污染物在河流中的混合-課件

河流的水質(zhì)好壞對直接工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民的生活。自環(huán)境問題出現(xiàn)以來，人們對河流污染的預(yù)測和防治進行了大量的研究，已取得了很多成果。

第五章污染物在河流中的混合混合：是指污水進入環(huán)境水體之后的混摻和輸移的過程

本章將對河流在穩(wěn)態(tài)和動態(tài)情況下初始段和遠區(qū)的濃度計算問題進行介紹，其中對污染帶的計算將給出較詳細的分析和論述。河流的水質(zhì)好壞對直接工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民的生活。第五1污水排入河流之后的混合過程，可以將其劃分為三個階段：圖5-1污水與河流的混合過程第一節(jié)河流中的混合過程污水排入河流之后的混合過程，可以將其劃分為三個階段：圖5-12（1）第一階段(垂直混合階段，也稱為初始稀釋階段)

是從排污口開始到污水在垂直方向完全混合為止。該階段實際上是一種三維混合過程，只是由于水深（垂向）的尺度比其他兩個方向的尺度要小的多，所以首先完成垂向混合?；旌锨闆r與污水排出時的初始動量和浮力以及排污的位置等有關(guān)：如果污水排出的流速大于河水流速，則低流速的河水會卷吸到高流速的污水之中，從而加強了污水的初始稀釋。如果排出的流速較小，可以不考慮這種卷吸作用。如果污水的密度比河水要小，就有浮力作用，例如熱電廠的冷卻水（水溫較河水高）要考慮浮力作用。如果污水的密度比河水大，就有下沉作用。如果兩者密度相差很小，就不考慮浮力和下沉的影響。第一節(jié)河流中的混合過程（1）第一階段(垂直混合階段，也稱為初始稀釋階段)3

排污口的位置有表面排放與淹沒排放兩類。如果污水在水下較深處排放，則可利用較大的水深使污水在河流中達到較好的初始稀釋。在初始稀釋過程中，射流的動量和浮力的作用也將隨之減弱，在第二階段就不考慮其影響。對第一階段的計算需要用浮力射流理論等有關(guān)知識。第一節(jié)河流中的混合過程排污口的位置有表面排放與淹沒排放兩類。如果污水在水下4（2）第二階段(橫向混合段或初始段)

從污水在垂直均勻混合之后算起至河流橫向（在斷面上）均勻混合為止。

在本階段中，初始動量和浮力已經(jīng)消失，混合取決于河流中的二次環(huán)流和橫向紊動的作用。在此過程中，橫向的污染范圍逐漸變寬。如果污水的出流是恒定的時間連續(xù)源（即穩(wěn)態(tài)情形）在本段將形成一條穩(wěn)定的污染帶。橫向混合的結(jié)果導(dǎo)致達到全斷面的均勻混合。

為了簡化分析，可以對該階段的流速，濃度和橫向混合系數(shù)都各自沿水深平均，只研究垂線上平均值的縱向和橫向變化，按水平二維的混合過程處理，可以應(yīng)用二維紊流擴散方程作為控制方程和進行計算。第一節(jié)河流中的混合過程（2）第二階段(橫向混合段或初始段)從污水在垂直均5（3）第三階段(縱向分散段)從河流橫斷面均勻混合以后起算的階段。

在本階段中，在橫斷面上的濃度分布是均勻的，服從一維縱向分散方程，同時必須考慮污染物質(zhì)的非保守性。圖5-2污水與河流的混合過程第一節(jié)河流中的混合過程（3）第三階段(縱向分散段)從河流橫斷面均勻混合以后起算的6第一階段在排污口附近，稱為近區(qū)。一般是三維問題，需要浮力射流理論。第二、第三階段發(fā)生在離排污口較遠的區(qū)域，稱為遠區(qū)。順直河流斷面完全混合時的距離（河長）：中心排污：L=0.1VB2/My

岸邊排污：L=0.4VB2/My

My為河流橫向混合擴散系數(shù)。第一節(jié)河流中的混合過程第一階段在排污口附近，稱為近區(qū)。一般是三維問題，需要浮力射流7對三個階段的劃分也不是嚴格的，因為各個方向的混合并不是截然分開的，這樣的劃分只是反映了混合過程各個時期的主要特征，況且在實際問題中，也不一定都按三個階段進行處理：（1）污染物質(zhì)的非射流排放，第一階段的距離可能很短，可忽略不計；（2）如果河流的寬度比深度大的多，垂向混合與橫向混合相比可認為是瞬時完成，也可忽略第一階段；（3）由于河流不太寬，而射流排放的初始動量很大，垂向混合段很長，污染物質(zhì)在第一階段就擴展至全斷面，所以不存在第二階段；（4）如果進行水質(zhì)規(guī)劃，從大范圍來看河流的混合，相對說來，第一和第二階段很短，第三階段才是主要的，此時也可以忽略第一和第二階段。第一節(jié)河流中的混合過程對三個階段的劃分也不是嚴格的，因為各個方向的混合并不是截然分8第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算就計算方法而言，有確定性方法和隨機方法兩類：（1）確定性方法以紊流擴散為控制方程，對濃度等問題進行求解；（2）隨機方法從擴散位移是隨機過程的觀點出發(fā)，采用概率論的數(shù)學(xué)方法處理。本章主要介紹在矩形河道均勻流中和在不規(guī)則河道漸變流中污染帶計算的確定性方法。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算就計算方法而言，有確定性9

在大多數(shù)河流中，河寬遠大于水深。例如：有一河流寬W=30m、深h=1m，初步用下式估算垂向紊動擴散系數(shù)Ez和橫向混合系數(shù)My：通常認為垂向混合相對于橫向混合來說是瞬時完成的

由量綱分析可知，混合時間t∝L2/Ei（L表示某一特征長度），故有：My≈10Ez第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算在大多數(shù)河流中，河寬遠大于水深。例如：有一河10

在實際應(yīng)用中，為了研究方便，可以假定污染物質(zhì)在開始時就是沿垂線均勻混合的（即忽略第一階段），或者說開始時就可以作為一條垂直均勻混合線源來分析其水平二維擴散問題。如果第二階段的距離不是太長，此時可以忽略污染物質(zhì)的非守恒性，作為示蹤物質(zhì)考慮。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算在實際應(yīng)用中，為了研究方便，可以假定污染物質(zhì)在開始時11一、污染帶的濃度

當(dāng)河槽近似為矩形棱柱體，水流近似為均勻流，水深和斷面平均流速分別為h和V，假設(shè)：斷面上所有點流速u≈V,u=w=0;污染源為時間連續(xù)沿水深的線源,單位時間內(nèi)沿水深方向上注入的污染物質(zhì)質(zhì)量為

(量綱為[MT-1L-1]);不考慮岸邊對橫向擴散的反射作用和污染物質(zhì)的非守恒性；濃度和橫向混合系數(shù)沿水深平均，研究濃度的垂線平均值在縱向和橫向上的變化。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算一、污染帶的濃度當(dāng)河槽近似為矩形棱柱體，水流12（5-2-1）式中：c

