高等代數(shù)線性變換分解課件

線性變換

第七章線性變換線性變換第七章線性變換1線性變換§1線性變換的定義§1線性變換的定義一、線性變換的定義定義1

設(shè)V與W是數(shù)域P上的線性空間，A

是V到W的一個(gè)映射，如果下列兩個(gè)條件滿足，則稱A是V到W的一個(gè)線性映射：特別：當(dāng)W

=

V時(shí)，A稱為線性空間V的一個(gè)線性變換。(1)(2)線性變換§1線性變換的定義§1線性變換的定義一、線性變換2線性變換§1線性變換的定義例1

判斷下列所定義的變換A

是否為線性變換。(1)在線性空間V中，A

x

=

x+a，a為V中一固定向量；(2)在線性空間V中，A

x

=

a，a為V中一固定向量；(3)在P

[x]中，A

f

(x)

=

f

(x+1)；(4)在P

[x]中，Af

(x)

=

f

(x0)，x0為P中一固定數(shù)；例2在P

3中，下面定義的變換A是否為線性變換。(1)(2)(3)(4)線性變換§1線性變換的定義例1判斷下列所定義的變換A3線性變換§1線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)A

是V的線性變換，則性質(zhì)2

線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變。性質(zhì)3

線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。注意：線性變換可能把線性無關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的

向量組。性變換。證明：例3

設(shè)是線性空間V的一組向量，A

是V的一個(gè)線線性變換§1線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)A4線性變換§2線性變換的運(yùn)算§2線性變換的運(yùn)算一、線性變換的加法和數(shù)量乘法定義1設(shè)A，B∈L(V)，對A與B的和

A+B定義為：結(jié)論1

對?A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。線性變換的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A線性變換§2線性變換的運(yùn)算§2線性變換的運(yùn)算一、線性變換5線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義2

設(shè)A∈L(V)，k∈P，對k與A

的數(shù)量乘積

kA

定義為：結(jié)論2對?A∈L(V)，k∈P

有kA∈L(V)。線性變換的數(shù)量乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A結(jié)論3

設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，L(V)對以上定義的加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間。線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義2設(shè)A∈L(V)，k∈P6線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義3設(shè)A,B∈L(V)，對A與B的乘積

AB定義為：結(jié)論4對?A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。線性變換的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：線性變換的乘積不滿足交換律。例1在R

2中，設(shè)A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，則A,B是R2中的線性變換，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、線性變換乘法線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義3設(shè)A,B∈L(V)，7線性變換§2線性變換的運(yùn)算三、可逆的線性變換定義4

設(shè)A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得AB=BA=E，則稱A

是可逆的，且B是A

的逆變換，記為：B=A-1。結(jié)論5

若A∈L(V)，且A

是可逆的，則A-1唯一，且A-1∈L(V)。簡單性質(zhì)：(1)(A-1)-1=A

(2)(AB)-1=B-1A-1例3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，V1與V2是V的子空例2

設(shè)是線性空間V的一組基，A

是V的一個(gè)線性變換，證明：A

可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)。證明：A

可逆當(dāng)且僅當(dāng)間，且線性變換§2線性變換的運(yùn)算三、可逆的線性變換定義4設(shè)A8線性變換§2線性變換的運(yùn)算四、線性變換的多項(xiàng)式線性變換的冪設(shè)A∈L(V)，由于線性變換的乘法滿足結(jié)合律，線性變換，記為:An。若A是可逆的，定義A-n

=

(A-1)n。對任意的A∈L(V)，定義A0=E。根據(jù)線性變換冪的定義，其指數(shù)運(yùn)算規(guī)律為：若A是可逆的，則以上法則對任意整數(shù)m，n都成立。注意：由于線性變換的乘法不滿足交換律，故(AB)n

≠

AnBn。因此對任意取定的正整數(shù)n，n個(gè)A

的乘積AA…A是一個(gè)確定的線性變換§2線性變換的運(yùn)算四、線性變換的多項(xiàng)式線性變換的冪9線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義5

設(shè)則對?A∈L(V)，稱為線性變換A

的多項(xiàng)式。結(jié)論6設(shè)f(x),g(x)∈P[x],A∈L(V),若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)，則h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A)。特別地,f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一個(gè)線性變換的多項(xiàng)式的乘法是可交換的。例4設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,A3=2E,B=A2-2A+2E，證明：A，B都是可逆變換。線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義5設(shè)則對?A∈L(V)10線性變換§3線性變換的矩陣§3線性變換的矩陣在這組基下的作用完全相同，即則有A=B。定理1

設(shè)是線性空間V的一組基,對V中任意n個(gè)向量存在唯一的線性變換A∈L(V)使得結(jié)論1

設(shè)是線性空間V的一組基,對任意一組向量一定存在一個(gè)線性變換

A∈L(V)使得結(jié)論2

設(shè)是線性空間V的一組基，若線性變換A與B任何元素都可以是基的像，只要選取適當(dāng)?shù)木€性變換一個(gè)線性變換完全被它的一組基上的作用所決定線性變換§3線性變換的矩陣§3線性變換的矩陣在這組基下的11線性變換§3線性變換的矩陣V中的一個(gè)線性變換，則用矩陣表示為：其中矩陣定義1

設(shè)是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，A是稱為線性變換A

在基下的矩陣。注意與過渡矩陣的異同線性變換§3線性變換的矩陣V中的一個(gè)線性變換，則用矩陣表示12線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?

