(guān)于折點P所在直線OA的對稱：也可以作點C的對稱：122．（2017·遼寧營口）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為A．4 B．5 C．6 D．7答案：【分析】作點C關(guān)于P點所在直線AB的對稱點C’，當(dāng)C’、P、D共線時，PC+PD最小，最小值為5，故選B．123．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，N為AB上一點且BN=2AN，BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是___________．答案：【分析】M點為折點，作B點關(guān)于AD的對稱點，即C點，連接CN，即為所求的最小值．過點C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長為2倍根號7．124．在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。答案：考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小。125．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．答案：【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA對稱點P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當(dāng)P’、N、M、P’’共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．126．（2017江蘇南通）如圖，矩形ABC