和My

均為沿水深的平均值，在不致引起混亂的情況下,省去在字母兩側(cè)的代表沿水深取平均的兩條豎線。

在上述假設(shè)下，求污染帶的濃度問題便簡化為求一維縱向隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解，其控制方程：隨流紊動擴散方程第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-1）式中：c和My均為沿水深的平均值，在不致引13

當(dāng)坐標原點與污染原點重合時,參照連續(xù)無限長恒定線源一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)情形的解的形式：（5-2-2a）可得式(5-2-1)的解為:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算當(dāng)坐標原點與污染原點重合時,參照連續(xù)無限長恒定線源14將式（5-2-2a）改寫為：（5-2-2a）令，，，便有（5-2-2b）式中：cm的意義為污水與河水完全（均勻）混合后的濃度；

Q為河流流量；

Qd和cd分別為從排污口注入河流的污水流量和濃度。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算將式（5-2-2a）改寫為：（5-2-2a）令15圖5-3污染源點位于y0或（5-2-3a）（5-2-3b）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-3污染源點位于y0或（5-2-3a）（5-2-3b16圖5-3河流污染帶的起始計算斷面和坐標

進一步設(shè)河槽的寬度為W，坐標原點取在左岸水邊，污染源位于x=0、y=y0處。假設(shè)兩岸邊界為完全反射，則可在解式（5-2-2a）的基礎(chǔ)上用像源法解決。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-3河流污染帶的起始計算斷面和坐標17對真源y=y0，在y=0和y=W均有完全反射壁：

2W+y0Wy00-y0-2W+y02W-y0圖5-4兩岸反射的像源法第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對真源y=y0，在y=0和y=W均有完全反射壁：2W+y18考慮到兩岸的反射，利用像源法便得污染帶的濃度解：無邊壁反射：2W+y0Wy00-y0-2W+y02W-y0圖5-4

兩岸反射的像源法第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算考慮到兩岸的反射，利用像源法便得污染帶的濃度解：無邊壁反射19（5-2-4a）（5-2-4b）或式中：n取整數(shù)在實際應(yīng)用中，一般只取n=0，+1，-1計算就足夠準確了。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-4a）（5-2-4b）或式中：n取整數(shù)第二節(jié)矩形20

二、污染帶的長度（帶長）定義：從污染源的斷面（或從垂向擴散完成的斷面）開始至完全混合(c=cm)的斷面為止的一段縱向距離。斷面上各點的濃度c均滿足|(c-cm)/cm|≤5%，可近似認為此時已達到完全混合。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-1

中心排放二、污染帶的長度（帶長）定義：從污染源的斷面（或從垂向擴散21設(shè)污染源點位于河中心線上（y0￠=1/2），據(jù)式（5-2-4b）:分別算出沿中心線（y￠=

1/2）和沿岸邊線（y￠

=0或y￠=1）的相對濃度值c/cm

。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算從上式得不到帶長的顯式解析解，費希爾提出了用數(shù)值解來求帶長的方法。設(shè)污染源點位于河中心線上（y0￠=1/2），據(jù)式（5-2-422圖5-5中心排放時沿中線和岸邊的濃度曲線通過計算，當(dāng)x￠≥0.1，斷面上各點的濃度c均滿足:|(c-cm)/cm|≤5%，可近似認為此時已達到完全混合。當(dāng)中心排放時，由x￠=0.1

（忽略第一階段的長度），有帶長Lp的近似式：（5-2-5）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-5中心排放時沿中線和岸邊的濃度曲線通過計算，當(dāng)x23

如果水流條件和邊界條件不變，但將中心排放改為在岸邊一側(cè)排放。此時，岸邊排放的污染帶形狀與中心排放的污染帶的一半是相似的。也就是說，岸邊排放具有的橫向擴散寬度是中心排放的一側(cè)寬度的兩倍。圖5-1

中心排放圖5-2

岸邊排放第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算如果水流條件和邊界條件不變，但將中心排放改24上述兩個帶長公式并沒有得到實驗的支持，主要是因為濃度沿縱向變化很慢，對完全混合的標準也難以掌握，以致對帶長的量測有很大的不確定性。目前，對帶長公式的實驗驗證仍然有困難。（5-2-6）岸邊排放時的帶長近似式：以2W代替W第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算上述兩個帶長公式并沒有得到實驗的支持，主要是因為濃度沿縱向變25（5-2-7）式中：K為帶長系數(shù)，視點源或線源以及源的位置而定。對點源情形，有：應(yīng)用最大熵原理，從理論上導(dǎo)出滿足帶長定義的帶長公式：（5-2-8）在特殊情形下：當(dāng)中心排放y0/W=1/2時有K=1/24；當(dāng)岸邊排放y0/W=0或1時有K=1/6。點源位置第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-7）式中：K為帶長系數(shù)，視點源或線源以及源的位置而26對橫向線源情形，近似有：式中:y01和y02分別為線源的始點和終點的橫坐標，且規(guī)定y01和y02必須同在河中心線的一側(cè)，即y01、y02<W/2。（5-2-9）對點源情形y01=y02：線源y01y02第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對橫向線源情形，近似有：式中:y01和y02分別為線源的始27三、污染帶的寬度（帶寬）帶寬是指污染帶的橫向?qū)挾葓D5-1中心排放圖5-2岸邊排放從理論上說，只要根據(jù)帶邊的濃度應(yīng)為零的要求就可以求帶邊的y值,從而求出帶寬。由于恒定線源一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解是正態(tài)型，當(dāng)y→±∞，才有c→0。況且，也不能將稍有一點污染物就說成受污染了。必須對污染帶的污染含義給出數(shù)值性的規(guī)定。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算三、污染帶的寬度（帶寬）圖5-1中心排放圖5-2岸邊排放28三、污染帶的寬度（帶寬）常用的帶寬定義有兩種第一種：認為帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%。據(jù)此規(guī)定，便可求出相應(yīng)于各個x值的帶邊Wp值。當(dāng)中心排放時，各斷面的中心點就是出現(xiàn)最大濃度的點；當(dāng)岸邊排放時，各斷面的最大濃度點均位于排放岸邊處。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算三、污染帶的寬度（帶寬）第一種：認為帶邊的濃度為同斷面上最大29第二種：由于濃度在橫向上服從正態(tài)分布，寬度為4σy的正態(tài)分布曲線下的面積占總面積的95.4%，習(xí)慣上取4σy的寬度來代表正態(tài)曲線的寬度。對岸邊排放時的帶寬:（5-2-10）（5-2-11）對中心排放，如果污染物質(zhì)尚未擴展到岸邊，此時取帶寬為4σy

，便得中心排放時的帶寬:圖5-6一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算第二種：由于濃度在橫向上服從正態(tài)分布，寬度為4σy的正態(tài)分布30四、時間連續(xù)橫向線源的污染帶