在P3中，設(shè)線性變換A

為：例2

六個(gè)函數(shù)：的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)六維線性空間，例3

在P2×2中定義線性變換求其在基下的矩陣。求微分變換

D

在基下的矩陣。求線性變換A

在基下的矩陣。線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?在P3中，設(shè)線性變換A13線性變換§3線性變換的矩陣A,B∈L(V),且A,B在這組基下的矩陣分別為A和B，則在該(1)A+B

的矩陣是A+B；(2)AB

的矩陣是AB；(3)kA

的矩陣是kA；(4)若A

是可逆的，則矩陣A

也可逆，且A-1的矩陣是A-1。例5設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，則L(V)與P

n×n同構(gòu)。例6設(shè)A1，A2是

n

維線性空間

V

的兩個(gè)線性變換，證明：A2V?A1V

的充要條件是存在線性變換A使得

A2=A1A。定理2

設(shè)是數(shù)域

P

上

n

維線性空間

V

的一組基，組基下：A可逆的充要條件是它在一組基下的矩陣A可逆線性變換§3線性變換的矩陣A,B∈L(V),且A,14線性變換§3線性變換的矩陣定理3

設(shè)線性變換A

在基下的矩陣是

A，向量ξ在基下的坐標(biāo)是，則Aξ在該組基下的坐標(biāo)為：給定線性變換下，像與原像的坐標(biāo)關(guān)系：像的坐標(biāo)原像坐標(biāo)線性變換的矩陣注意與坐標(biāo)變換公式的區(qū)別線性變換§3線性變換的矩陣定理3設(shè)線性變換A在基下15線性變換§3線性變換的矩陣的過渡矩陣為X，于是定義2

設(shè)A，B為數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n階可逆矩陣X使得B=X

-1AX，則稱A相似于B，記為A~B。定理4設(shè)線性空間

V

中線性變換A在兩組基和下的矩陣分別是A和B，從到線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系：B=X

-1AX。線性變換§3線性變換的矩陣的過渡矩陣為X，于是定義2設(shè)16線性變換§3線性變換的矩陣(1)反身性：A~A；矩陣相似的運(yùn)算性質(zhì)：(1)如果B1=X

-1A1X，B2=X-1A2X，則A1+A2~B1+B2，A1A2~B1B2。相似是同階矩陣之間的一種關(guān)系，具有如下三個(gè)性質(zhì)：(2)對稱性：如果

A~B，則有

A~B；(3)傳遞性：如果

A~B，且B~C，則有

A~C；相似是同階矩陣之間的等價(jià)關(guān)系(2)如果

A~B，且f(x)是數(shù)域P上的多項(xiàng)式，那么f(A)~f(B)。線性變換§3線性變換的矩陣(1)反身性：A~A17線性變換§3線性變換的矩陣由定理4知，線性變換在不同基下的矩陣是相似的；反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們可以看作同一線性變換在不同基下的矩陣。定理5設(shè)B=X-1AX，若線性變換A在基下的矩陣為A，且則B為線性變換A在基下的矩陣。AAABB=X1AX.矩陣的相似性是由線性變換所決定的線性變換§3線性變換的矩陣由定理4知，線性變換在不同基下的18線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?設(shè)A為R2上的線性變換,A對基的矩陣是線性變換B

對基的矩陣是(1)求A+B

在基下的矩陣。(2)求AB

在基下的矩陣。(3)設(shè)ξ

=

(3,

3)，求Aξ在基下的坐標(biāo)。(4)求Bξ在基下的坐標(biāo)。線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?設(shè)A為R2上的線性變換,19線性變換§4特征值與特征向量§4特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義定義1

設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果對于注意：(1)屬于同一特征值的特征向量不是唯一的；(2)屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征(3)特征值是由特征向量唯一確定的。數(shù)域P中的一數(shù)存在一個(gè)非零向量使得那么稱為線性變換A的一個(gè)特征值，而稱為A的屬于特的一個(gè)特征向量。征值值的特征向量；線性變換§4特征值與特征向量§4特征值與特征向量一、特征20線性變換§4特征值與特征向量二、求特征值與特征向量的方法定義2

設(shè)A=(aij)n×n是數(shù)域P上的n階矩陣，是一個(gè)文字，矩陣的行列式稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，它是數(shù)域P上關(guān)于的一個(gè)n次多項(xiàng)式。線性變換§4特征值與特征向量二、求特征值與特征向量的方法定21線性變換§4特征值與特征向量步驟：這就是A在數(shù)域P中的所有特征值。的基礎(chǔ)解系，這就是關(guān)于該特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征(1)在線性空間V中取定一組基寫出A在這組基下的矩陣A；(2)求A

的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中的所有根，(3)把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組求出相應(yīng)下的坐標(biāo)，其所有非零的線性組合就向量在基是所有屬于該特征值的特征向量。線性變換§4特征值與特征向量步驟：這就是A在數(shù)域P中的所有22線性變換§4特征值與特征向量注意：矩陣A的特征多項(xiàng)式的根也稱為矩陣A的特征值，而相應(yīng)的齊的非零解稱為矩陣A的屬于該特征次線性方程組值的特征向量。線性變換§4特征值與特征向量注意：矩陣A的特征多項(xiàng)式的根也23線性變換§4特征值與特征向量求A

的特征值與特征向量。例2

在線性空間P[x]n中，定義線性變換求微商變換的特征值與特征向量。(3)若A2=E，證明：A的特征值為-1和1。例1

設(shè)線性變換A

在基下的矩陣是例3設(shè)

A

是n階方陣，是

A

的特征值，證明：(1)對任意正整數(shù)k，是

Ak

的特征值。(2)若A可逆，則而且

A-1

的特征值為線性變換§4特征值與特征向量求A的特征值與特征向量。例24線性變換§4特征值與特征向量上式中的不等式是否嚴(yán)格成立？定義3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是A