如果排入河流的污水具有足夠的初始動量和浮力，則垂向混合階段會較長，可能不宜忽略第一階段。在第一階段的末斷面上，已有一部分達到橫向完全混合，設(shè)其濃度為ci(y)，現(xiàn)在將它看作是已知的時間連續(xù)橫向線源來計算下游的污染帶。

線源y01y02第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算四、時間連續(xù)橫向線源的污染帶如果排入河流的31（5-2-12）

時間連續(xù)點源的污染帶濃度解式：式中：y01和y02分別為橫向線源兩端點的橫向無量綱坐標。對上式按橫向線源積分，得時間連續(xù)橫向線源的污染帶濃度:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-12）時間連續(xù)點源的污染帶濃度解式：式中：32如果橫向線源的濃度是均勻的,亦即ci(y)=c0(常數(shù)),有：令,上式變?yōu)?第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算如果橫向線源的濃度是均勻的,亦即ci(y)=c0(常數(shù))33（5-2-13a）最后積分得:關(guān)于帶寬和帶長,可據(jù)上式并參照點源的做法及式(5-2-9)或（5-2-13b）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-13a）最后積分得:關(guān)于帶寬和帶長,可據(jù)上式34（5-2-14）

式（5-2-13）也可用于污染源是來自一條橫置于水流中的污水?dāng)U散器（該擴散器是一條水管，在管壁沿管軸連續(xù)裝有很多噴嘴使污水射入河水中），其中假設(shè)射入河中的污水瞬時完全垂直混合，混合后的橫向線源濃度為：式中：(y01￠-y02￠)為擴散器的無量綱長度(y01￠=y01/W,

y02￠=y02/W)；

cd和Qd分別為污水的濃度和流量；

Q為河流流量。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-14）式（5-2-13）也可用于污35例：某一河流，有微彎，邊岸和斷面的變化不大，流量為141m3/s，近似為均勻流，河寬為124m，水深為1.86m，河床糙率為0.025。有工業(yè)污水排入河中，污水流量為0.132m3/s，含有害的守恒物質(zhì)，濃度為200mg/L。（1）設(shè)排污口位于河中心，求下游1km斷面上的最大濃度及該處的帶寬;（2）設(shè)排污口位于左岸邊，求下游1km斷面上的最大濃度及分別離左岸31m和62m(河中心)處的濃度，并求該斷面的帶寬;（3）分別求上述中心排放和岸邊排放的帶長。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算例：某一河流，有微彎，邊岸和斷面的變化不大，流量為141m336解:

斷面平均流速：

剪切流速：按題給的河流情況,橫向混合系數(shù)取:單位時間內(nèi)在單位水深上注入的污染物質(zhì)質(zhì)量為:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算解:斷面平均流速：剪切流速：按題給的河流情況37

（1）求某指定點的濃度

當(dāng)中心排放和岸邊排放時，斷面上的最大濃度分別出現(xiàn)在該斷面上的河中心和排放岸的岸邊上。為便于計算，令第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（1）求某指定點的濃度當(dāng)中心排放和岸邊排放38表污染帶濃度計算污染源位置Ck/mg·L-1y0/mx/my/mnE1E2c/mg·L-1中心排放0.7462100062(河中心)01≈00.74+1≈0≈0-1≈0≈0岸邊排放0.74010000(左岸邊)0111.48+1≈0≈0-1≈0≈00.74010003100.0470.0470.07+1≈0≈0-1≈0≈00.740100062(河中心)0≈0≈00+1≈0≈0-1≈0≈0第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算表污染帶濃度計算污染源位置Cky0/mx/my/mnE139（2）求帶寬方法1：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%的要求。中心排放：y0=62m岸邊排放：y0=0第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（2）求帶寬方法1：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%40（2）求帶寬用試算法求解上式中y的值。

第一種方法：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%的要求，有：（5-2-15）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（2）求帶寬用試算法求解上式中y的值。第一41對岸邊排放：仍保留坐標軸原點在起始斷面的左岸邊，便有y0=0。對x=1000m，用試算法得：當(dāng)y=34m，f(y)=0.051，于是有帶寬Wp=y≈34m。在同斷面上，岸邊排放的帶寬比中心排放的帶寬要小50%。對中心排放：為使計算簡化，將坐標原點改置于起始斷面的河中心，便有y0=0。對x=1000m，用試算法：分別設(shè)y=40、35、34m，依次得f（y）=0.012、0.041、0.051，故認為y=34m，于是有帶寬Wp=2y≈68m。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對岸邊排放：在同斷面上，岸邊排放的帶寬比中心排放的帶寬要小542第二種方法對岸邊排放，由式（5-2-11）計算，得帶寬:對中心排放，由式（5-2-10）計算，得帶寬：可見，第二種方法比第一種方法算得的帶寬要小。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算第二種方法對岸邊排放，由式（5-2-11）計算，得帶寬:對中43（3）求帶長對岸邊排放，帶長:對中心排放，由式計算，得帶長：

對只有124m寬的河流來說，這兩個那么長的帶長會令人不敢相信，改用式（5-2-7）和式（5-2-8）計算：對岸邊排放對中心排放第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（3）求帶長對岸邊排放，帶長:對中心排放，由式44例：兩條河流匯合時的混合問題在實際中是常見的。例如某城市的水源，一部分來自上游的一條河，另一部分來自本地區(qū)的集雨，兩者水質(zhì)不同，在進行水處理之前，先將兩者混合。設(shè)每個水源流量均為1.42m3/s，現(xiàn)設(shè)計一條寬為6.10m的矩形渠道，縱坡S為0.001，糙率n為0.030，以便兩個水源在該渠匯合后達到完全混合（見圖5-7），試問該渠道要多長？圖5-7兩個水源（或兩條支流）的匯合第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算例：兩條河流匯合時的混合問題在實際中是常見的。例如某城市的水45解先求出該設(shè)計渠道的水深h和斷面平均流速V：已知連續(xù)方程Q=hWV，式中的斷面平均流速由謝才公式和滿寧糙率確定，于是有（5-2-16）式中：Q為兩個水源渠合后的流量，為2.84m3/s。用試算法解得上式的

h=0.670（m）由V=Q/(hW)得V=0.695（m/s）由得剪切流速u＊=8.11×10-2（m/s）

采用費希公式My=0.15hu＊得：橫向混合系數(shù)My=8.16×10-3（m2/s）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算解先求出該設(shè)計渠道的水深h和斷面平均流速V：（5-2-146帶長系數(shù)按式（5-2-9）計算，得：代入帶長計算公式得帶長：

如果采用帶末端斷面上各點濃度均達到|(c-cm)/cm|≤5%的要求來進行計算,由數(shù)值解可得x￠=0.35,便得帶長Lp=1109m，該值比264m大3.2倍。

在渠的上游斷面(x=0)有橫向線源，線源起端為y01=0，末端y02=W/2，設(shè)線源濃度為c0，則：在渠下游達到完全混合時的濃度為cm=c0(Q/2)/Q=c0/2第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算帶長系數(shù)按式（5-2-9）計算，得：代入帶長計算公式得帶長47第三節(jié)不規(guī)則河道非均勻流污染帶的計算

——累積流量法

不規(guī)則河道,主要是指河道斷面形狀沿縱向變化大，河道具有較大的彎曲。不規(guī)則河道水流的非均勻性顯著，水深h是x、y

的函數(shù)，流速u是x、y

、z

的函數(shù)。分析水平二維擴散時，將流速和濃度按水深平均考慮，雖然可以認為垂向流速w=0，并假設(shè)縱向流速u沿水深不變，只是x、y

的函數(shù),但不能忽略橫向流速v，它沿水深的平均也是x、y

的函數(shù)，它在不規(guī)則河道的流動和橫向隨流擴散中起重要作用。u(x,y)v(x,y)圖不規(guī)則河道示意圖第三節(jié)不規(guī)則河道非均勻流污染帶的計算

——累積流量法48自然坐標系比直角坐標系更適合于二維水質(zhì)模型的解析解法以及河道基本均直、水文水力學(xué)條件沿河流縱向和橫向分布均勻變化的情況What？？？自然坐標系自然坐標系比直角坐標系更適合于二維水質(zhì)模型的解析解法以及河道49自然坐標系如果質(zhì)點做平面曲線運動，且被約束在已知的軌道上，則可采用“自然坐標系”。所謂“自然”，意即“順其自然”，把軌道當(dāng)作坐標的“軸”。質(zhì)點的坐標是代表路程。質(zhì)點的運動方向規(guī)定為軌道切線的正方向。自然坐標系如果質(zhì)點做平面曲線運動，且被約束在已知的軌道上，則50自然坐標系的建立將此軌道曲線作為一維坐標的軸線，在其上任意選一點O作為坐標原點。

質(zhì)點在軌道上的位置可以用從原點O算起的弧長度s來表示，s稱為弧坐標。運動方程：自然坐標系是建立在物體運動的軌跡上的。切向坐標沿運動軌跡的切線并指向質(zhì)點運動的方向；法向坐標n沿運動軌跡的法線方向并指向曲線凹側(cè)。在質(zhì)點上建立兩個的坐標軸：切向坐標和法向坐標。自然坐標系的建立將此軌道曲線作為一維坐標的軸線，在其上任意選51強調(diào)：自然坐標系是建立在運動質(zhì)點上的，它隨質(zhì)點一起運動在軌道曲線上。軌道上各點的自然坐標系的二個坐標軸的方位是不斷變化的。

為單位矢量，大小不變（模為1不變），但方向隨時間改變。強調(diào)：自然坐標系是建立在運動質(zhì)點上的，它隨質(zhì)點一起運動在軌道52建立一個平面的自然坐標系：x坐標與流線重合，y坐標與x坐標（流線）垂直。作為x軸的那條流線把河流流量分為一半，沿x

軸的各分段長度△x彼此相等，沿y軸的各分段長度△y也彼此相等?？v向坐標線都是流線，橫向坐標線都是過水面線，它們處處與縱向坐標線垂直。圖不規(guī)則河道的自然坐標系第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算建立一個平面的自然坐標系：x坐標與流線重合，y坐標與x坐標（53設(shè)垂向流速，由于縱向紊動擴散項比同方向的隨流項小得多，可將縱向紊動擴散項忽略，則上式又簡化為：將上式沿水深取積分，并以符號＜…＞代表，即（5-3-2）＜…＞=于是有（5-3-3）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算

一、基本方程對穩(wěn)態(tài)情形（），三維隨流紊動擴散方程變?yōu)椋海?-3-1）設(shè)垂向流速，由于縱向紊動擴散項比同方向的54式中：各個沿水深平均值為（5-3-4）令（5-3-5）

和分別為沿水深的濃度偏離系數(shù)和沿水深的橫向流速偏離系數(shù)。第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算式中：各個沿水深平均值為（5-3-4）令（5-3-5）55顯然有（5-3-6）利用式和式有（5-3-7）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算顯然有（5-3-6）利用式56（5-3-8）式中：（5-3-9）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算（5-3-8）式中：（5-3-9）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流57（5-3-8）式中：如果在河底和水面沒有污染物質(zhì)的源和匯，則：

（5-3-9）即：式（5-3-8）中還有:第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算（5-3-8）式中：如果在河底和水面沒有污染物質(zhì)的源和匯，則58

根據(jù)橫向流速沿水深分布的非均勻性而產(chǎn)生分散的概念，定義式中：My為橫向混合系數(shù)，主要反映橫向二次流的分散作用將上式代入式（5-3-10），有（5-3-10）（5-3-11）（5-3-12）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算根據(jù)橫向流速沿水深分布的非均勻性而產(chǎn)生分散的59將橫向紊動擴散項取消第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算將橫向紊動擴散項取消第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算60u和v沿水深平均后的二維水流連續(xù)方程為：（5-3-15）則式變?yōu)椋海?-3-16）是作為累積流量法基礎(chǔ)的方程式第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算為了書寫簡化，取消式中表示沿水深平均的雙豎線，得（5-3-13）（5-3-14）u和v沿水深平均后的二維水流連續(xù)方程為：（5-3-15）則式61式中：mx和my分別為坐標系的度量系數(shù)。

mx等于沿縱向坐標線量度的距離與在x軸上量度的距離之比

mx等于沿橫向坐標線量度的距離與在y軸上量度的距離之比

x軸線上的mx=1，y軸上的my=1由于各條縱向坐標線上的△x一般都分別與x軸上相應(yīng)的△x的長度不相等，各條橫向坐標線上的△y一般也分別與y軸上相應(yīng)的△y的長度不相等，故在自然坐標系情況下，式（5-3-16）應(yīng)寫為（5-3-17）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算式中：mx和my分別為坐標系的度量系數(shù)。由于各條縱向坐標線上62同樣，水流連續(xù)方程應(yīng)改寫為（5-3-18）只有當(dāng)流線劇烈彎曲，才有必要引入度量系數(shù)。在一般情形下，從實用上說是不需要的。在自然坐標系情況下，二維隨流一維橫向擴散方程應(yīng)寫為（5-3-17）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算同樣，水流連續(xù)方程應(yīng)改寫為（5-3-18）只有當(dāng)流線劇烈彎曲63

已知單寬流量可表為q=hu，引入累積流量qc坐標，建立qc與y的關(guān)系：式中my只是y的函數(shù)，而與x無關(guān)。（5-3-19）?流管內(nèi)的流量沿程不變（?qc/?x=0）由式得：0第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算已知單寬流量可表為q=hu，引入累積流量qc64?qc/?