的一個(gè)特征值，稱為A

的關(guān)于特征值的特征子空間。例4

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是A

的一個(gè)特征值，證明：的維數(shù)的重?cái)?shù)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù)線性變換§4特征值與特征向量上式中的不等式是否嚴(yán)格成立？定25線性變換§4特征值與特征向量三、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)設(shè)A=(aij)n×n是數(shù)域P上的n階矩陣，其特征多項(xiàng)式可展開為：由根與系數(shù)的關(guān)系知：其中稱為矩陣A的跡。線性變換§4特征值與特征向量三、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)設(shè)A=(a26線性變換§4特征值與特征向量例5

設(shè)n階方陣A=(aij)n×n的特征多項(xiàng)式為：證明：系數(shù)bk為A的一切k階主子式的和乘以(-1)k，即例6

求n階方陣的特征值。線性變換§4特征值與特征向量例5設(shè)n階方陣A=(aij)27線性變換§4特征值與特征向量定理1

相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式。注意：具有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。定理2(Hamilton-Caylay定理)

設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣，是矩陣A的特征多項(xiàng)式，則推論設(shè)A

是有限維線性空間V的線性變換，是A

的特征多項(xiàng)式，那么線性變換§4特征值與特征向量定理1相似的矩陣具有相同的特28線性變換§4特征值與特征向量例7設(shè)證明：當(dāng)n

≥3時(shí)有An=An-2+A2-E，并求A100。例8設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：(1)在P[x]中有一個(gè)次數(shù)≤n2的多項(xiàng)式f

(x)，使得f

(A)

=

0；(2)若

f

(A)=0，g(A)=0，則d(A)=0，其中d(x)是f

(x)和g(x)(3)A可逆的充要條件是有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f

(x)使的最大公因式；得f

(A)=0；線性變換§4特征值與特征向量例7設(shè)證明：當(dāng)n≥3時(shí)有A29線性變換§5對角矩陣§5對角矩陣一、線性變換可對角化的條件定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果V中存在一組基，使得它在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱該線性變換A

是可對角化的。定義1'設(shè)A是數(shù)域P的一個(gè)n階矩陣，若A與數(shù)域P上的一個(gè)對角矩陣相似，即存在可逆矩陣T，使得T

-1AT

為對角矩陣，則稱矩陣A在數(shù)域P上可對角化。線性變換§5對角矩陣§5對角矩陣一、線性變換可對角化的條30線性變換§5對角矩陣定理1

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則A可對角化的充要條件是A

有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理1'數(shù)域P上n階矩陣A可對角化的充要條件是矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。判斷特征向量線性無關(guān)的一些充分條件。定理2

屬于不同特征值的特征向量必定線性無關(guān)。推論1

n維線性空間V中的線性變換A

有n個(gè)不同的特征值，則

A

是可對角化的。推論2

在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，如果線性變換

A

的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么A

是可對角化的。線性變換§5對角矩陣定理1設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間31線性變換§5對角矩陣?yán)?

判斷復(fù)數(shù)域C上的矩陣可否對角化？線性變換§5對角矩陣?yán)?判斷復(fù)數(shù)域C上的矩陣可否對角化？32線性變換§5對角矩陣線性無關(guān)。定理4

設(shè)V是n維線性空間，線性變換A

的全部特征值為定理3

設(shè)V是n維線性空間，如果是線性變換A

的是屬于特征值的特征向量，不同特征值，而i

=

1，2，…，s，則向量組于是A

可對角化的充要條件是

A

的特征子空間的維數(shù)之和等于線性空間V的維數(shù)n。線性變換§5對角矩陣線性無關(guān)。定理4設(shè)V是n維線性空間，33線性變換§5對角矩陣?yán)?

設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣，證明：1)若A的對角元素各不相同，則A與一個(gè)對角矩陣相似。2)若A的對角元素均為a，而且至少有一個(gè)aij≠0(i>j)，則A不例3

設(shè)A是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的n階方陣，證明：1)存在n階可逆矩陣Q，使得2)復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階方陣都相似于一個(gè)上三角矩陣?？蓪腔?。線性變換§5對角矩陣?yán)?設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣，證明：34線性變換§5對角矩陣二、矩陣對角化的方法n階矩陣A對角化的方法步驟：1)求出A的全部特征值；4)將線性無關(guān)的解向量為列作成一個(gè)n階矩陣Q，則Q

-1AQ為對角矩陣，其對角線上的元素就是相應(yīng)的特征值。2)對每一個(gè)特征值求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；3)如果對每一個(gè)特征值相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的重?cái)?shù)，則A可對角化；線性變換§5對角矩陣二、矩陣對角化的方法n階矩陣A對角化的35線性變換§5對角矩陣?yán)?