y=my

hu為方便計算，有時將上式改寫為進一步將累積流量坐標qc加以無量綱化，令式中：h(y)稱為無量綱累積流量坐標，Q為河流流量。（5-3-21a）（5-3-21b）（5-3-22）將式通過復(fù)合函數(shù)表示為（5-3-20）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算?qc/?y=myhu為方便計算，有時將上式改寫為進65令稱Dy(x,h)為橫向擴散因素，量綱為[L5T-2]。（5-3-23）（5-3-24）Dy綜合地反映了水流的流動，包括縱向流速、紊動、二次環(huán)流以及水深、河床地形、河道彎曲等因素對橫向擴散輸移的影響。累積流量坐標下計算污染帶的基本方程第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算令稱Dy(x,h)為橫向擴散因素，量綱為[L5T-2]。66累積流量法的精髓：將上兩式比較可知，由于累積流量的坐標線與流線重合，使得hu=0，在累積流量坐標下計算污染帶的基本方程中便不會出現(xiàn)橫向流速u

。這樣，既通過使用累積流量坐標對u加以考慮，而同時又在計算中避開了當(dāng)u出現(xiàn)時的麻煩，這樣就將河槽矩形化了，使計算大為簡化。第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算累積流量法的精髓：將上兩式比較可知，由于累積流量的坐標線與67qc(y)值可由實測流速、流量、水深和斷面形狀等資料求出。如果沒有流速資料，而只有流量、水深和斷面形狀資料，則可用Sium提出的求單寬流量的經(jīng)驗公式（5-3-25）式中：為平均單寬流量，=Q/W,W為水面寬；為斷面平均水深，=A/W,A為過水?dāng)嗝婷娣e;

bo和b1為經(jīng)驗參數(shù)，當(dāng)bo=1、b1=5/3便與曼寧公式一致對順直河道：當(dāng)50<W/<70,bo=1，b1=5/3

當(dāng)W/>70,bo=0.92，b1=7/4二、無量綱累積流量坐標的建立第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算qc(y)值可由實測流速、流量、水深和斷面形狀等資料求出。（68式中：y=△y1+△y2+…+△yj。為了使式（5-3-26）滿足η(y=W)=1，在計算中可能要對經(jīng)驗參數(shù)值作一些修正。有:（5-3-26）將式代入式:hihi+1j+1jj第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算式中：y=△y1+△y2+…+△yj。有:（5-3-26）69例：有一不規(guī)則的彎曲河段，在斷面A上，水面寬W為300m，過水?dāng)嗝婷娣e為378.75m2，y軸原點在左岸水邊，取△y均為25m，每個△y的中點水深見表。初取bo=1，b1=5/3，試求無量綱累積流量坐標η與y的數(shù)值關(guān)系。解：第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算斷面平均水深例：有一不規(guī)則的彎曲河段，在斷面A上，水面寬W為300m，701.000.9930.9680.9210.8640.7800.6790.5510.3880.2240.0900.0160748848347144872038033026818910943.77.87060.2170.4880.9181.1021.6291.9662.4933.1753.1752.6141.4310.015050.400.60.951.061.341.501.732.002.001.781.240.500hi/m43002752502252001751501251007550250y/m3252525252525252525252525021211109876543210序號i1表斷面A的h(y

)計算該結(jié)果不等于1不合理的△yi/m第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算1.000.9930.9680.9210.8640.780071現(xiàn)在修改bo的取值，以使h(y=W

)=1，由最后由式得表中第7行h(y）的值。得：第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算現(xiàn)在修改bo的取值，以使h(y=W)=1，由最后由式得721.000.9930.9680.9210.8640.7800.6790.5510.3880.2240.0900.0160748848347144872038033026818910943.77.87060.2170.4880.9181.1021.6291.9662.4933.1753.1752.6141.4310.015050.400.60.951.061.341.501.732.002.001.781.240.500hi/m43002752502252001751501251007550250y/m3252525252525252525252525021211109876543210序號i1表斷面A的h(y)計算△yi/m第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算1.000.9930.9680.9210.8640.780073My反映了二次環(huán)流和紊動對橫向擴散的影響。如果河段中斷面形狀沿程變化較大，則可將該河段再分為若干段，每段都有它的代表斷面，此時對My值取分段平均。如果斷面形狀沿程變化不大，此時對My值可取全長平均。（mxh2u）反映了河道彎曲、水深和縱向流速對橫向擴散的影響，（mxh2u）隨點位置（x，y）而變，可視情況取斷面平均或取全長平均。Lau等人認為，對My取分段平均，但保持（mxh2u）是x和y的函數(shù)，這樣計算效果較好。

三、橫向擴散因素的處理及最簡化的基本方程

第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算My反映了二次環(huán)流和紊動對橫向擴散的影響。三、橫向擴散因素74有令式中：D也稱為橫向擴散因素，量綱為[L-1]。對較簡單的邊界條件，上式可能有解析解。（5-3-28）（5-3-29）如果對My和（mxh2u）都取全長平均，則Dy是常數(shù)：（5-3-27）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算有令式中：D也稱為橫向擴散因素，量綱為[L-1]。（5-3-75My

/(VW2)

D第四節(jié)累積流量法的污染帶方程的解析解穩(wěn)態(tài)情況下一維縱向隨流一維橫向紊動擴散的控制方程可改寫為：只要D為常數(shù)，就可以將穩(wěn)態(tài)情況下一維縱向隨流一維橫向紊動擴散的方程的定解和由該式引導(dǎo)出來的各種定解，套用到不規(guī)則河道非均勻流污染帶的相應(yīng)定解問題中來。穩(wěn)態(tài)情況累積流量坐標下污染帶計算的控制方程為：y′(y/W)ηMy/(VW2)761、時間連續(xù)點源，未受岸壁反射參照（5-2-2b），并注意，有解2、時間連續(xù)點源，考慮兩岸反射參照式（5-2-4a），有解（5-4-1）（5-4-2）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算2、時間連續(xù)點源，考慮兩岸反射（5-4-1）（5-4-2）773、時間連續(xù)線源，考慮兩岸反射參照式（5-2-13a），有解（5-4-3）以上各式中：co為已知常數(shù)，對擴散器則：第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算3、時間連續(xù)線源，考慮兩岸反射（5-4-3）以上各式中：co78例：考慮前面例子給出的河段，在該例中已對水面寬為300m的斷面A，求出η(y)了?，F(xiàn)補充下列數(shù)據(jù)：河水流量為162m3/s，污水在斷面A離左岸25m處有一排污口，污水流量為0.20m3/s，濃度為140mg/L；該河段的平均水深為1.22m，平均水面寬為312m，斷面平均流速為0.42m/s，河床糙率為0.025；在斷面下游500m處的斷面B上，水面寬為312m，取△y=26m，每個△y的中點水深見表；平均縱向度量系數(shù)均為1.0，取無量綱橫向混合系數(shù)My/(u*)=0.6。試求斷面B上左岸水邊和離左岸25m處的濃度。y=25mx=500mWa=300mQ=162m3/sABWb=312m第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算例：考慮前面例子給出的河段，在該例中已對水面寬為300m的斷791序號i01234567891011122026262626262626262626262630265278104130156182208234260286312400.380.630.931.001.301.451.681.951.951.701.200.45500.1990.4630.8661.001.551.862.373.043.042.421.360.264605.1817.240.366.31.7155217296375438473480700.0110.0360.0840.1380.2220.3230.4520.6170.7830.9140.9881.00表斷面B的η（y）計算解：在斷面A上，y=25相應(yīng)的源點位置為ηo=0.016。建立斷面B的η

(y)：暫取bo=1、b1=5/3，計算結(jié)果見表其中bo修正為：在斷面B上有：y=0和y=25分別相應(yīng)有η

=0和η

=0.0106

（由內(nèi)插得到）第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算1序號i0123456789101112202626262680剪切流速u＊計算：繼有：

第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算剪切流速u＊計算：繼有：第三節(jié)不規(guī)則河道81據(jù)時間連續(xù)點源、考慮兩岸反射的解析解式：求斷面B上η=0和η=0.0106處的濃度。

表污染帶的累積流量法計算x(m)hho(mg/L)4DxnE1E2C(mg/L)5000(左岸水邊)0.016（A斷面離岸25m)2.930.0011100.7940.7944.65+100-1005000.0106(y=25m)2.930.0011100.9740.5294.40+100-100其中：第三節(jié)不規(guī)則河道非均與流污染帶的計算據(jù)時間連續(xù)點源、考慮兩岸反射的解析解式：表污染帶82

河流的水質(zhì)好壞對直接工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民的生活。自環(huán)境問題出現(xiàn)以來，人們對河流污染的預(yù)測和防治進行了大量的研究，已取得了很多成果。

第五章污染物在河流中的混合混合：是指污水進入環(huán)境水體之后的混摻和輸移的過程

本章將對河流在穩(wěn)態(tài)和動態(tài)情況下初始段和遠區(qū)的濃度計算問題進行介紹，其中對污染帶的計算將給出較詳細的分析和論述。河流的水質(zhì)好壞對直接工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民的生活。第五83污水排入河流之后的混合過程，可以將其劃分為三個階段：圖5-1污水與河流的混合過程第一節(jié)河流中的混合過程污水排入河流之后的混合過程，可以將其劃分為三個階段：圖5-184（1）第一階段(垂直混合階段，也稱為初始稀釋階段)

是從排污口開始到污水在垂直方向完全混合為止。該階段實際上是一種三維混合過程，只是由于水深（垂向）的尺度比其他兩個方向的尺度要小的多，所以首先完成垂向混合?；旌锨闆r與污水排出時的初始動量和浮力以及排污的位置等有關(guān)：如果污水排出的流速大于河水流速，則低流速的河水會卷吸到高流速的污水之中，從而加強了污水的初始稀釋。如果排出的流速較小，可以不考慮這種卷吸作用。如果污水的密度比河水要小，就有浮力作用，例如熱電廠的冷卻水（水溫較河水高）要考慮浮力作用。如果污水的密度比河水大，就有下沉作用。如果兩者密度相差很小，就不考慮浮力和下沉的影響。第一節(jié)河流中的混合過程（1）第一階段(垂直混合階段，也稱為初始稀釋階段)85

排污口的位置有表面排放與淹沒排放兩類。如果污水在水下較深處排放，則可利用較大的水深使污水在河流中達到較好的初始稀釋。在初始稀釋過程中，射流的動量和浮力的作用也將隨之減弱，在第二階段就不考慮其影響。對第一階段的計算需要用浮力射流理論等有關(guān)知識。第一節(jié)河流中的混合過程排污口的位置有表面排放與淹沒排放兩類。如果污水在水下86（2）第二階段(橫向混合段或初始段)

從污水在垂直均勻混合之后算起至河流橫向（在斷面上）均勻混合為止。

在本階段中，初始動量和浮力已經(jīng)消失，混合取決于河流中的二次環(huán)流和橫向紊動的作用。在此過程中，橫向的污染范圍逐漸變寬。如果污水的出流是恒定的時間連續(xù)源（即穩(wěn)態(tài)情形）在本段將形成一條穩(wěn)定的污染帶。橫向混合的結(jié)果導(dǎo)致達到全斷面的均勻混合。

為了簡化分析，可以對該階段的流速，濃度和橫向混合系數(shù)都各自沿水深平均，只研究垂線上平均值的縱向和橫向變化，按水平二維的混合過程處理，可以應(yīng)用二維紊流擴散方程作為控制方程和進行計算。第一節(jié)河流中的混合過程（2）第二階段(橫向混合段或初始段)從污水在垂直均87（3）第三階段(縱向分散段)從河流橫斷面均勻混合以后起算的階段。

在本階段中，在橫斷面上的濃度分布是均勻的，服從一維縱向分散方程，同時必須考慮污染物質(zhì)的非保守性。圖5-2污水與河流的混合過程第一節(jié)河流中的混合過程（3）第三階段(縱向分散段)從河流橫斷面均勻混合以后起算的88第一階段在排污口附近，稱為近區(qū)。一般是三維問題，需要浮力射流理論。第二、第三階段發(fā)生在離排污口較遠的區(qū)域，稱為遠區(qū)。順直河流斷面完全混合時的距離（河長）：中心排污：L=0.1VB2/My

岸邊排污：L=0.4VB2/My

My為河流橫向混合擴散系數(shù)。第一節(jié)河流中的混合過程第一階段在排污口附近，稱為近區(qū)。一般是三維問題，需要浮力射流89對三個階段的劃分也不是嚴格的，因為各個方向的混合并不是截然分開的，這樣的劃分只是反映了混合過程各個時期的主要特征，況且在實際問題中，也不一定都按三個階段進行處理：（1）污染物質(zhì)的非射流排放，第一階段的距離可能很短，可忽略不計；（2）如果河流的寬度比深度大的多，垂向混合與橫向混合相比可認為是瞬時完成，也可忽略第一階段；（3）由于河流不太寬，而射流排放的初始動量很大，垂向混合段很長，污染物質(zhì)在第一階段就擴展至全斷面，所以不存在第二階段；（4）如果進行水質(zhì)規(guī)劃，從大范圍來看河流的混合，相對說來，第一和第二階段很短，第三階段才是主要的，此時也可以忽略第一和第二階段。第一節(jié)河流中的混合過程對三個階段的劃分也不是嚴格的，因為各個方向的混合并不是截然分90第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算就計算方法而言，有確定性方法和隨機方法兩類：（1）確定性方法以紊流擴散為控制方程，對濃度等問題進行求解；（2）隨機方法從擴散位移是隨機過程的觀點出發(fā)，采用概率論的數(shù)學(xué)方法處理。本章主要介紹在矩形河道均勻流中和在不規(guī)則河道漸變流中污染帶計算的確定性方法。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算就計算方法而言，有確定性91