設(shè)矩陣已知A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，2是A的一個(gè)二重特征值，試求可逆矩陣P，使得P

-1AP為對角矩陣。例5

設(shè)求

An(n為自然數(shù))。線性變換§5對角矩陣?yán)?設(shè)矩陣已知A有3個(gè)線性無關(guān)的特征36線性變換§6線性變換的值域與核§6線性變換的值域與核一、值域與核的概念定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，V中全體向量在A

下的全體像組成的集合稱為A

的值域，記為AV

或V中所有被A

變成零向量的原像組成的集合稱為A

的核，記為A-1(0)或Ker

A

，即AV

的維數(shù)稱為A

的秩，A-1(0)的維數(shù)稱為A

的零度。定理1

設(shè)AV

與A-1(0)都是V的子空間。

Im

A，即線性變換§6線性變換的值域與核§6線性變換的值域與核一、37線性變換§6線性變換的值域與核二、值域與核的性質(zhì)的一組基，A

在這組基下的矩陣為A，則2)A的秩

=

A的秩定理3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則AV的一組基的原像與A-1(0)的一組基合起來就是V的一組基，由此有A

的秩+A

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推論：有限維線性空間的線性變換，它是單射的充要條件是定理2

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是V1)它也是滿射。線性變換§6線性變換的值域與核二、值域與核的性質(zhì)的一組基，38線性變換§6線性變換的值域與核例1

證明：是線性空間V

=

P

n

的一個(gè)線性變換，而且An=0，求A的值例2

設(shè)A

是一個(gè)n階矩陣，A2=A，證明A

相似于一個(gè)對角矩陣域和核的維數(shù)。冪等矩陣線性變換§6線性變換的值域與核例1證明：是線性空間V39線性變換§6線性變換的值域與核例3

設(shè)V1，V2是n維線性空間V的任意兩個(gè)子空間，維數(shù)之和為n，證明：存在線性變換A，使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。間，證明：存在唯一的冪等變換A使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。例5

設(shè)A

是有限維線性空間V的線性變換，W是V的子空間，例6

設(shè)A

，B

是n維線性空間V的兩個(gè)線性變換，證明：例4

設(shè),其中V是n維線性空間,V1,V2為V的真子空證明：線性變換§6線性變換的值域與核例3設(shè)V1，V2是n維線性40線性變換§7不變子空間§7不變子空間一、不變子空間的概念定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A中的像仍在W

中，即則稱W是A

的不變子空間，簡稱為A–子空間。例1線性空間V和零空間{0}是V上任意線性變換的不變子空間。平凡不變子空間例2線性變換A的值域AV和核A-1(0)都是A的不變子空間。例3

線性變換A

的特征子空間是A

的不變子空間。例4

任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。線性變換§7不變子空間§7不變子空間一、不變子空間的概念41線性變換§7不變子空間二、不變子空間的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)A，B都是線性空間V的線性變換，若AB=BA，則ImB

和KerB

都是A

的不變子空間。性質(zhì)2

設(shè)W1，W2

都是A

的不變子空間，則子空間W1+W2

和W1∩W2

也是A的不變子空間。例5設(shè)A是有限維線性空間V的可逆線性變換，設(shè)W是V中A

的不變子空間，則W也是線性變換A-1的不變子空間。線性變換§7不變子空間二、不變子空間的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)A，42線性變換§7不變子空間例6在

R4

中，線性變換A在基e1，e2，e3，e4下的矩陣為證明由向量e1+2e2和e2+e3+2e4生成的子空間是A

的不變子空間。線性變換§7不變子空間例6在R4中，線性變換A在43線性變換§7不變子空間三、不變子空間與矩陣的簡化設(shè)A

是有限維線性空間V的線性變換，設(shè)W是V中A

的不變子空間，由于W中所有的向量在A下的像仍在W中，因此，我們可以只在W中考慮A

的作用，即把A

看作是W上的一個(gè)線性變換，這稱為A

在不變子空間W上引起(誘導(dǎo))的變換，或稱為A

定理1

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，W

是A

的一個(gè)非平凡不變子空間，則A在V的某組基下的矩陣是其中A1是A|W

在某組基下的矩陣。在W

上的限制，記作A|W。線性變換§7不變子空間三、不變子空間與矩陣的簡化設(shè)A是44線性變換§7不變子空間例7

設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，A

是V上的線性變換，A

其中設(shè)(1)證明:V1是A

的不變子空間。(2)證明:V2是A

的不變子空間的條件是什么？下的矩陣是在基線性變換§7不變子空間例7設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，45線性變換§7不變子空間定理2

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果A

有k個(gè)非平凡不變子空間W1，W2，…,Wk，則的充要條件是在V中存在一組基，使得A

在這組基下的矩陣為其中Ai(i=1,2,…,k)是A|Wi在Wi

的某組基下的矩陣。定理2表明矩陣分解為準(zhǔn)對角形與空間分解為不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)?。線性變換§7不變子空間定理2設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空46線性變換§7不變子空間則

V

可分解成不變子空間的直和其中定理3

設(shè)線性變換A

的特征多項(xiàng)式為它可分解為一次因式的乘積線性變換§7不變子空間則V可分解成不變子空間的直和其中47線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹定義1

形式為的矩陣稱為若當(dāng)(Jordan)塊，其中為復(fù)數(shù)，t

為該若當(dāng)塊的階數(shù)。線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹定義1形式48線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹由多個(gè)若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為若當(dāng)矩陣，其一般形式為其中這里的可以相等。線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹由多個(gè)若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為49線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹例如：都是若當(dāng)塊，也是若當(dāng)矩陣。是由三個(gè)若當(dāng)塊組成的若當(dāng)矩陣。線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹例如：都是若當(dāng)塊，也是若當(dāng)矩陣。50線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹定理1

設(shè)A

是復(fù)數(shù)域C上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，在V且這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排列次序外，是由A

唯一確定的，因此這個(gè)矩陣稱為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。用矩陣語言敘述為：定理2

每個(gè)n階復(fù)矩陣A都與一個(gè)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似，這個(gè)若當(dāng)標(biāo)這個(gè)矩陣稱為矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。中必存在一組基，使得A

在這組基下的矩陣是若當(dāng)形矩陣，準(zhǔn)形除去若當(dāng)塊的排列次序外，是由矩陣A唯一確定的，因此線性變換§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹定理1設(shè)A是復(fù)數(shù)域C上n維51線性變換§9最小多項(xiàng)式§9最小多項(xiàng)式一、最小多項(xiàng)式的定義定義1設(shè)f

(x)∈P

[x]，A∈P

n×n，若f

(A)=0，則稱f

(x)以A為根。最小多項(xiàng)式。注：矩陣A的最小多項(xiàng)式一定存在。例1

求數(shù)量矩陣kE的最小多項(xiàng)式。以A為根的多項(xiàng)式中次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為A的線性變換§9最小多項(xiàng)式§9最小多項(xiàng)式一、最小多項(xiàng)式的定義52線性變換§9最小多項(xiàng)式二、最小多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1

矩陣A的最小多項(xiàng)式是唯一的。性質(zhì)2

設(shè)g(x)為矩陣A的最小多項(xiàng)式，則f(x)以A為根的充要條件是g(x)整除

f

(x)。推論:矩陣A的最小多項(xiàng)式必定是A的特征多項(xiàng)式的一個(gè)因式。例2

求矩陣的最小多項(xiàng)式。線性變換§9最小多項(xiàng)式二、最小多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1矩陣A的53線性變換§9最小多項(xiàng)式性質(zhì)3

相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。注意:具有相同最小多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。性質(zhì)4

k

階若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為線性變換§9最小多項(xiàng)式性質(zhì)3相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。54線性變換§9最小多項(xiàng)式三、最小多項(xiàng)式與矩陣的對角化定理1

設(shè)矩陣A是一個(gè)準(zhǔn)對角矩陣設(shè)A1，A2的最小多項(xiàng)式分別為g1(x)，g2(x)，則A的最小多項(xiàng)式為g1(x)，g2(x)的最小公倍式[g1(x)，g2(x)]。這個(gè)定理可以推廣到一般的情形。線性變換§9最小多項(xiàng)式三、最小多項(xiàng)式與矩陣的對角化定理155線性變換§9最小多項(xiàng)式當(dāng)且Ai的最小多項(xiàng)式為gi(x)，i=1，2，…，s，則A的最小多項(xiàng)式

為g(x)

=

[g1(x)，g2(x)，…，gs(x)]。特別地，若多項(xiàng)式gi(x)，i=1，2，…，s兩兩互素，則A的最小多項(xiàng)式為

g(x)=g1(x)g2(x)…gs(x)。線性變換§9最小多項(xiàng)式當(dāng)且Ai的最小多項(xiàng)式為gi(x)，i56線性變換§9最小多項(xiàng)式定理2

數(shù)域P上n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是A的最推論復(fù)數(shù)域C上n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是A的最小多項(xiàng)式是數(shù)域

P

上互素的一次因式的乘積。小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。線性變換§9最小多項(xiàng)式定理2數(shù)域P上n階矩陣A與對角矩陣57線性變換

第七章線性變換線性變換第七章線性變換58線性變換§1線性變換的定義§1線性變換的定義一、線性變換的定義定義1

設(shè)V與W是數(shù)域P上的線性空間，A

是V到W的一個(gè)映射，如果下列兩個(gè)條件滿足，則稱A是V到W的一個(gè)線性映射：特別：當(dāng)W

=

V時(shí)，A稱為線性空間V的一個(gè)線性變換。(1)(2)線性變換§1線性變換的定義§1線性變換的定義一、線性變換59線性變換§1線性變換的定義例1

判斷下列所定義的變換A

是否為線性變換。(1)在線性空間V中，A

x

=

x+a，a為V中一固定向量；(2)在線性空間V中，A

x

=

a，a為V中一固定向量；(3)在P

[x]中，A

f

(x)

=

f

(x+1)；(4)在P

[x]中，Af

(x)

=

f

(x0)，x0為P中一固定數(shù)；例2在P

3中，下面定義的變換A是否為線性變換。(1)(2)(3)(4)線性變換§1線性變換的定義例1判斷下列所定義的變換A60線性變換§1線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)A

是V的線性變換，則性質(zhì)2

線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變。性質(zhì)3

線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。注意：線性變換可能把線性無關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的

向量組。性變換。證明：例3

設(shè)是線性空間V的一組向量，A

是V的一個(gè)線線性變換§1線性變換的定義二、線性變換的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)A61線性變換§2線性變換的運(yùn)算§2線性變換的運(yùn)算一、線性變換的加法和數(shù)量乘法定義1設(shè)A，B∈L(V)，對A與B的和

A+B定義為：結(jié)論1

對?A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。線性變換的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A線性變換§2線性變換的運(yùn)算§2線性變換的運(yùn)算一、線性變換62線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義2

設(shè)A∈L(V)，k∈P，對k與A

的數(shù)量乘積

kA

定義為：結(jié)論2對?A∈L(V)，k∈P

有kA∈L(V)。線性變換的數(shù)量乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A結(jié)論3

設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，L(V)對以上定義的加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間。線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義2設(shè)A∈L(V)，k∈P63線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義3設(shè)A,B∈L(V)，對A與B的乘積

AB定義為：結(jié)論4對?A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。線性變換的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：線性變換的乘積不滿足交換律。例1在R

2中，設(shè)A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，則A,B是R2中的線性變換，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、線性變換乘法線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義3設(shè)A,B∈L(V)，64線性變換§2線性變換的運(yùn)算三、可逆的線性變換定義4

設(shè)A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得AB=BA=E，則稱A

是可逆的，且B是A

的逆變換，記為：B=A-1。結(jié)論5

若A∈L(V)，且A

是可逆的，則A-1唯一，且A-1∈L(V)。簡單性質(zhì)：(1)(A-1)-1=A

(2)(AB)-1=B-1A-1例3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，V1與V2是V的子空例2