在大多數(shù)河流中，河寬遠大于水深。例如：有一河流寬W=30m、深h=1m，初步用下式估算垂向紊動擴散系數(shù)Ez和橫向混合系數(shù)My：通常認為垂向混合相對于橫向混合來說是瞬時完成的

由量綱分析可知，混合時間t∝L2/Ei（L表示某一特征長度），故有：My≈10Ez第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算在大多數(shù)河流中，河寬遠大于水深。例如：有一河92

在實際應(yīng)用中，為了研究方便，可以假定污染物質(zhì)在開始時就是沿垂線均勻混合的（即忽略第一階段），或者說開始時就可以作為一條垂直均勻混合線源來分析其水平二維擴散問題。如果第二階段的距離不是太長，此時可以忽略污染物質(zhì)的非守恒性，作為示蹤物質(zhì)考慮。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算在實際應(yīng)用中，為了研究方便，可以假定污染物質(zhì)在開始時93一、污染帶的濃度

當(dāng)河槽近似為矩形棱柱體，水流近似為均勻流，水深和斷面平均流速分別為h和V，假設(shè)：斷面上所有點流速u≈V,u=w=0;污染源為時間連續(xù)沿水深的線源,單位時間內(nèi)沿水深方向上注入的污染物質(zhì)質(zhì)量為

(量綱為[MT-1L-1]);不考慮岸邊對橫向擴散的反射作用和污染物質(zhì)的非守恒性；濃度和橫向混合系數(shù)沿水深平均，研究濃度的垂線平均值在縱向和橫向上的變化。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算一、污染帶的濃度當(dāng)河槽近似為矩形棱柱體，水流94（5-2-1）式中：c

和My

均為沿水深的平均值，在不致引起混亂的情況下,省去在字母兩側(cè)的代表沿水深取平均的兩條豎線。

在上述假設(shè)下，求污染帶的濃度問題便簡化為求一維縱向隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解，其控制方程：隨流紊動擴散方程第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-1）式中：c和My均為沿水深的平均值，在不致引95

當(dāng)坐標原點與污染原點重合時,參照連續(xù)無限長恒定線源一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)情形的解的形式：（5-2-2a）可得式(5-2-1)的解為:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算當(dāng)坐標原點與污染原點重合時,參照連續(xù)無限長恒定線源96將式（5-2-2a）改寫為：（5-2-2a）令，，，便有（5-2-2b）式中：cm的意義為污水與河水完全（均勻）混合后的濃度；

Q為河流流量；

Qd和cd分別為從排污口注入河流的污水流量和濃度。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算將式（5-2-2a）改寫為：（5-2-2a）令97圖5-3污染源點位于y0或（5-2-3a）（5-2-3b）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-3污染源點位于y0或（5-2-3a）（5-2-3b98圖5-3河流污染帶的起始計算斷面和坐標

進一步設(shè)河槽的寬度為W，坐標原點取在左岸水邊，污染源位于x=0、y=y0處。假設(shè)兩岸邊界為完全反射，則可在解式（5-2-2a）的基礎(chǔ)上用像源法解決。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-3河流污染帶的起始計算斷面和坐標99對真源y=y0，在y=0和y=W均有完全反射壁：

2W+y0Wy00-y0-2W+y02W-y0圖5-4兩岸反射的像源法第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對真源y=y0，在y=0和y=W均有完全反射壁：2W+y100考慮到兩岸的反射，利用像源法便得污染帶的濃度解：無邊壁反射：2W+y0Wy00-y0-2W+y02W-y0圖5-4

兩岸反射的像源法第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算考慮到兩岸的反射，利用像源法便得污染帶的濃度解：無邊壁反射101（5-2-4a）（5-2-4b）或式中：n取整數(shù)在實際應(yīng)用中，一般只取n=0，+1，-1計算就足夠準確了。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-4a）（5-2-4b）或式中：n取整數(shù)第二節(jié)矩形102

二、污染帶的長度（帶長）定義：從污染源的斷面（或從垂向擴散完成的斷面）開始至完全混合(c=cm)的斷面為止的一段縱向距離。斷面上各點的濃度c均滿足|(c-cm)/cm|≤5%，可近似認為此時已達到完全混合。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-1

中心排放二、污染帶的長度（帶長）定義：從污染源的斷面（或從垂向擴散103設(shè)污染源點位于河中心線上（y0￠=1/2），據(jù)式（5-2-4b）:分別算出沿中心線（y￠=

1/2）和沿岸邊線（y￠

=0或y￠=1）的相對濃度值c/cm

。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算從上式得不到帶長的顯式解析解，費希爾提出了用數(shù)值解來求帶長的方法。設(shè)污染源點位于河中心線上（y0￠=1/2），據(jù)式（5-2-4104圖5-5中心排放時沿中線和岸邊的濃度曲線通過計算，當(dāng)x￠≥0.1，斷面上各點的濃度c均滿足:|(c-cm)/cm|≤5%，可近似認為此時已達到完全混合。當(dāng)中心排放時，由x￠=0.1

（忽略第一階段的長度），有帶長Lp的近似式：（5-2-5）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算圖5-5中心排放時沿中線和岸邊的濃度曲線通過計算，當(dāng)x105

如果水流條件和邊界條件不變，但將中心排放改為在岸邊一側(cè)排放。此時，岸邊排放的污染帶形狀與中心排放的污染帶的一半是相似的。也就是說，岸邊排放具有的橫向擴散寬度是中心排放的一側(cè)寬度的兩倍。圖5-1

中心排放圖5-2

岸邊排放第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算如果水流條件和邊界條件不變，但將中心排放改106上述兩個帶長公式并沒有得到實驗的支持，主要是因為濃度沿縱向變化很慢，對完全混合的標準也難以掌握，以致對帶長的量測有很大的不確定性。目前，對帶長公式的實驗驗證仍然有困難。（5-2-6）岸邊排放時的帶長近似式：以2W代替W第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算上述兩個帶長公式并沒有得到實驗的支持，主要是因為濃度沿縱向變107（5-2-7）式中：K為帶長系數(shù)，視點源或線源以及源的位置而定。對點源情形，有：應(yīng)用最大熵原理，從理論上導(dǎo)出滿足帶長定義的帶長公式：（5-2-8）在特殊情形下：當(dāng)中心排放y0/W=1/2時有K=1/24；當(dāng)岸邊排放y0/W=0或1時有K=1/6。點源位置第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-7）式中：K為帶長系數(shù)，視點源或線源以及源的位置而108對橫向線源情形，近似有：式中:y01和y02分別為線源的始點和終點的橫坐標，且規(guī)定y01和y02必須同在河中心線的一側(cè)，即y01、y02<W/2。（5-2-9）對點源情形y01=y02：線源y01y02第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對橫向線源情形，近似有：式中:y01和y02分別為線源的始109三、污染帶的寬度（帶寬）帶寬是指污染帶的橫向?qū)挾葓D5-1中心排放圖5-2岸邊排放從理論上說，只要根據(jù)帶邊的濃度應(yīng)為零的要求就可以求帶邊的y值,從而求出帶寬。由于恒定線源一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解是正態(tài)型，當(dāng)y→±∞，才有c→0。況且，也不能將稍有一點污染物就說成受污染了。必須對污染帶的污染含義給出數(shù)值性的規(guī)定。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算三、污染帶的寬度（帶寬）圖5-1中心排放圖5-2岸邊排放110三、污染帶的寬度（帶寬）常用的帶寬定義有兩種第一種：認為帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%。據(jù)此規(guī)定，便可求出相應(yīng)于各個x值的帶邊Wp值。當(dāng)中心排放時，各斷面的中心點就是出現(xiàn)最大濃度的點；當(dāng)岸邊排放時，各斷面的最大濃度點均位于排放岸邊處。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算三、污染帶的寬度（帶寬）第一種：認為帶邊的濃度為同斷面上最大111第二種：由于濃度在橫向上服從正態(tài)分布，寬度為4σy的正態(tài)分布曲線下的面積占總面積的95.4%，習(xí)慣上取4σy的寬度來代表正態(tài)曲線的寬度。對岸邊排放時的帶寬:（5-2-10）（5-2-11）對中心排放，如果污染物質(zhì)尚未擴展到岸邊，此時取帶寬為4σy