設(shè)是線性空間V的一組基，A

是V的一個(gè)線性變換，證明：A

可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)。證明：A

可逆當(dāng)且僅當(dāng)間，且線性變換§2線性變換的運(yùn)算三、可逆的線性變換定義4設(shè)A65線性變換§2線性變換的運(yùn)算四、線性變換的多項(xiàng)式線性變換的冪設(shè)A∈L(V)，由于線性變換的乘法滿足結(jié)合律，線性變換，記為:An。若A是可逆的，定義A-n

=

(A-1)n。對任意的A∈L(V)，定義A0=E。根據(jù)線性變換冪的定義，其指數(shù)運(yùn)算規(guī)律為：若A是可逆的，則以上法則對任意整數(shù)m，n都成立。注意：由于線性變換的乘法不滿足交換律，故(AB)n

≠

AnBn。因此對任意取定的正整數(shù)n，n個(gè)A

的乘積AA…A是一個(gè)確定的線性變換§2線性變換的運(yùn)算四、線性變換的多項(xiàng)式線性變換的冪66線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義5

設(shè)則對?A∈L(V)，稱為線性變換A

的多項(xiàng)式。結(jié)論6設(shè)f(x),g(x)∈P[x],A∈L(V),若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)，則h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A)。特別地,f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一個(gè)線性變換的多項(xiàng)式的乘法是可交換的。例4設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,A3=2E,B=A2-2A+2E，證明：A，B都是可逆變換。線性變換§2線性變換的運(yùn)算定義5設(shè)則對?A∈L(V)67線性變換§3線性變換的矩陣§3線性變換的矩陣在這組基下的作用完全相同，即則有A=B。定理1

設(shè)是線性空間V的一組基,對V中任意n個(gè)向量存在唯一的線性變換A∈L(V)使得結(jié)論1

設(shè)是線性空間V的一組基,對任意一組向量一定存在一個(gè)線性變換

A∈L(V)使得結(jié)論2

設(shè)是線性空間V的一組基，若線性變換A與B任何元素都可以是基的像，只要選取適當(dāng)?shù)木€性變換一個(gè)線性變換完全被它的一組基上的作用所決定線性變換§3線性變換的矩陣§3線性變換的矩陣在這組基下的68線性變換§3線性變換的矩陣V中的一個(gè)線性變換，則用矩陣表示為：其中矩陣定義1

設(shè)是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，A是稱為線性變換A

在基下的矩陣。注意與過渡矩陣的異同線性變換§3線性變換的矩陣V中的一個(gè)線性變換，則用矩陣表示69線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?

在P3中，設(shè)線性變換A

為：例2

六個(gè)函數(shù)：的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)六維線性空間，例3

在P2×2中定義線性變換求其在基下的矩陣。求微分變換

D

在基下的矩陣。求線性變換A

在基下的矩陣。線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?在P3中，設(shè)線性變換A70線性變換§3線性變換的矩陣A,B∈L(V),且A,B在這組基下的矩陣分別為A和B，則在該(1)A+B

的矩陣是A+B；(2)AB

的矩陣是AB；(3)kA

的矩陣是kA；(4)若A

是可逆的，則矩陣A

也可逆，且A-1的矩陣是A-1。例5設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間，則L(V)與P

n×n同構(gòu)。例6設(shè)A1，A2是

n

維線性空間

V

的兩個(gè)線性變換，證明：A2V?A1V

的充要條件是存在線性變換A使得

A2=A1A。定理2

設(shè)是數(shù)域

P

上

n

維線性空間

V

的一組基，組基下：A可逆的充要條件是它在一組基下的矩陣A可逆線性變換§3線性變換的矩陣A,B∈L(V),且A,71線性變換§3線性變換的矩陣定理3

設(shè)線性變換A

在基下的矩陣是

A，向量ξ在基下的坐標(biāo)是，則Aξ在該組基下的坐標(biāo)為：給定線性變換下，像與原像的坐標(biāo)關(guān)系：像的坐標(biāo)原像坐標(biāo)線性變換的矩陣注意與坐標(biāo)變換公式的區(qū)別線性變換§3線性變換的矩陣定理3設(shè)線性變換A在基下72線性變換§3線性變換的矩陣的過渡矩陣為X，于是定義2

設(shè)A，B為數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n階可逆矩陣X使得B=X

-1AX，則稱A相似于B，記為A~B。定理4設(shè)線性空間

V

中線性變換A在兩組基和下的矩陣分別是A和B，從到線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系：B=X

-1AX。線性變換§3線性變換的矩陣的過渡矩陣為X，于是定義2設(shè)73線性變換§3線性變換的矩陣(1)反身性：A~A；矩陣相似的運(yùn)算性質(zhì)：(1)如果B1=X

-1A1X，B2=X-1A2X，則A1+A2~B1+B2，A1A2~B1B2。相似是同階矩陣之間的一種關(guān)系，具有如下三個(gè)性質(zhì)：(2)對稱性：如果

A~B，則有

A~B；(3)傳遞性：如果

A~B，且B~C，則有

A~C；相似是同階矩陣之間的等價(jià)關(guān)系(2)如果

A~B，且f(x)是數(shù)域P上的多項(xiàng)式，那么f(A)~f(B)。線性變換§3線性變換的矩陣(1)反身性：A~A74線性變換§3線性變換的矩陣由定理4知，線性變換在不同基下的矩陣是相似的；反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們可以看作同一線性變換在不同基下的矩陣。定理5設(shè)B=X-1AX，若線性變換A在基下的矩陣為A，且則B為線性變換A在基下的矩陣。AAABB=X1AX.矩陣的相似性是由線性變換所決定的線性變換§3線性變換的矩陣由定理4知，線性變換在不同基下的75線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?設(shè)A為R2上的線性變換,A對基的矩陣是線性變換B

對基的矩陣是(1)求A+B

在基下的矩陣。(2)求AB

在基下的矩陣。(3)設(shè)ξ

=

(3,

3)，求Aξ在基下的坐標(biāo)。(4)求Bξ在基下的坐標(biāo)。線性變換§3線性變換的矩陣?yán)?設(shè)A為R2上的線性變換,76線性變換§4特征值與特征向量§4特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義定義1

設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果對于注意：(1)屬于同一特征值的特征向量不是唯一的；(2)屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征(3)特征值是由特征向量唯一確定的。數(shù)域P中的一數(shù)存在一個(gè)非零向量使得那么稱為線性變換A的一個(gè)特征值，而稱為A的屬于特的一個(gè)特征向量。征值值的特征向量；線性變換§4特征值與特征向量§4特征值與特征向量一、特征77線性變換§4特征值與特征向量二、求特征值與特征向量的方法定義2

設(shè)A=(aij)n×n是數(shù)域P上的n階矩陣，是一個(gè)文字，矩陣的行列式稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，它是數(shù)域P上關(guān)于的一個(gè)n次多項(xiàng)式。線性變換§4特征值與特征向量二、求特征值與特征向量的方法定78線性變換§4特征值與特征向量步驟：這就是A在數(shù)域P中的所有特征值。的基礎(chǔ)解系，這就是關(guān)于該特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征(1)在線性空間V中取定一組基寫出A在這組基下的矩陣A；(2)求A

的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中的所有根，(3)把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組求出相應(yīng)下的坐標(biāo)，其所有非零的線性組合就向量在基是所有屬于該特征值的特征向量。線性變換§4特征值與特征向量步驟：這就是A在數(shù)域P中的所有79線性變換§4特征值與特征向量注意：矩陣A的特征多項(xiàng)式的根也稱為矩陣A的特征值，而相應(yīng)的齊的非零解稱為矩陣A的屬于該特征次線性方程組值的特征向量。線性變換§4特征值與特征向量注意：矩陣A的特征多項(xiàng)式的根也80線性變換§4特征值與特征向量求A

的特征值與特征向量。例2

在線性空間P[x]n中，定義線性變換求微商變換的特征值與特征向量。(3)若A2=E，證明：A的特征值為-1和1。例1

設(shè)線性變換A

在基下的矩陣是例3設(shè)

A

是n階方陣，是

A

的特征值，證明：(1)對任意正整數(shù)k，是

Ak

的特征值。(2)若A可逆，則而且

A-1

的特征值為線性變換§4特征值與特征向量求A的特征值與特征向量。例81線性變換§4特征值與特征向量上式中的不等式是否嚴(yán)格成立？定義3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是A

的一個(gè)特征值，稱為A

的關(guān)于特征值的特征子空間。例4

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是A

的一個(gè)特征值，證明：的維數(shù)的重?cái)?shù)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù)線性變換§4特征值與特征向量上式中的不等式是否嚴(yán)格成立？定82線性變換§4特征值與特征向量三、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)設(shè)A=(aij)n×n是數(shù)域P上的n階矩陣，其特征多項(xiàng)式可展開為：由根與系數(shù)的關(guān)系知：其中稱為矩陣A的跡。線性變換§4特征值與特征向量三、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)設(shè)A=(a83線性變換§4特征值與特征向量例5

設(shè)n階方陣A=(aij)n×n的特征多項(xiàng)式為：證明：系數(shù)bk為A的一切k階主子式的和乘以(-1)k，即例6

求n階方陣的特征值。線性變換§4特征值與特征向量例5設(shè)n階方陣A=(aij)84線性變換§4特征值與特征向量定理1

相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式。注意：具有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。定理2(Hamilton-Caylay定理)

設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣，是矩陣A的特征多項(xiàng)式，則推論設(shè)A

是有限維線性空間V的線性變換，是A

的特征多項(xiàng)式，那么線性變換§4特征值與特征向量定理1相似的矩陣具有相同的特85線性變換§4特征值與特征向量例7設(shè)證明：當(dāng)n

≥3時(shí)有An=An-2+A2-E，并求A100。例8設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：(1)在P[x]中有一個(gè)次數(shù)≤n2的多項(xiàng)式f

(x)，使得f

(A)

=

0；(2)若

f

(A)=0，g(A)=0，則d(A)=0，其中d(x)是f

(x)和g(x)(3)A可逆的充要條件是有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f

(x)使的最大公因式；得f

(A)=0；線性變換§4特征值與特征向量例7設(shè)證明：當(dāng)n≥3時(shí)有A86線性變換§5對角矩陣§5對角矩陣一、線性變換可對角化的條件定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果V中存在一組基，使得它在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱該線性變換A

是可對角化的。定義1'設(shè)A是數(shù)域P的一個(gè)n階矩陣，若A與數(shù)域P上的一個(gè)對角矩陣相似，即存在可逆矩陣T，使得T

-1AT

為對角矩陣，則稱矩陣A在數(shù)域P上可對角化。線性變換§5對角矩陣§5對角矩陣一、線性變換可對角化的條87線性變換§5對角矩陣定理1

設(shè)A

是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則A可對角化的充要條件是A

有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理1'數(shù)域P上n階矩陣A可對角化的充要條件是矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。判斷特征向量線性無關(guān)的一些充分條件。定理2

屬于不同特征值的特征向量必定線性無關(guān)。推論1

n維線性空間V中的線性變換A

有n個(gè)不同的特征值，則

A

是可對角化的。推論2

在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，如果線性變換

A

的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么A

是可對角化的。線性變換§5對角矩陣定理1設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間88線性變換§5對角矩陣?yán)?