，便得中心排放時的帶寬:圖5-6一維隨流一維橫向紊動擴散的穩(wěn)態(tài)解第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算第二種：由于濃度在橫向上服從正態(tài)分布，寬度為4σy的正態(tài)分布112四、時間連續(xù)橫向線源的污染帶

如果排入河流的污水具有足夠的初始動量和浮力，則垂向混合階段會較長，可能不宜忽略第一階段。在第一階段的末斷面上，已有一部分達到橫向完全混合，設(shè)其濃度為ci(y)，現(xiàn)在將它看作是已知的時間連續(xù)橫向線源來計算下游的污染帶。

線源y01y02第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算四、時間連續(xù)橫向線源的污染帶如果排入河流的113（5-2-12）

時間連續(xù)點源的污染帶濃度解式：式中：y01和y02分別為橫向線源兩端點的橫向無量綱坐標。對上式按橫向線源積分，得時間連續(xù)橫向線源的污染帶濃度:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-12）時間連續(xù)點源的污染帶濃度解式：式中：114如果橫向線源的濃度是均勻的,亦即ci(y)=c0(常數(shù)),有：令,上式變?yōu)?第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算如果橫向線源的濃度是均勻的,亦即ci(y)=c0(常數(shù))115（5-2-13a）最后積分得:關(guān)于帶寬和帶長,可據(jù)上式并參照點源的做法及式(5-2-9)或（5-2-13b）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-13a）最后積分得:關(guān)于帶寬和帶長,可據(jù)上式116（5-2-14）

式（5-2-13）也可用于污染源是來自一條橫置于水流中的污水?dāng)U散器（該擴散器是一條水管，在管壁沿管軸連續(xù)裝有很多噴嘴使污水射入河水中），其中假設(shè)射入河中的污水瞬時完全垂直混合，混合后的橫向線源濃度為：式中：(y01￠-y02￠)為擴散器的無量綱長度(y01￠=y01/W,

y02￠=y02/W)；

cd和Qd分別為污水的濃度和流量；

Q為河流流量。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（5-2-14）式（5-2-13）也可用于污117例：某一河流，有微彎，邊岸和斷面的變化不大，流量為141m3/s，近似為均勻流，河寬為124m，水深為1.86m，河床糙率為0.025。有工業(yè)污水排入河中，污水流量為0.132m3/s，含有害的守恒物質(zhì)，濃度為200mg/L。（1）設(shè)排污口位于河中心，求下游1km斷面上的最大濃度及該處的帶寬;（2）設(shè)排污口位于左岸邊，求下游1km斷面上的最大濃度及分別離左岸31m和62m(河中心)處的濃度，并求該斷面的帶寬;（3）分別求上述中心排放和岸邊排放的帶長。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算例：某一河流，有微彎，邊岸和斷面的變化不大，流量為141m3118解:

斷面平均流速：

剪切流速：按題給的河流情況,橫向混合系數(shù)取:單位時間內(nèi)在單位水深上注入的污染物質(zhì)質(zhì)量為:第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算解:斷面平均流速：剪切流速：按題給的河流情況119

（1）求某指定點的濃度

當(dāng)中心排放和岸邊排放時，斷面上的最大濃度分別出現(xiàn)在該斷面上的河中心和排放岸的岸邊上。為便于計算，令第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（1）求某指定點的濃度當(dāng)中心排放和岸邊排放120表污染帶濃度計算污染源位置Ck/mg·L-1y0/mx/my/mnE1E2c/mg·L-1中心排放0.7462100062(河中心)01≈00.74+1≈0≈0-1≈0≈0岸邊排放0.74010000(左岸邊)0111.48+1≈0≈0-1≈0≈00.74010003100.0470.0470.07+1≈0≈0-1≈0≈00.740100062(河中心)0≈0≈00+1≈0≈0-1≈0≈0第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算表污染帶濃度計算污染源位置Cky0/mx/my/mnE1121（2）求帶寬方法1：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%的要求。中心排放：y0=62m岸邊排放：y0=0第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（2）求帶寬方法1：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%122（2）求帶寬用試算法求解上式中y的值。

第一種方法：根據(jù)帶邊的濃度為同斷面上最大濃度的5%的要求，有：（5-2-15）第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算（2）求帶寬用試算法求解上式中y的值。第一123對岸邊排放：仍保留坐標軸原點在起始斷面的左岸邊，便有y0=0。對x=1000m，用試算法得：當(dāng)y=34m，f(y)=0.051，于是有帶寬Wp=y≈34m。在同斷面上，岸邊排放的帶寬比中心排放的帶寬要小50%。對中心排放：為使計算簡化，將坐標原點改置于起始斷面的河中心，便有y0=0。對x=1000m，用試算法：分別設(shè)y=40、35、34m，依次得f（y）=0.012、0.041、0.051，故認為y=34m，于是有帶寬Wp=2y≈68m。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算對岸邊排放：在同斷面上，岸邊排放的帶寬比中心排放的帶寬要小5124第二種方法對岸邊排放，由式（5-2-11）計算，得帶寬:對中心排放，由式（5-2-10）計算，得帶寬：可見，第二種方法比第一種方法算得的帶寬要小。第二節(jié)矩形河道均勻流污染帶的計算第二種方法對岸邊排放，由式（5-2-11）計算，得帶寬:對中125（3）求帶長對岸邊排放，帶長:對中心排放，由式計算，得帶長：

對只有124m寬的河流來說，這兩個那么長的帶長會令人不敢相信，改用式（5-2-7）和式（5-2-8）計算：對岸邊排放對中心排放