判斷復(fù)數(shù)域C上的矩陣可否對角化？線性變換§5對角矩陣?yán)?判斷復(fù)數(shù)域C上的矩陣可否對角化？89線性變換§5對角矩陣線性無關(guān)。定理4

設(shè)V是n維線性空間，線性變換A

的全部特征值為定理3

設(shè)V是n維線性空間，如果是線性變換A

的是屬于特征值的特征向量，不同特征值，而i

=

1，2，…，s，則向量組于是A

可對角化的充要條件是

A

的特征子空間的維數(shù)之和等于線性空間V的維數(shù)n。線性變換§5對角矩陣線性無關(guān)。定理4設(shè)V是n維線性空間，90線性變換§5對角矩陣?yán)?

設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣，證明：1)若A的對角元素各不相同，則A與一個(gè)對角矩陣相似。2)若A的對角元素均為a，而且至少有一個(gè)aij≠0(i>j)，則A不例3

設(shè)A是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的n階方陣，證明：1)存在n階可逆矩陣Q，使得2)復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階方陣都相似于一個(gè)上三角矩陣?？蓪腔?。線性變換§5對角矩陣?yán)?設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣，證明：91線性變換§5對角矩陣二、矩陣對角化的方法n階矩陣A對角化的方法步驟：1)求出A的全部特征值；4)將線性無關(guān)的解向量為列作成一個(gè)n階矩陣Q，則Q

-1AQ為對角矩陣，其對角線上的元素就是相應(yīng)的特征值。2)對每一個(gè)特征值求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；3)如果對每一個(gè)特征值相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的重?cái)?shù)，則A可對角化；線性變換§5對角矩陣二、矩陣對角化的方法n階矩陣A對角化的92線性變換§5對角矩陣?yán)?

設(shè)矩陣已知A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，2是A的一個(gè)二重特征值，試求可逆矩陣P，使得P

-1AP為對角矩陣。例5

設(shè)求

An(n為自然數(shù))。線性變換§5對角矩陣?yán)?設(shè)矩陣已知A有3個(gè)線性無關(guān)的特征93線性變換§6線性變換的值域與核§6線性變換的值域與核一、值域與核的概念定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，V中全體向量在A

下的全體像組成的集合稱為A

的值域，記為AV

或V中所有被A

變成零向量的原像組成的集合稱為A

的核，記為A-1(0)或Ker

A

，即AV

的維數(shù)稱為A

的秩，A-1(0)的維數(shù)稱為A

的零度。定理1

設(shè)AV

與A-1(0)都是V的子空間。

Im

A，即線性變換§6線性變換的值域與核§6線性變換的值域與核一、94線性變換§6線性變換的值域與核二、值域與核的性質(zhì)的一組基，A

在這組基下的矩陣為A，則2)A的秩

=

A的秩定理3

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則AV的一組基的原像與A-1(0)的一組基合起來就是V的一組基，由此有A

的秩+A

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推論：有限維線性空間的線性變換，它是單射的充要條件是定理2

設(shè)A

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是V1)它也是滿射。線性變換§6線性變換的值域與核二、值域與核的性質(zhì)的一組基，95線性變換§6線性變換的值域與核例1

證明：是線性空間V

=

P

n

的一個(gè)線性變換，而且An=0，求A的值例2

設(shè)A

是一個(gè)n階矩陣，A2=A，證明A

相似于一個(gè)對角矩陣域和核的維數(shù)。冪等矩陣線性變換§6線性變換的值域與核例1證明：是線性空間V96線性變換§6線性變換的值域與核例3

設(shè)V1，V2是n維線性空間V的任意兩個(gè)子空間，維數(shù)之和為n，證明：存在線性變換A，使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。間，證明：存在唯一的冪等變換A使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。例5

設(shè)A

是有限維線性空間V的線性變換，W是V的子空間，例6

設(shè)A

，B

是n維線性空間V的兩個(gè)線性變換，證明：例4

設(shè),其中V是n維線性空間,V1,V2為V的真子空證明：線性變換§6線性變換的值域與核例3設(shè)V1，V2是n維線性97線性變換§7不變子空間§7不變子空間一、不變子空間的概念定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A中的像仍在W

中，即則稱W是A

的不變子空間，簡稱為A–子空間。例1線性空間V和零空間{0}是V上任意線性變換的不變子空間。平凡不變子空間例2線性變換A的值域AV和核A-1(0)都是A的不變子空間。例3

線性變換A

的特征子空間是A

的不變子空間。例4

任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。線性變換§7不變子空間§7不變子空間一、不變子空間的概念98線性變換§7不變子空間二、不變子空間的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)A，B都是線性空間V的線性變換，若AB=BA，則ImB

和KerB

都是A

的不變子空間。性質(zhì)2

設(shè)W1，W2

都是A

的不變子空間，則子空間W1+W2

和W1∩W2

也是A的不變子空間。例5設(shè)A是有限維線性空間V的可逆線性變換，設(shè)W是V中A

的不變子空間，則W也是線性變換A-1的不變子空間。線性變換§7不變子空間二、不變子空間的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)A，99線性變換§7不變子空間例6在

R4

中，線性變換A在基e1，e2，e3，e4下的矩陣為證明由向量e1+2e2和e2+e3